在二项式定理这节教材中有这样一个性质：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…Cnn=2n，n∈N（1）计算1?C30+2?C31+3?C32+4?C 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1+1．（1）若Sn...

Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+...+Cnn\u4e3a\u4ec0\u4e48\u7b49\u4e8e2^n\uff1f\u8981\u8fc7\u7a0b

\u7ec4\u5408\u7684\u65b9\u6cd5\u8bc1\u660e\uff1a
\u8bbe\u6709n\u4e2a\u5c0f\u7403\u653e\u5230\u4e24\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u76d2\u5b50\u4e2d\uff0c\u76d2\u5b50\u53ef\u4ee5\u4e3a\u7a7a\u3002
\u82e5\u5bf9\u5c0f\u7403\u8fdb\u884c\u8ba8\u8bba\uff0c\u6bcf\u4e2a\u5c0f\u7403\u6709\u4e24\u4e2a\u9009\u62e9\uff0c\u5171\u67092^n\u79cd\u653e\u6cd5\u3002
\u82e5\u7528\u5206\u7c7b\u539f\u7406\uff0c\u4e00\u53f7\u76d2\u5b50\u4e2d\u6ca1\u6709\u5c0f\u7403\u7684\u653e\u6cd5\u6709cn0\u79cd\uff0c\u6709\u4e00\u4e2a\u5c0f\u7403\u7684\u653e\u6cd5\u6709cn1\u79cd\uff0c\u6709\u4e24\u4e2a\u5c0f\u7403\u7684\u653e\u6cd5\u6709cn2\u79cd\uff0c\u6709n\u4e2a\u5c0f\u7403\u7684\u653e\u6cd5\u6709cnn\u79cd\uff0c\u5171\u6709\u653e\u6cd5cn0+cn1+cn2+\u2026+cnn\u79cd\u663e\u7136\uff0c\u4e24\u79cd\u65b9\u6cd5\u5f97\u5230\u7684\u7ed3\u679c\u76f8\u540c\uff0c\u6240\u4ee5\u6709cn0+cn1+cn2+\u2026+cnn\uff1d2^n\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u5e38\u89c1\u7684\u5e94\u7528\uff1a
\u65b9\u6cd51\uff1a\u5229\u7528\u4e8c\u9879\u5f0f\u8bc1\u660e\u6709\u5173\u4e0d\u7b49\u5f0f\u8bc1\u660e\u6709\u5173\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u65b9\u6cd5
1\u3001\u8fd0\u7528\u65f6\u5e94\u6ce8\u610f\u5de7\u5999\u5730\u6784\u9020\u4e8c\u9879\u5f0f\u3002
2\u3001\u7528\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u8bc1\u660e\u7ec4\u5408\u6570\u4e0d\u7b49\u5f0f\u65f6\uff0c\u901a\u5e38\u8868\u73b0\u4e3a\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u7684\u6b63\u7528\u6216\u9006\u7528\uff0c\u518d\u7ed3\u5408\u4e0d\u7b49\u5f0f\u8bc1\u660e\u7684\u65b9\u6cd5\u8fdb\u884c\u8bba\u8bc1\u3002
\u65b9\u6cd52\uff1a\u5229\u7528\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u8bc1\u660e\u6574\u9664\u95ee\u9898\u6216\u6c42\u4f59\u6570
1\u3001\u5229\u7528\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u89e3\u51b3\u6574\u9664\u95ee\u9898\u65f6\uff0c\u5173\u952e\u662f\u8981\u5de7\u5999\u5730\u6784\u9020\u4e8c\u9879\u5f0f\uff0c\u5176\u57fa\u672c\u505a\u6cd5\u662f\uff1a\u8981\u8bc1\u660e\u4e00\u4e2a\u5f0f\u5b50\u80fd\u88ab\u53e6\u4e00\u4e2a\u5f0f\u5b50\u6574\u9664\uff0c\u53ea\u8981\u8bc1\u660e\u8fd9\u4e2a\u5f0f\u5b50\u6309\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u5c55\u5f00\u540e\u7684\u5404\u9879\u5747\u80fd\u88ab\u53e6\u4e00\u4e2a\u5f0f\u5b50\u6574\u9664\u5373\u53ef\u3002
2\u3001\u7528\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u5904\u7406\u6574\u9664\u95ee\u9898\u65f6\uff0c\u901a\u5e38\u628a\u5e95\u6570\u5199\u6210\u9664\u6570\uff08\u6216\u4e0e\u9664\u6570\u5bc6\u5207\u76f8\u5173\u7684\u6570\uff09\u4e0e\u67d0\u6570\u7684\u548c\u6216\u5dee\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u518d\u7528\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u5c55\u5f00\uff0c\u53ea\u8003\u8651\u540e\u9762\uff08\u6216\u8005\u662f\u524d\u9762\uff09\u4e00\u3001\u4e8c\u9879\u5c31\u53ef\u4ee5\u4e86\u3002
3\u3001\u8981\u6ce8\u610f\u4f59\u6570\u7684\u8303\u56f4\uff0c\u4e3a\u4f59\u6570\uff0cb\u2208[0\uff0cr)\uff0cr\u662f\u9664\u6570\uff0c\u5229\u7528\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u5c55\u5f00\u53d8\u5f62\u540e\uff0c\u82e5\u5269\u4f59\u90e8\u5206\u662f\u8d1f\u6570\u8981\u6ce8\u610f\u8f6c\u6362\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u8bcd\u6761--\u7ec4\u5408\u6570\u516c\u5f0f
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u8bcd\u6761--\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406

