单调有界定理，求数列极限：有详细过程 单调有界定理，求数列极限：有详细过程
\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5355\u8c03\u6709\u754c\u51fd\u6570\u672a\u5fc5\u6709\u6781\u9650\uff0c\u800c\u5355\u8c03\u6709\u754c\u6570\u5217\u5fc5\u6709\u6781\u9650\uff1f\u4e3e\u4e2a\u7b80\u5355\u4f8b\u5b50\uff0c\u5206\u6bb5\u51fd\u6570x+1\u548cx-1
\u9996\u5148\u8bc1\u660e\u6709\u4e0a\u754c\uff0c\u5373\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684n\uff0cxn\u90fd\u5c0f\u4e8e\u7b49\u4e8e\u67d0\u4e2a\u5e38\u6570c\u3002
\u6211\u4eec\u8bc1\u660exn<=2\uff0c\u7528\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\u8bc1
1.x1=\u221a2<2;
2.\u8bbexk<=2,x(k+1)=\u221a(2+x(k))<=\u221a(2+2)=2;
\u53ef\u77e5xn<2;
\u518d\u8bc1\u660exn\u5355\u8c03\u9012\u589e\uff1a
\u521a\u624d\u5df2\u7ecf\u77e5\u9053xn=\u221a(x(n-1)+x(n-1))=\u221a2*x(n-1)>=
\u221ax(n-1)*x(n-1)=x(n-1)\uff1b\u4e0a\u9762\u7684\u63a8\u5bfc\u5f0f\u7684\u4f9d\u636e\u90fd\u662fx(n-1)<=2
\u6240\u4ee5xn>=x(n-1)\uff0c\u6240\u4ee5xn\u662f\u5355\u8c03\u589e\u5e8f\u5217
\u4ee5\u4e0a\u5c31\u8bc1\u660e\u4e86xn\u5e8f\u5217\u5355\u8c03\u589e\u6709\u4e0a\u754c\uff0c\u6240\u4ee5\u6781\u9650\u5b58\u5728
\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u8fd9\u4e2a\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u5c31\u662f2\uff0c\u8ba1\u7b97\u6781\u9650\u53ef\u4ee5\u8fd9\u6837\u7b97
\u8bbex\u4e3axn\u7684\u6781\u9650\uff0c\u5bf9\u5f0f\u5b50xn=\u221a(2+x(n-1))\u4e24\u8fb9\u53d6\u6781\u9650\u6709
x=\u221a(2+x),\u89e3\u5f97x=2\uff0c\u53ef\u77e5x=2
取bn=1/an,则bn+1=√[(an+1)/an]=√(1+1/an)=√(1+bn)
作特征方程x=√(1+x),x>0,解得x=(1+√5)/2
|bn+1-(1+√5)/2|=|√(1+bn)-(1+√5)/2|
=|1+bn-(1+√5)²/4|/|√(1+bn)+(1+√5)/2|
=|bn-(1+√5)/2|/|√(1+bn)+(1+√5)/2|
<|bn-(1+√5)/2|/|(1+√5)/2|
=(√5-1)/2*|bn-(1+√5)/2|
得0<|bn-(√5+1)/2|<(√5-1)/2*|bn-1-(1+√5)/2|<...<[(√5-1)/2]^(n-1)*|b1-(1+√5)/2|
又∵lim(n→∞)[(√5-1)/2]^(n-1)*|b1-(1+√5)/2|=0
∴lim(n→∞)0=0
夹逼定理得lim(n→∞)|bn-(√5+1)/2|=0
∴lim(n→∞)bn=(√5+1)/2=1/an
∴lim(n→∞)an=2/(√5+1)=(√5-1)/2
由题意得an>0
取bn=1/an,则bn+1=√[(an+1)/an]=√(1+1/an)=√(1+bn)
作特征方程x=√(1+x),x>0,解得x=(1+√5)/2
|bn+1-(1+√5)/2|=|√(1+bn)-(1+√5)/2|
=|1+bn-(1+√5)²/4|/|√(1+bn)+(1+√5)/2|
=|bn-(1+√5)/2|/|√(1+bn)+(1+√5)/2|
<|bn-(1+√5)/2|/|(1+√5)/2|
=(√5-1)/2*|bn-(1+√5)/2|
得0<|bn-(√5+1)/2|<(√5-1)/2*|bn-1-(1+√5)/2|<...<[(√5-1)/2]^(n-1)*|b1-(1+√5)/2|
又∵lim(n→∞)[(√5-1)/2]^(n-1)*|b1-(1+√5)/2|=0
∴lim(n→∞)0=0
夹逼定理得lim(n→∞)|bn-(√5+1)/2|=0
∴lim(n→∞)bn=(√5+1)/2=1/an
∴lim(n→∞)an=2/(√5+1)=(√5-1)/2
绛旓細鍙朾n=1/an,鍒檅n+1=鈭歔(an+1)/an]=鈭(1+1/an)=鈭(1+bn)浣滅壒寰佹柟绋媥=鈭(1+x),x>0,瑙ｅ緱x=(1+鈭5)/2 |bn+1-(1+鈭5)/2|=|鈭(1+bn)-(1+鈭5)/2| =|1+bn-(1+鈭5)²/4|/|鈭(1+bn)+(1+鈭5)/2| =|bn-(1+鈭5)/2|/|鈭(1+bn)+(1+鈭5)/2| ...
