高等数学等价无穷小替换证明,谁能给我证明一下(要过程)? 高等数学 等价无穷小替换问题
\u9ad8\u6570\u4e2d\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u8981\u600e\u4e48\u8bc1\u660e\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x \u5206\u6bcd\u5bfc\u6570\u90fd\u662f1\uff0c\u90a3\u4e0d\u5c31\u5206\u522b\u53d8\u6210\u4e861/(1+x)\u548ce^x\u5f53x\u21920\u65f6\u7684\u6781\u9650\u3002
lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 \u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u5206\u522b\u6c42\u5bfc)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
1- cosx ~ x^2/2
\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u548c\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
2\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
3\u3001\u6709\u754c\u51fd\u6570\u4e0e\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
4\u3001\u7279\u522b\u5730\uff0c\u5e38\u6570\u548c\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u4e58\u79ef\u4e5f\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
5\u3001\u6052\u4e0d\u4e3a\u96f6\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
1\u3001\u201c\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u66ff\u6362\u4e00\u822c\u53d1\u751f\u5728\u8ba1\u7b97\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6bd4\u503c\u7684\u6781\u9650\uff08\u6216\u8005\u8bf4\u662f\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u6781\u9650\u503c\u4e4b\u6bd4\uff09\u65f6\u201d\u3002
[\u8bc4\u6790] \u5b8c\u5168\u6b63\u786e\uff01
2\u3001\u201c\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u5728\u662f\u4e58\u9664\u65f6\u53ef\u4ee5\u66ff\u6362\uff0c\u52a0\u51cf\u65f6\u4e0d\u53ef\u66ff\u6362\u201d\u3002
[\u8bc4\u6790] \u4e0d\u5b8c\u5168\u5bf9\uff01
\u5982\u679c\u53ea\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e4b\u95f4\u7684\u52a0\u52a0\u51cf\u51cf\u65f6\uff0c\u7ed3\u679c\u4e00\u5b9a\u8fd8\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u5b8c\u5168\u53ef\u4ee5\u66ff\u4ee3\u3002
\u5982\u679c\u52a0\u51cf\u65f6\uff0c\u8fd8\u6d89\u53ca\u5230\u5176\u4ed6\u8fd0\u7b97\uff0c\u5219\u4e0d\u80fd\u4e00\u6982\u800c\u8bba\u3002
\u53ea\u8981\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u90fd\u53ef\u4ee5\u66ff\u6362\u3002
3\u3001\u201c\u5728\u8ba1\u7b97\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e4b\u6bd4\u7684\u6781\u9650\u65f6\uff0c\u7406\u8bba\u4e0a\u8981\u66ff\u6362\uff0c\u662f\u8981\u66ff\u6362\u6389\u5206\u5b50\u4e0a\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\uff08\u6574\u4e2a\u5f0f\u5b50\uff09\uff0c\u6216\u8005\u5206\u6bcd\u4e0a\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\uff08\u6574\u4e2a\u5f0f\u5b50\uff09\uff0c\u8fd9\u65f6\u5176\u5b9e\u662f\u5c06\u6574\u4e2a\u5206\u5b50\u6216\u5206\u6bcd\u5f53\u4f5c\u4e00\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u201d\u3002
[\u8bc4\u6790]\uff1a\u5b8c\u5168\u6b63\u786e\uff01