\u89e3\u7b54\uff1a\uff081\uff09\u8bc1\u660e\uff1a\u7531\u5df2\u77e5\u5f97\uff0cSn =a1Cn0+a2Cn1+a3Cn2+\u2026+an+1Cnn=\uff081+1\uff09Cn0+\uff082+1\uff09Cn1+\uff0822+1\uff09Cn2+\u2026+\uff082n\uff09Cnn =\uff08Cn0+2Cn1+22Cn2+\u2026+2nCnn\uff09+\uff08Cn0+Cn1+Cn2+\u2026+Cnn\uff09=\uff081+2\uff09n+2n=3n+2n\uff0e\u5f53n\u4e3a\u5076\u6570\u65f6\uff0c\u8bben=2k\uff0ck\u2208z+\uff0c\u5219Sn-2n-4n-1=3n -4n-1=9k-8k-1\uff0e\u5f53k=1\u65f6\uff0c9k-8k-1=0\uff0c\u663e\u7136\u80fd\u88ab64\u6574\u9664\uff0e\u5047\u8bbe 9m-8m-1 \u80fd\u88ab64\u6574\u9664m\u4e3a\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u5219n=m+1\u65f6\uff0c9k-8k-1=99m-8m-8-1=9\uff089m-8m-1 \uff09+64m\uff0c\u7531\u5047\u8bbe\u77e5\uff0c9\uff089m-8m-1 \uff09\u80fd\u88ab64\u6574\u9664\uff0c\u518d\u753164m \u4e5f\u80fd\u88ab64\u6574\u9664\uff0c\u53ef\u5f97k=m+1\u65f6\uff0c9m-8m-1\u4ecd\u80fd\u88ab64\u6574\u9664\uff0e\u7efc\u4e0a\u53ef\u5f97\u5f53n\u4e3a\u5076\u6570\u65f6\uff0cSn-2n-4n-1 \u80fd\u88ab64\u6574\u9664\uff0e\uff082\uff09\u2235b1Cn1+b2Cn2+\u2026+bnCnn=n\uff08an-1\uff09\u5bf9\u4e00\u5207n\u2208N*\u90fd\u6210\u7acb\uff0can=2n-1+1\uff0c\u6545\u5f53n=1\u65f6\uff0c\u6709 b1 =a1 -1=1\uff0c\u5f53n=2\u65f6\uff0c\u6709 2 b1 +b2 =2\uff08a2 -1\uff09=4\uff0c\u2234b2 =2\uff0e\u5f53n=3\u65f6\uff0c\u6709 3b1 +3b2+b3=3\uff08a3-1\uff09\uff0c\u5373 3+6+b3=3\u00d74\uff0c\u2234b3=3\uff0e\u82e5\u5b58\u5728\u7b49\u5dee\u6570\u5217{bn}\uff0c\u4f7f\u5f97b1Cn1+b2Cn2+\u2026+bnCnn=n\uff08an-1\uff09\u5bf9\u4e00\u5207n\u2208N*\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u5219\u5e94\u6709bn =n\uff0e\u7531\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u53ef\u5f97 Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1 =2n-1 \u6210\u7acb\uff0c\u6545\u6709n\uff08Cn-10+Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1\uff09=n?2n-1\uff0c\u5373Cn1+2Cn2+\u2026+nCnn=n\uff08an-1\uff09=n2n-1 \u5bf9\u4e00\u5207n\u2208N*\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u6545\u5b58\u5728\u7b49\u5dee\u6570\u5217{bn}\uff0c\u4f7f\u5f97b1Cn1+b2Cn2+\u2026+bnCnn=n\uff08an-1\uff09\u5bf9\u4e00\u5207n\u2208N*\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u6b64\u65f6\uff0cbn =n\uff0e\uff083\uff09Tn=1!Cn1+2!Cn2+3!Cn3+\u2026+n!Cnn\uff08n=1\uff0c2\uff0c3\uff0c\u2026\uff09\uff0c\u7531\u9898\u610f\u53ef\u5f9711+log2(an?1)=11+(n?1)=1n\uff0c\u22343-11+log2(an?1)=3-1n\uff0e\u8981\u8bc1\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5373\uff1a\uff081+1T1\uff09\uff081+1T2\uff09\uff081+1T3\uff09\u2026\uff081+1Tn\uff09\u22643-1n\uff0e\u5f53n=2\u65f6\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u5de6\u8fb9\u7b49\u4e8e \uff081+11\uff09\uff081+14\uff09=52\uff0c\u53f3\u8fb9\u7b49\u4e8e3-12=52\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\uff0e\u5047\u8bben=k\u65f6\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\uff0c\u5373\uff1a\uff081+1T1\uff09\uff081+1T2\uff09\uff081+1T3\uff09\u2026\uff081+1 Tk\uff09\u22643-1k\uff0c\u5219n=k+1\u65f6\uff0c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u5de6\u8fb9\u7b49\u4e8e\uff1a\uff081+1T1\uff09\uff081+1T2\uff09\uff081+1T3\uff09\u2026\uff081+1Tk\uff09\uff081+1Tk+1\uff09\u2264\uff083-1k \uff09\uff081+1Tk+1\uff09\u2264\uff083-1k \uff09\uff081+1k+1\uff09=3+?43(k+1)\uff1c3-33(k+1)=3-1(k+1)=\u53f3\u8fb9\uff0c\u6545n=k+1\u65f6\uff0c\uff081+1T1\uff09\uff081+1T2\uff09\uff081+1T3\uff09\u2026\uff081+1Tn\uff09\u22643-1n\u4e5f\u6210\u7acb\uff0e\u7efc\u4e0a\u53ef\u5f97\uff1a\uff081+1T1\uff09\uff081+1T2\uff09\uff081+1T3\uff09\u2026\uff081+1Tn\uff09\u22643-11+log2(an?1)\u6210\u7acb\uff0e

