涂玉霞：原来数学可以这样学
我发现自己在阅读上，有时会有“叶公好龙”的倾向。每次听说有好书，总是默默想，碎碎念，希望赶紧一睹为快。可是，等书真正到手，却时常因为诸多原因把它们打入“冷宫”，置之不顾了。
这书幸亏不会说话，要不然准会嘲讽我这个“假读书人”。
这不，去年底，朋友不嫌麻烦，从网上淘出刘薰宇的三本《原来数学可以这样学》送给我。当我翻了几页，看到了n!和Σ之类符号后，顿觉头皮发麻，便又故态复萌，让它跟众多的书一起排队去了。
这些日子，虽然事情也是不断，但毕竟还有不少可以机动的时间。前几天，我特地给自己做了一次郑重的自我批评。于是，我如壮士断腕一般，又拿出《原来数学可以这样学》丛书的《数学趣味》，下狠心，三天非要把它读完。
今天终于读完了。你若问我，感觉如何？我告诉你，另外两本我也想赶紧看完。
此书魅力如此之大，作者刘薰宇何许人也？
刘薰宇先生是我国著名的数学教育家，其教育生涯横跨民国和新中国两个时期，曾在多所大学和中学担任数学教师或校长，还担任过人民教育出版社副总编辑，审定过我国中小学数学教材，发表了大量数学教育方面的论文，出版了很多中小学数学教科书和科普读物。
1983年，杨振宁在向香港中学生介绍自己的学习数学过程时，就专门提到了刘薰宇先生。他说：“有一位刘薰宇先生，他是位数学家，写过许多通俗易懂和极其有趣的数学方面的文章。我记得，我读了他写的关于一个智力测验的文章，才知道排列和奇偶排列这些极为重要的数学概念。”
大名鼎鼎的，获得诺贝尔物理学奖的科学家如此褒奖他，可见刘教授有多厉害了。
让我吃惊的是，这样的数学科普书，作序的人居然是著名的作家和画家丰子恺先生，如此跨界，也是挺潮的。
丰子恺先生说：“我一直没有尝过数学的兴味，一直没有游览过数学的世界，到底是损失！最近给我稍稍补偿这损失的，便是这册书里的几篇文章。我与薰宇相识后，他便做这些文章。 他每次发表，我都读，诱我读的，是它们的富有趣味的题材。我常不知不觉地被诱进数学的世界里去。”
到底怎么有趣法，不身临其中，是很难体会到的。故，我也只好选一些趣题，让大家尝试鲜呗。
首先上个“韩信点兵”
刘薰宇教授谈他自己还是读小学的时候，一位盐老板出一道题考他，说，做出来请他吃饭。
题目一说就明白。
三个三个地数剩两个，五个五个地数剩三个，七个七个地数也剩两个，到底有几个?
当年刘薰宇同学也是意气风发，踌躇满志，心想，这不就是求公倍数吗？小儿科一个。
于是，他连忙说，算得出，而且不止一个。
盐老板连夸奖孩子聪明。
刘薰宇想到原来自己做过的题目，三个三个地数差两个，五个五个地数差四个，七个七个地数差六个，至少是几个？就是求出3、5、7的最小公倍数，然后加上1（刚好都是余1），得出106。
于是，就用他自己的一套思路口算出了答案，最小是104，还有209。
结果盐老板说不对，一验算，果然不是。
害得刘薰宇回来后，被爷爷好一顿数落，告诫他今后，“宁在人前全不会，勿在人前会不全。”
果真是封建时代的爷爷，当今我们的家长朋友们，断然不会这样指责孩子，一定会请教盐老板，如何算出正确答案才对。
那这道题到底怎么解答呢？
这道题出自数学典籍《孙子算经》， “有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”
后来，人们为了让这个问题更具体化，就把它改编成“韩信点兵”问题。
有一次战斗后，韩信要清点士兵的人数。让士兵三人一组，就有两人没法编组；五人一组，就有三人无法编组；七人一组，就有两人无法编组。那么请问这些士兵一共有几人？
如何去思考呢？咱们先记住两点常识：
第一，某数的倍数的倍数还是某数的倍数；
第二，某数的若干倍数的和还是某数的倍数。
35是5和7的倍数，并且除以3余2，
21是3和7的倍数，并且除以5余1，要想余3，就应该包含3个21，即21×3。
15是3和5的倍数，并且除以7余1，要想余2，就应该包含2个15，即15×2。
将以上三个数字相加
35+21×3+15×2=128。
105是3、5、7的公倍数，因此加上或者减去105之后，不会改变除以3、5、7的余数，128-105=23。通解是：23+105n，其中n=0，1，2，3…