4\u3001\u201c\u800c\u5982\u679c\u5206\u5b50\u6216\u5206\u6bcd\u4e0a\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e0d\u662f\u7531\u4e00\u4e2a\u56e0\u5f0f\uff08\u5982\u5355\u5355\u4e00\u4e2aSIN X,\u6216tan X\uff09\u6784\u6210\u7684\uff0c\u800c\u662f\u7531\u591a\u4e2a\u56e0\u5f0f\u901a\u8fc7\u76f8\u4e58\u9664\u6216\u76f8\u52a0\u51cf\u6784\u6210\u7684\uff0c\u5982 ln\uff081+x\uff09* x \u548cln\uff081+x\uff09+ x \u3002\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u627e\u4e00\u4e2a\u4e0eln\uff081+x\uff09* x \u6216 ln\uff081+x\uff09+ x \u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u6765\u66ff\u6362\u4ed6\u3002
\u56e0\u4e3aln\uff081+x\uff09*X \u8fd9\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u662f\u7531\u4e24\u4e2a\u56e0\u5f0f \u60f3\u4e58\u800c\u6210\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u66ff\u6362\u6389\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2aln\uff081+x\uff09\u4e3a x\uff0c\u4e4b\u540e\u5f62\u6210\u7684x^2 \u5c31\u662fln\uff081+x\uff09* x\u7684 \u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u6240\u4ee5\u53ef\u4ee5\u66ff\u6362\u3002\u800cln\uff081+x\uff09+ x \uff0c\u56e0\u4e3a\u5176\u662f\u7531\u4e24\u4e2a\u56e0\u5f0f\u76f8\u52a0\u800c\u5f62\u6210\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\uff0c\u6240\u4ee5\u5982\u679c\u66ff\u6362\u6389ln\uff081+x\uff09\u4e3aX\uff0c\u800c\u5f62\u6210\u76842X\u4e0d\u662fln\uff081+x\uff09+ x\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u6240\u4ee5\u4e5f\u5c31\u4e0d\u80fd\u66ff\u6362\u201d\u3002
[\u8bc4\u6790]\uff1a\u697c\u4e3b\u88ab\u7f51\u4e0a\u8bef\u5bfc\u4e86\uff01
x \u4e0e ln(1+x\uff09 \u662f\u540c\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f
x^2 \u4e0e x*ln(1+x) \u4ecd\u7136\u662f\u540c\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f \u3002
2x \u4e0e\u3014x + ln(1+x)\u3015\u4e5f\u662f\u540c\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
\u697c\u4e3b\u540e\u9762\u53d7\u7f51\u4e0a\u8bef\u5bfc\u4e0d\u6d45\u3002\u8d76\u7d27\u7ea0\u6b63\u3002
洛必达法则,[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1,那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限。
lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
1- cosx ~ x^2/2
无穷小的性质:
1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
4、特别地,常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小。
洛必达法则呀 [ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1.那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限
lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
=>
1- cosx ~ x^2/2
扩展资料:
1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
4、特别地,常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大,无穷大的倒数为无穷小。
参考资料来源:百度百科-无穷小量
:洛必达法则呀 [ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1.那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限了吗?
绛旓細x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx;x~ln(1+x)~(e^x-1);(1-cosx)~x*x/2;[(1+x)^n-1]~nx;loga(1+x)~x/lna;a鐨剎娆℃柟~xlna;(1+x)鐨1/n娆℃柟~1/nx(n涓烘鏁存暟锛夛紱娉細^ 鏄箻鏂癸紝~鏄瓑浠蜂簬锛岃繖鏄垜鍋氶鐨勬椂鍊欐荤粨鍑烘潵鐨勩傞棶棰樹簩锛楂樼瓑鏁板锛鍏充簬绛変环鏃犵┓灏鐨鏇挎崲锛鎴戣繕鏄笉鎳...
绛旓細sin(x)鈭2鍜(sinx)鈭2鍦▁=0鐨勬椂鍊欓兘绛変环浜巟²銆楂樼瓑鏁板绛変环鏃犵┓灏忔浛鎹鏃讹紝sinx锝瀤锛岄偅涔堬紙sinx锛塣2鍙互鏇挎崲涓簒^2锛堝钩鏂癸級銆傚綋x鈫0鏃讹紝sinx鐨勬嘲鍕掑睍寮寮忎负sinx锛漻锛媜锛坸锛塷锛坸锛夋寚鐨勬槸x鐨勯珮闃舵棤绌峰皬锛屾墍浠ュ綋x鈫0鏃 鍙互锛坰inx锛夛綖x褰搙鈫0鏃讹紙sinx锛²锛漻²锛媜锛坸&...
绛旓細涓棿杩囩▼锛岀瓑浠锋棤绌峰皬浠f崲鐢ㄤ簬涔橀櫎寮忓瓙锛屾渶鍚庤繃绋嬶紝 閮藉彲浠ヤ唬鎹紝渚嬪 lim<x鈫0> [(1-cosx)/(xsinx) + arctanx]= lim<x鈫0> [(x^2/2)/(x^2) + arctanx]= 1/2 + 0 = 1/2.浣犵殑寮忓瓙 lim<x鈫0> (1+x)/(xtanx)lim<x鈫0> (1+x)/(x^2) = 鈭 ...
