X趋向0时的三角函数问题 当x趋于0时,反三角正弦函数比上x怎么计算
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u6709\u6ca1\u6709\u6781\u9650\u5462\uff1f\u80fd\u4e0d\u80fd\u8bf4\u8d8b\u4e8e0\u65f6\u7684\u6781\u9650\u662f0\uff1f\u6781\u9650\u5fc5\u987b\u7ed3\u5408\u51fd\u6570\u6240\u8d8b\u8fd1\u4e8e\u7684\u70b9\u6765\u8bf4\uff0c\u624d\u6709\u610f\u4e49\u3002\u53ea\u80fd\u8bf4\u6b63\u5f26\u51fd\u6570\u548c\u6b63\u5207\u51fd\u6570\u5728x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u6781\u9650\u662f0\u3002\u5982\u679c\u662f\u4f59\u5f26\u51fd\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u5f53x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u6781\u9650\u662f1\u3002\u4f59\u5207\u51fd\u6570\u5f53x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u6781\u9650\u662f\u65e0\u7a77\u5927\u3002\u4e0d\u540c\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u5728x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u7684\u65f6\u5019\u6781\u9650\u4e0d\u4e00\u6837\u3002
\u4e00\u3001\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\uff1a
1\u3001\u5b9a\u4e49\uff1a
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u662f\u6570\u5b66\u4e2d\u5c5e\u4e8e\u521d\u7b49\u51fd\u6570\u4e2d\u7684\u8d85\u8d8a\u51fd\u6570\u7684\u4e00\u7c7b\u51fd\u6570\u3002\u5b83\u4eec\u7684\u672c\u8d28\u662f\u4efb\u4f55\u89d2\u7684\u96c6\u5408\u4e0e\u4e00\u4e2a\u6bd4\u503c\u7684\u96c6\u5408\u7684\u53d8\u91cf\u4e4b\u95f4\u7684\u6620\u5c04\u3002\u901a\u5e38\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u662f\u5728\u5e73\u9762\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\u5b9a\u4e49\u7684\u3002\u5176\u5b9a\u4e49\u57df\u4e3a\u6574\u4e2a\u5b9e\u6570\u57df\u3002
2\u3001\u76f8\u5173\u6982\u5ff5\uff1a
\u2460\u3001\u6b63\u5f26\uff1asine\uff08\u7b80\u5199sin\uff09[sain]\uff0c
\u2461\u3001\u4f59\u5f26\uff1acosine\uff08\u7b80\u5199cos\uff09[kəusain]\uff0c
\u2462\u3001\u6b63\u5207\uff1atangent\uff08\u7b80\u5199tan\uff09['tændʒənt]\uff0c
\u2463\u3001\u4f59\u5207\uff1acotangent\uff08\u7b80\u5199cot\uff09['kəu'tændʒənt]\uff0c
\u2464\u3001\u6b63\u5272\uff1asecant\uff08\u7b80\u5199sec\uff09['si:kənt]\uff0c
\u2465\u3001\u4f59\u5272\uff1acosecant\uff08\u7b80\u5199csc\uff09['kau'si:kənt]\uff0c
\u2466\u3001\u6b63\u77e2\uff1aversine\uff08\u7b80\u5199versin\uff09['və:sain]\uff0c
\u2467\u3001\u4f59\u77e2\uff1acoversed sine\uff08\u7b80\u5199covers\uff09[kəu'və:sə:d][sain]\u3002
3\u3001\u4e09\u89d2\u5173\u7cfb\uff1a
\u2460\u3001\u5012\u6570\u5173\u7cfb\uff1acot\u03b1*tan\u03b1=1\uff0c
\u2461\u3001\u5546\u7684\u5173\u7cfb\uff1asin\u03b1/cos\u03b1=tan\u03b1\uff0c
\u2462\u3001\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\uff1asin²\u03b1+cos²\u03b1=1\u3002
4\u3001\u4e09\u89d2\u89c4\u5f8b\uff1a