是不是很难懂？那么就看阿图的演示方法吧：（上下对照着看）
35 + 21 ×3 + 15×2 = 128
7的倍数 + 7的倍数 + 7的倍数余2=7的倍数余2
5的倍数 + 5的倍数余3 + 5的倍数=5的倍数余3
3的倍数余2 + 3的倍数 + 3的倍数=3的倍数余2
懂了？好的，咱们小试一下牛刀。
4个4个地数余3个，5个5个地数余2个，7个7个地数余3个，最少有多少个呢？
是不是有点绕，头想疼了可不赖我。
换个地方看看“堆罗汉”
堆罗汉是啥意思呢？从最下排起数上去，每排次第少一个人， 直到顶上只有一个人为止。
像这类依序相差同样的数的一群数， 在数学上我们叫它们是等差级数。关于等差级数的计算，其实并不难懂，如
1+2+3+4+5+6+ 7......+n
听过高斯故事的都知道，首尾相加，乘以项数，除以2，即可。用字母表示就是：n(n+1)/2
和这个性质相类似的，还有从1起到某数为止的各整数的平方和、立方和 ：
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2……
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3……
（^2，^3，是表示平方、立方的格式）
求和公式不知记得么，分别是：
∑n^2=n(n+1)(2n+1)/6
∑n^3=[(n×(n+1))/2]^2
但是怎么推导来的呢？刘薰宇先生的方法，可以说是绝妙无比了。
求平方和：
用小方块可以分别表示1、2、3、4的平方。
1^2+2^2+3^2+4^2
把他们堆起来，就可以变成第1图或者第2图的样子。再把两个第1图和第2图合起来，就变成了第3图，是它们和的3倍。
第3图的长是1+2+3+4,,宽是2×4＋1。
因为1^2+2^2+3^2+4^2是它们面积的三分之一，所以平方和是：
4(4+1)/2 ×( 2×4＋1)÷3
换成n,推到一般规律就是
n(n+1)(2n+1)/6
当然，这种归纳方法不严密。需要再用n+1，运用到公式中去，看成不成立，我们这儿就免了，反正大家也懂。
那如何求立方和呢？
请看看下图，有没有发现，2的立方就是3的平方减去1的平方。3的立方，就是6的平方减去3的平方，4的立方就是10的平方减去6的平方。把他们合在一起，刚好就是10的平方。
所以1^3+2^3+3^3+4^3=（1+2+3+4）的平方
推到一般规律上去，就是
[(n×(n+1))/2]^2
华罗庚先生曾说，
数缺形时少直观,形少数时难入微。
数形结合百般好,隔离分家万事休。
把这首诗来表达此时的心情是不是觉得特别精准？
好吧，我们再来练一道题。
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=
不妨也画画图，肯定会有收获。
累了吗？一而再，再而三，我们加把油，接着上。
一起来看看八仙过海
不知道你碰到过“八仙过海”这类的玩意儿没有？我在一些旅游景点看过，比如算命的人拿出百家姓，让人家点上，点下后，就能猜出别人姓啥。那有点复杂，我们弄个简单的。
一个人将八种不同的钱分上下两排排在桌上，叫你看准一个，记在心头。
他将钱收起，重新排过，仍是上下两排，又叫你看定你前次认准的那一个在哪一排，将它记住。
他再将钱收起，又重新排成两排，这回他叫你看，并且叫你告诉他你所看准的那一个钱这三次位置的上下。
比如你向他说“上下下”，他就将下一排的第二个指给你。你虽觉得有点儿奇异，想抵赖，可是你的脸色也不肯替你隐瞒了。
这人为什么会有这样的本领呢?你会疑心他是偶然猜中的，然而再来一次、 两次、三次，他总不会失败，这当然不是偶然了。
这里藏着什么秘密？为了方便，我把这八个钱用字母表示。先摆成这样：
DCBA
HGFE
你说在上，那么，一定就是ABCD了，他就摆成下面这样，都放在右边，左边不管他们的顺序了。
OOCA
OODB
然后你说在下，那一定是BD,他又摆成了这样。其他的顺序无关紧要了。
OOOB
OOOD