绛旓細鍒氫竴鐪嬫纭紝鍏跺疄绛変环蹇呴』浣垮緱鍒嗗瓙鍜屽垎姣嶆暣浣绛変环锛涓嶈兘闈犳煇涓嚱鏁扮瓑浠风畝鍗曠殑鏇挎崲锛鍙﹀鍙互鐢ㄧ綏姣旇揪娉曞垯銆
绛旓細姹傚鍗冲彲 y'=2sin2x-sinx y''=4cos2x-cosx锝3 涓3x²/2鐨勪簩闃跺鐩哥瓑 鍗绛変环3x²/2
绛旓細瀵逛簬浣犵粰鐨勫叿浣撻棶棰橈紝瑕佹敞鎰弜->0+鏃 lim ln(tan2x)/ln(2x) = 1 + lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) = 1 鎵浠ユ墠鑳藉鑷绛変环鏃犵┓灏鐨鏇挎崲銆傚綋鐒讹紝鎴戣涓鸿繖鏍风殑鏇挎崲娌′粈涔堜环鍊锛岃瘉鏄鍙互鏇挎崲鐨勯毦搴﹀拰鍘熼棶棰樼浉褰擄紝鍙笉杩囨槸渚夸簬浣犱娇鐢↙'Hospital娉曞垯鑰屽凡锛屼絾杩欑被闂鏍规湰涓嶉渶瑕佺敤L'Hospital娉曞垯...
绛旓細绛変环鏃犵┓灏忔浛鎹鍏紡鏄楂樼瓑鏁板涓殑涓涓噸瑕佹蹇碉紝瀹冩槸鎸囧湪姹傛瀬闄愮殑杩囩▼涓紝灏嗗鏉傜殑绛変环鏃犵┓灏忔浛鎹㈠叕寮忔槸楂樼瓑鏁板涓殑涓涓噸瑕佹蹇碉紝瀹冩槸鎸囧湪姹傛瀬闄愮殑杩囩▼涓紝灏嗗鏉傜殑鏃犵┓灏忕敤绠鍗曠殑鏃犵┓灏忔潵浠f浛锛屼粠鑰岀畝鍖栨瀬闄愮殑姹傝В杩囩▼銆傜瓑浠锋棤绌峰皬鐨勫畾涔夋槸锛氳f(x)鍜実(x)鍦▁瓒嬩簬鏌愪竴鐐筧鏃堕兘鏄棤绌峰皬锛屽鏋滃畠浠...
绛旓細涓夎鍑芥暟涓庡弽涓夎鍑芥暟鐨绛変环鏃犵┓灏 sinx ~ x锛氳繖涓熀鏈瀬闄愬湪銆楂樼瓑鏁板銆嬪悓娴庣増鐨璇佹槑涓湁鐫璇︾粏鐨勯槓杩帮紝鍏朵腑宸у鍦拌繍鐢ㄤ簡杈呭姪鍦嗗拰澶归煎噯鍒欍1-cosx ~ 1/2 x²锛氬叧閿湪浜庡埄鐢ㄤ笁瑙掑嚱鏁扮殑浜屽嶈鍏紡锛屽綋2x鏇挎崲涓簒鏃讹紝缁撳悎绛変环鏃犵┓灏弒inx~x锛屾垜浠緱鍒拌繖涓閲嶈缁撴灉銆傚叾浠栫瓑浠锋棤绌峰皬鎺ㄥ tanx ~ ...
绛旓細鏂规硶濡備笅鍥炬墍绀猴紝璇疯鐪熸煡鐪嬶紝绁濆涔犳剦蹇細
绛旓細绛変环鏃犵┓灏忓繀椤绘槸鎵姹傛瀬闄愬紡瀛愬緱鏁翠綋鐨勪箻闄ゅ洜瀛愭墠琛 浣犳妸5 2/x閮芥彁鍑烘潵浜 鏈鍚庢墍寰楃殑闄ゆ硶涓嶆槸鏁翠綋鐨勪箻闄ゅ洜瀛 鎵浠ヤ笉琛 绗簩棰樺彲浠 鎴戝厛璇翠笅绛変环鏃犵┓灏忓湪鍔犲噺鑳界敤鐨勬潯浠 鏄敱娉板嫆鍏紡寰楀埌鐨 e^(x^2-2x)=1+x^2-2x+o(x^2)杩欐槸娉板嫆鍏紡鍒嗚В鍑虹殑 甯﹀叆鍜屼綘鐨绛変环鏃犵┓灏忔浛鎹鐨勭浉鍚 鎵浠ョ鍒...