\u516d\u4e2a\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4f9d\u636e\u534a\u5f84\u4e3a\u4e00\u4e2d\u5fc3\u4e3a\u539f\u70b9\u7684\u5355\u4f4d\u5706\u6765\u5b9a\u4e49\u3002\u5355\u4f4d\u5706\u5b9a\u4e49\u5728\u5b9e\u9645\u8ba1\u7b97\u4e0a\u6ca1\u6709\u5927\u7684\u4ef7\u503c\uff0c\u5b9e\u9645\u4e0a\u5bf9\u591a\u6570\u89d2\u5b83\u90fd\u4f9d\u8d56\u4e8e\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u3002\u4f46\u662f\u5355\u4f4d\u5706\u5b9a\u4e49\u7684\u786e\u5141\u8bb8\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u5bf9\u6240\u6709\u6b63\u6570\u548c\u8d1f\u6570\u8f90\u89d2\u90fd\u6709\u5b9a\u4e49\uff0c\u800c\u4e0d\u53ea\u662f\u5bf9\u4e8e\u5728 0 \u548c \u03c0/2\u5f27\u5ea6\u4e4b\u95f4\u7684\u89d2\u3002\u5b83\u4e5f\u63d0\u4f9b\u4e86\u4e00\u4e2a\u56fe\u8c61\uff0c\u628a\u6240\u6709\u91cd\u8981\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u90fd\u5305\u542b\u4e86\u3002\u6839\u636e\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff0c\u5355\u4f4d\u5706\u7684\u7b49\u5f0f\u662f\uff1ax^2+y^2=1\u3002
5\u3001\u91cd\u8981\u5b9a\u7406\uff1a
\u2460\u3001\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\uff1a
\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\uff1a\u5728\u25b3ABC\u4e2d\uff0ca / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
\u5176\u4e2d\uff0cR\u4e3a\u25b3ABC\u7684\u5916\u63a5\u5706\u7684\u534a\u5f84\u3002
\u2461\u3001\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff1a
\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff1a\u5728\u25b3ABC\u4e2d\uff0cb^2 = a^2 + c^2 - 2ac\u00b7cos \u03b8\u3002
\u5176\u4e2d\uff0c\u03b8\u4e3a\u8fb9a\u4e0e\u8fb9c\u7684\u5939\u89d2\u3002
6\u3001\u5e38\u7528\u516c\u5f0f\uff1a
\u2460\u3001\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f\uff1a
\u516c\u5f0f\u4e00\uff1a\u3000
\u8bbe\u03b1\u4e3a\u4efb\u610f\u89d2\uff0c\u7ec8\u8fb9\u76f8\u540c\u7684\u89d2\u7684\u540c\u4e00\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u503c\u76f8\u7b49:
sin(\u03b1+k*2\u03c0)=sin\u03b1 \uff08k\u4e3a\u6574\u6570\uff09
cos(\u03b1+k*2\u03c0)=cos\u03b1\uff08k\u4e3a\u6574\u6570\uff09
tan(\u03b1+k*2\u03c0)=tan\u03b1\uff08k\u4e3a\u6574\u6570\uff09
\u516c\u5f0f\u4e8c\uff1a
\u8bbe\u03b1\u4e3a\u4efb\u610f\u89d2\uff0c\u03c0+\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin[(2k+1)\u03c0+\u03b1]=-sin\u03b1
cos[(2k+1)\u03c0+\u03b1]=-cos\u03b1
tan[(2k+1)\u03c0+\u03b1]=tan\u03b1
cot[(2k+1)\u03c0+\u03b1]=cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e09\uff1a
\u4efb\u610f\u89d2\u03b1\u4e0e-\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(2k-\u03b1)=-sin\u03b1
cos(2k-\u03b1)=cos\u03b1
tan(2k-\u03b1)=-tan\u03b1
cot(2k-\u03b1)=-cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u56db\uff1a
\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u4e8c\u548c\u516c\u5f0f\u4e09\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u03c0-\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin[(2k+1)\u03c0-\u03b1]=sin\u03b1
cos[(2k+1)\u03c0-\u03b1]=-cos\u03b1
tan[(2k+1)\u03c0-\u03b1]=-tan\u03b1
cot[(2k+1)\u03c0-\u03b1]=-cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e94:
\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u4e00\u548c\u516c\u5f0f\u4e09\u53ef\u4ee5\u5f97\u52302\u03c0-\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(2k\u03c0-\u03b1)=-sin\u03b1