绛旓細鍗曡皟鏈夌晫瀹氱悊锛氳嫢鏁板垪{an}閫掑鏈変笂鐣岋紙閫掑噺鏈変笅鐣岋級锛屽垯鏁板垪{an}鏀舵暃锛屽嵆鍗曡皟鏈夌晫鏁板垪蹇呮湁鏋侀檺銆傚叿浣撴潵璇达紝濡傛灉涓涓鏁板垪鍗曡皟閫掑涓旀湁涓婄晫锛屾垨鍗曡皟閫掑噺涓旀湁涓嬬晫锛屽垯璇ユ暟鍒楁敹鏁涖
绛旓細姹傛暟鍒楁瀬闄鐨勬柟娉曞寘鎷洿鎺ヨ绠楁硶銆佸す閫瀹氱悊銆鍗曡皟鏈夌晫瀹氱悊銆佸瓙鍒楁硶銆佹柉鎵樺厠鏂畾鐞嗙瓑銆1銆佺洿鎺ヨ绠楁硶锛氬浜庢煇浜涚畝鍗曠殑鏁板垪锛屽彲浠ョ洿鎺ラ氳繃璁＄畻寰楀埌鏋侀檺鍊笺備緥濡傦紝鏁板垪1锛1/2锛1/3锛...鐨勬瀬闄愪负0銆2銆佸す閫煎畾鐞嗭細濡傛灉鏁板垪{xn}婊¤冻a鈮 xn鈮 b锛屼笖a鍜 b鐨勬瀬闄愬潎涓篖锛岄偅涔堟暟鍒梴xn}鐨勬瀬闄愪篃涓篖銆傚す閫煎畾...
绛旓細limxn鐨鏋侀檺绛変簬3銆傝瘉鏄庤繃绋嬪涓嬶細璁緓1=10锛寈n+1=鏍瑰彿涓(6+xn)(n=1锛2鈥︹)锛岃瘉鏄鏁板垪{xn}鏈夋瀬闄锛鏁板垪鏋侀檺鐨勫瓨鍦ㄧ殑鏉′欢 1銆鍗曡皟鏈夌晫瀹氱悊 鍦ㄥ疄鏁扮郴涓紝鍗曡皟鏈夌晫鏁板垪蹇呮湁鏋侀檺銆2銆佽嚧瀵嗘у畾鐞 浠讳綍鏈夌晫鏁板垪蹇呮湁鏀舵暃鐨勫瓙鍒椼
绛旓細杩欎釜瀹氱悊鏄瘉鏄鏁板垪 (鎴栧嚱鏁) 鏋侀檺瀛樺湪鐨勫敮涓渚濇嵁, 涓鑸垎涓轰袱涓楠, 绗竴 姝ヨ瘉鏄鍗曡皟鎬, 绗簩姝ヨ瘉鏄鏈夌晫銆3銆佺敤鏁板垪瀹氫箟姹傝В鏁板垪鏋侀檺 涓昏杩愮敤鏁板垪鐨 蔚−N 瀹氫箟: 瀵 ∀蔚>0,∃N>0 , 浣垮緱褰 n>N 鏃, 鏈 |an−a|<蔚 , 鍒欑О鏁板垪 {an} 鏀舵暃, 瀹氭暟a 绉颁负 ...