（1）设S=1?C₂⁰+2?C₂¹+3?C₂²又S=3?C₂²+2?C₂¹+1?C₂⁰
相加2S=4（C₂⁰+C₂¹+C₂²）=16，S=8
设S=1?C₄⁰+2?C₄¹+3?C₄²+4?C₄³+5?C₄⁴
又S=5?C₄⁴+4?C₄³+3?C₄²+2?C₄¹+1?C₄⁰
相加2S=6（C₃⁰+C₄¹+C₄²+C₄³+C₄⁴），∴S=3?2⁴=48
（2）1?C_n⁰+2?C_n¹+3?C_n²+…+（n+1）C_nⁿ=（n+2）?2^n-1
设S=1?C_n⁰+2?C_n¹+3?C_n²+…+（n+1）C_nⁿ
又S=（n+1）C_nⁿ+nC_n^n-1+…+1?C_n⁰
相加2S=（n+2）（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）∴S＝

n+2

n

?2n＝(n+2)?2n?1
（3）当q=1时  S_n=na₁S₁C_n⁰+S₂C_n¹+…+S_n+1C_nⁿ
=a₁C_n⁰+2a₁C_n¹+…+（n+1）a₁C_nⁿ
=a₁（1?C_n⁰+2?C_n¹+…+（n+1）C_nⁿ）
=a₁?（n+2）?2^n-1
当q≠1时    Sn＝

a1(1?qn)

1?q

＝

a1

1?q

?

a1

1?q

qn
S₁C_n⁰+S₂C_n¹+S₃C_n²+…+S_n+1C_nⁿ=(

a1

1?q

?

a1

1?q

q)

C

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