cos(2k\u03c0-\u03b1)=cos\u03b1
tan(2k\u03c0-\u03b1)=-tan\u03b1
cot(2k\u03c0-\u03b1)=-cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u516d:
\u03c0/2\u00b1\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(\u03c0/2+\u03b1)=cos\u03b1
cos(\u03c0/2+\u03b1)=-sin\u03b1
tan(\u03c0/2+\u03b1)=-cot\u03b1
cot(\u03c0/2+\u03b1)=-tan\u03b1
sin(\u03c0/2-\u03b1)=cos\u03b1
cos(\u03c0/2-\u03b1)=sin\u03b1
tan(\u03c0/2-\u03b1)=cot\u03b1
cot(\u03c0/2-\u03b1)=tan\u03b1
\u2461\u3001\u548c\u5dee\u89d2\u516c\u5f0f\uff1a
\uff081\uff09\u3001\u4e09\u89d2\u548c\u516c\u5f0f\uff1a
sin\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\uff09=sin\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7cos\u03b3+cos\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7cos\u03b3+cos\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7sin\u03b3-sin\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7sin\u03b3
cos\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\uff09=cos\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7cos\u03b3-cos\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7sin\u03b3-sin\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7sin\u03b3-sin\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7cos\u03b3
tan\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\uff09=\uff08tan\u03b1+tan\u03b2+tan\u03b3-tan\u03b1\u00b7tan\u03b2\u00b7tan\u03b3\uff09/\uff081-tan\u03b1\u00b7tan\u03b2-tan\u03b2\u00b7tan\u03b3-tan\u03b1\u00b7tan\u03b3\uff09
\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\u2260\u03c0/2+2k\u03c0\uff0c\u03b1\u3001\u03b2\u3001\u03b3\u2260\u03c0/2+2k\u03c0\uff09
\uff082\uff09\u3001\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f\uff1a
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
\uff083\uff09\u3001\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f\uff1a
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
\u56e0\u9898\u5e72\u6761\u4ef6\u4e0d\u5b8c\u6574\uff0c\u7f3a\u5c11\u6587\u5b57\uff0c\u4e0d\u80fd\u6b63\u5e38\u4f5c\u7b54\u3002
用泰勒公式展开six=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...
所以x趋于0，sinx~x
tanx/sinx/cosx
因为cos0=1
所以tanx~sinx
所以tanx~x
而cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+...
所以x趋于0
cosx~1-x²/2
即1-cosx~x²/2
x趋于0时, sinx=0, cosx=1, tanx=sinx/cosx=0.
cosx等价于1
绛旓細杩欐槸涓涓秹鍙婂埌鏋侀檺鍜涓夎鍑芥暟鐨勯棶棰銆傞鍏堬紝鎴戜滑闇瑕佺煡閬撳綋x瓒嬩簬0鏃锛宻inx鍜寈鏄瓑浠锋棤绌峰皬锛屽嵆鏈夌瓑浠峰叕寮忥細sinx 鈮 x 鍥犳锛屽綋x瓒嬩簬0鏃讹紝sinbx鍜宻inax鍒嗗埆鍙互鏇挎崲涓篵x鍜宎x锛歴inbx 鈮 bx sinax 鈮 ax 鎺ヤ笅鏉ワ紝鎴戜滑璁＄畻sinbx/sinax锛歴inbx/sinax = (bx)/(ax)鍥犱负x瓒嬩簬0锛屾墍浠ュ垎瀛恇x鍜屽垎姣峚x...
绛旓細X瓒嬪悜0锛坰in3x锛弒in5x锛夛紛cos5x锛漧im锛孹瓒嬪悜0锛3x锛5x锛夛紛cos5x锛3锛5锛奵os5x 鑰屽綋lim锛孹瓒嬪悜0cos5x锛1 鎵浠ュ氨鐭ラ亾鍘熷紡锛3锛5銆傛柟娉曚簩锛氳В锛氳繖閲岀殑sin3x鍜宼an5x锛屼笉鑳界洿鎺ユ崲鎴3x锛屽拰5x锛屽洜涓簒鈫捪鏃讹紝x鏈韩涓嶆槸鏃犵┓灏忋備綘鍙互浠锛嵪锛漷銆傚垯x锛漷锛嬒锛岃繖鏍穢鈫捪鏃讹紝t鈫0 鏈塴im...
绛旓細six=x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+...鎵浠瓒嬩簬0锛宻inx~x tanx/sinx/cosx 鍥犱负cos0=1 鎵浠anx~sinx 鎵浠anx~x 鑰宑osx=1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+...鎵浠x瓒嬩簬0 cosx~1-x²/2 鍗1-cosx~x²/2 ...
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