镁的六方最密堆积高度是多少
【答案】$\frac{4\pi a}{3\sqrt{3}b}\times 100\%$
【解析】
六方最密堆积
$(\rm hcp$）不再是立方结构，晶胞参数已经不同于立方晶系，六方最密堆积晶胞实为等径硬球接触，上一层嵌于下一层的凹处，上下关系抽象在晶胞内其实是正四面体关系，因此晶胞 $\rm C$ 中虚线所标的四个硬球关系为正四面体关系，设晶胞底边长为 $x\ \text{cm}$，即 $\overline{\text{AC}}=x\ \text{cm}$，利用立体几何知识，不难求出晶胞底边长与正四面体的高度之间的关系为 $h=\frac{\sqrt6}3xc\pi $，这里不妨把 $\rm B$ 层看成晶胞中层，则晶胞上下两层关系与正四面体高 $h$ 的关系，也不难由立体几何知识求出，为 $b=2h=\frac{2\sqrt6}3xc\pi $，由于金属 $\rm Mg$ 的原子半径为 $a\ \text{cm}$，根据硬球接触模型，$b=\frac{4\sqrt6}3ac\pi $，对于六方晶胞，一个晶胞的顶点原子占晶胞的 $\frac18$，晶胞内部原子为整个晶胞所有，则一个六方晶胞内的原子数为 $8\times \frac18+1=2$，则一个晶胞的体积为 $V={{x}^2}b\sin 60{}^\circ =2\sqrt3{{a}^2}b$，一个晶胞内硬球的总体积为 ${{V}_0}=2\times \frac43\pi {{a}^3}$，则空间利用率为 $\frac{{{V}_0}}{V}\times 100\%=\frac{4\pi a}{3\sqrt3b}\times 100\%$。
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