你再说上，那一定就是B了。
当然这太小儿科了，我们现在来个升级版的。
就是别人看你摆了三次后，才告诉你上上下，你就能说出他想的是哪个字母。
当真？试试呗。
先摆成这样：
D C B A
H G F E
再从右到左，一上一下的顺序收。
（AEBFCGDH），然后按照从左往右，先摆下面一排，再摆上面一排。
F B E A
H D G C
又按照从右到左，一上一下的顺序收（ACEGBDFH）。
还是按照从左往右，先摆下面一排，再摆上面一排。
G E C A
H F D B
为什么我们能猜出来？大家看看这些字母的位置。
A 上上上 B上上下
C上下上 D上下下
E下上上 F下上下
G下下上 H下下下
八个字母的位置没有一个是相同的，他无法说哪个，你都能指出来。
现在明白了吗？八仙过海，隐藏的就是排列问题。生活中排列问题比比皆是。
比如，一张八仙桌，现在有8位客人到你们家做客。那么，他们坐的位置有多少种不同的排列方式呢？
通常大家以为可能有几十种吧。
刘教授告诉我们，先固定一个位置，那么这个位置，8个人都可以轮流去坐。等第一个人固定好后，第二个位置，有7个人可以轮流去坐。依次类推，就是：
8x7 x6 x5x4x3x2x 1=40320（种）
估计这种讲法，很多人还是感到云里雾里，那我们退到原点去思考：
1个人坐一个位置，就是1种情况
2个人坐两个位置，就是12，21，两种情况
3个人坐三个位置，就是123，132，213，231，312，321，6种情况。
4个人去坐四个位置，就是1234，1243，1324，1342，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321，共24种。
再列下去，我可就要晕了，有没有发现规律呢？
1!=1
2!=2x1= 2
3!=3x2x1=6
4!=4x3x2x1=24
再推广一下，n个东西全体不重复的排列就是n的阶乘n.
好了，我们变化一下。若有18个队员，要选11人参加比赛，有多少种情况呢？
遇到难题，我是特别愿意退一步的，我认为对解题对人生皆有大大的好处。
正如布袋和尚的悟道诗所言：
手把青秧插满田，低头便见水中天；
心地清净方为道，退步原来是向前。
我们先思考：
如果有4个人，选2个人比赛，那么有多少种情况。
用1、2、3、4代表这4个人。
如果是组成两位数，那就是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43一共12种。
但选人比赛，12和21，13和31等，都是同种情况。所以
4x3÷（1 x2）=6
如果4人选3个人比赛，那么有多少种情况。
如果组成三位数，就有24种情况：
1当大王（在百位）有6种：
123，132，124，142，134．143
其他数当大王肯定也是6种，所以共24种。
但是123，132，213，231，312，321，不都是1、2、3这3个人吗？所以要除以6。（3个数字摆3位数，有6种摆法，0除外。）
4x3x2 ÷（3x2 x1）=4
在n个人中选择m个人参加比赛，就是n! ÷m!
再试试身手？
有5个不同的字母，选出3个来摆，有多少种不同的摆法？
朋友，如果，你已经看到这一行来了，说明你是真的爱数学；如果你不仅看了还懂了，说明你真的擅长数学；如果你没坚持看到这儿，那说明你的天赋可能在理科之外……
哈哈，和大家说着玩呢，锻炼锻炼一下大脑，开心就好！正如，著名数学家陈省身先生所言：数学好玩。
最后，引用一下罗素的话吧：数学是这样一回事，研究它这种玩意儿的人也不知道自己究竟在干什么。
绛旓細杩欎笉,鍘诲勾搴,鏈嬪弸涓嶅珜楹荤儲,浠庣綉涓婃窐鍑哄垬钖板畤鐨勪笁鏈鍘熸潵鏁板鍙互杩欐牱瀛銆嬮佺粰鎴戙傚綋鎴戠炕浜嗗嚑椤,鐪嬪埌浜唍!鍜屛ｄ箣绫荤鍙峰悗,椤胯澶寸毊鍙戦夯,渚垮張鏁呮佸钀,璁╁畠璺熶紬澶氱殑涔︿竴璧锋帓闃熷幓浜嗐 杩欎簺鏃ュ瓙,铏界劧浜嬫儏涔熸槸涓嶆柇,浣嗘瘯绔熻繕鏈変笉灏戝彲浠ユ満鍔ㄧ殑鏃堕棿銆傚墠鍑犲ぉ,鎴戠壒鍦扮粰鑷繁鍋氫簡涓娆￠儜閲嶇殑鑷垜鎵硅瘎銆備簬鏄,鎴戝澹＋鏂厱...
