过原点作曲线y＝lnx的切线，该切线与曲线y＝lnx及x轴所围成的平面区域记做D,求D绕直线x=e 一道数学应用题目:经过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线...
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Vy=\u222b\u03c0(e^y)^2dy-\u222b\u03c0(ey)^2dy
设切点为P(p, lnp), p >0
y' = 1/x
过P的切线：y - lnp = (1/p)(x - p)
过(0, 0): 0 - lnp = (1/p)(0 - p) = -1, p = e
P(e, 1), 切线y = x/e
该旋转体可分为两部分，一部分为切线, x轴，和x=e间的部分(V1); 第二部分为lnx和x轴及x = e间的部分(V2)
旋转体体积V = V1 - V2
(1) 第一部分
在x处(0 < x <e), 取dx厚度，旋转体为的半径为e - x, 高为x/e, 厚为dx的圆筒，其体积为2π[(e-x)*x/e]dx
积分得体积V1 = πe²/3
(2) 第二部分为
在x处(1 < x <e), 取dx厚度，旋转体为的半径为e - x, 高为lnx, 厚为dx的圆筒，其体积为2π[(e-x)* lnx]dx
积分得体积V2 = 4e - e²
V = πe²/3 - 4e + e² = (1 + π/3)e² - 4e
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