绛旓細瀹氱悊锛氬崟璋冩湁鐣屾暟鍒蹇呮湁鏋侀檺銆--- 鎵浠ョ幇鍦ㄨ璇佹槑涓や釜浜嬫儏锛岀涓锛屾暟鍒{xn}鍗曡皟锛涚浜岋紝鏁板垪{xn}鏈夌晫 (1)鍗曡皟鎬 鍥犱负褰揦n>0鏃讹紝X(n+1)>0锛屽張X0>0 鎵浠ュ浜庝换鎰忕殑n鏈塜n>0 鏁呭埄鐢ㄥ潎鍊间笉绛夊紡锛屽浠绘剰鐨刵閮芥湁 X(n+1)=Xn/2+2/Xn鈮2鈭(Xn/2 * 2/Xn)=2 鍙︿竴鏂归潰锛屽浠绘剰鐨刵閮芥湁...
绛旓細鏁板垪鏋侀檺姹傝В鏈夊洓绉嶅父鐢ㄦ柟娉曪細1銆佸畾涔夋硶銆3銆 杩愮敤鍗曡皟鏈夌晫瀹氱悊銆鍗曡皟鏈夌晫瀹氱悊:鍦ㄥ疄鏁扮郴涓紝鏈夌晫鐨鍗曡皟鏁板垪蹇呮湁鏋侀檺銆4銆 鍒╃敤杩暃鎬у噯鍒(鍗充袱杈瑰す娉)銆傛敞鎰忥細杩暃鎬у湪姹傛暟鍒楁瀬闄涓簲鐢ㄥ箍娉涳紝甯镐笌鍏朵粬鍚勭鏂规硶缁煎悎浣跨敤锛岃捣鐫鍩虹鎬х殑浣滅敤銆
绛旓細1.鏁板垪鍗曡皟閫掑鎴栧崟璋冮掑噺;2.鏁板垪鏈涓涓笂鐣屽拰涓涓笅鐣屻備笅闈㈡垜浠皢璇佹槑:瀵逛簬浠绘剰鍗曡皟鏈夌晫鏁板垪锛屽畠閮芥湁涓涓瀬闄愩傝瘉鏄庤繃绋嬪涓:涓嶅Θ璁緖鈥溾潁涓烘湁涓婄晫鐨勯掑鏁板垪锛岀敱纭晫鍘熺悊锛屾暟鍒梴鈥溾潁鏈変笂鐣岋紝璁癮=sup{an}涓嬮潰璇佹槑鈥滃氨鏄瘂鈥溾潁鐨勬瀬闄.浜嬪疄涓婏紝浠荤粰蔚>0,鎸変笂纭晫鐨瀹氱悊锛瀛樺湪鏁板垪{鈥溾潁涓煇...
绛旓細鍗曡皟鏈夌晫瀹氱悊 鍗曡皟鏈夌晫瀹氱悊锛鏄竴涓暟瀛︽湳璇紝鏄寚鍗曡皟鏈夌晫鏁板垪蹇呮敹鏁涳紙鏈夋瀬闄愶級锛屽彧鑳界敤浜庤瘉鏄鏁板垪鏋侀檺鐨勫瓨鍦ㄦс傚湪涓鑸殑鏁欑涔︿腑锛屽崟璋冩湁鐣屽畾鐞嗘槸閫氳繃纭晫鍘熺悊鏉ヨ瘉鏄庣殑锛屽嵆閫氳繃纭晫鍘熺悊鐭ラ亾{xn}鏈変笂锛堜笅锛夌‘鐣屛憋紝鍐嶈瘉鏄巤xn}鏀舵暃浜幬便備簨瀹炰笂锛屽崟璋冩湁鐣屽畾鐞嗕笌纭晫鍘熺悊绛変环锛屾棦鍙互鐢辩‘鐣屽師鐞嗗緱鍒板崟璋...
绛旓細璁緖x[n]}鍗曡皟鏈夌晫锛堜笉濡ㄨ鍗曞锛,閭ｄ箞瀛樺湪M>=x[n]锛堜换鎰弉锛夈傛墍浠x[n]}鏈変笂纭晫,璁颁綔l銆傚浠绘剰姝ｆ暟a,瀛樺湪鑷劧鏁癗,浣垮緱x[N]>l-a銆傚洜涓簒[n]鍗曞,鎵浠ュ綋n>=N鏃,l-a鎵浠x[n]-l|鎵浠x[n]}鏋侀檺瀛樺湪,涓簂銆傝瘉鏄 璁鏁板垪{xn}鍗曡皟閫掑涓旀湁涓婄晫锛屾帴涓嬫潵鐢ㄦ埓寰烽噾瀹氱悊璇佹槑{xn}蹇呮湁...
