高等数学等价无穷小替换证明，谁能给我证明一下（要过程）？ 高等数学 等价无穷小替换问题
\u9ad8\u6570\u4e2d\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u8981\u600e\u4e48\u8bc1\u660e\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x \u5206\u6bcd\u5bfc\u6570\u90fd\u662f1\uff0c\u90a3\u4e0d\u5c31\u5206\u522b\u53d8\u6210\u4e861/(1+x)\u548ce^x\u5f53x\u21920\u65f6\u7684\u6781\u9650\u3002
lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 \u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u5206\u522b\u6c42\u5bfc)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
1- cosx ~ x^2/2
\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u548c\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
2\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
3\u3001\u6709\u754c\u51fd\u6570\u4e0e\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
4\u3001\u7279\u522b\u5730\uff0c\u5e38\u6570\u548c\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u4e58\u79ef\u4e5f\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
5\u3001\u6052\u4e0d\u4e3a\u96f6\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
1\u3001\u201c\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u66ff\u6362\u4e00\u822c\u53d1\u751f\u5728\u8ba1\u7b97\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6bd4\u503c\u7684\u6781\u9650\uff08\u6216\u8005\u8bf4\u662f\u4e24\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u6781\u9650\u503c\u4e4b\u6bd4\uff09\u65f6\u201d\u3002
[\u8bc4\u6790] \u5b8c\u5168\u6b63\u786e\uff01
2\u3001\u201c\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u5728\u662f\u4e58\u9664\u65f6\u53ef\u4ee5\u66ff\u6362\uff0c\u52a0\u51cf\u65f6\u4e0d\u53ef\u66ff\u6362\u201d\u3002
[\u8bc4\u6790] \u4e0d\u5b8c\u5168\u5bf9\uff01
\u5982\u679c\u53ea\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e4b\u95f4\u7684\u52a0\u52a0\u51cf\u51cf\u65f6\uff0c\u7ed3\u679c\u4e00\u5b9a\u8fd8\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u5b8c\u5168\u53ef\u4ee5\u66ff\u4ee3\u3002
\u5982\u679c\u52a0\u51cf\u65f6\uff0c\u8fd8\u6d89\u53ca\u5230\u5176\u4ed6\u8fd0\u7b97\uff0c\u5219\u4e0d\u80fd\u4e00\u6982\u800c\u8bba\u3002
\u53ea\u8981\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u90fd\u53ef\u4ee5\u66ff\u6362\u3002
3\u3001\u201c\u5728\u8ba1\u7b97\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e4b\u6bd4\u7684\u6781\u9650\u65f6\uff0c\u7406\u8bba\u4e0a\u8981\u66ff\u6362\uff0c\u662f\u8981\u66ff\u6362\u6389\u5206\u5b50\u4e0a\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\uff08\u6574\u4e2a\u5f0f\u5b50\uff09\uff0c\u6216\u8005\u5206\u6bcd\u4e0a\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\uff08\u6574\u4e2a\u5f0f\u5b50\uff09\uff0c\u8fd9\u65f6\u5176\u5b9e\u662f\u5c06\u6574\u4e2a\u5206\u5b50\u6216\u5206\u6bcd\u5f53\u4f5c\u4e00\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u201d\u3002
[\u8bc4\u6790]\uff1a\u5b8c\u5168\u6b63\u786e\uff01
4\u3001\u201c\u800c\u5982\u679c\u5206\u5b50\u6216\u5206\u6bcd\u4e0a\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e0d\u662f\u7531\u4e00\u4e2a\u56e0\u5f0f\uff08\u5982\u5355\u5355\u4e00\u4e2aSIN X,\u6216tan X\uff09\u6784\u6210\u7684\uff0c\u800c\u662f\u7531\u591a\u4e2a\u56e0\u5f0f\u901a\u8fc7\u76f8\u4e58\u9664\u6216\u76f8\u52a0\u51cf\u6784\u6210\u7684\uff0c\u5982 ln\uff081+x\uff09* x \u548cln\uff081+x\uff09+ x \u3002\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u627e\u4e00\u4e2a\u4e0eln\uff081+x\uff09* x \u6216 ln\uff081+x\uff09+ x \u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u6765\u66ff\u6362\u4ed6\u3002
\u56e0\u4e3aln\uff081+x\uff09*X \u8fd9\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u662f\u7531\u4e24\u4e2a\u56e0\u5f0f \u60f3\u4e58\u800c\u6210\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u66ff\u6362\u6389\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2aln\uff081+x\uff09\u4e3a x\uff0c\u4e4b\u540e\u5f62\u6210\u7684x^2 \u5c31\u662fln\uff081+x\uff09* x\u7684 \u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u6240\u4ee5\u53ef\u4ee5\u66ff\u6362\u3002\u800cln\uff081+x\uff09+ x \uff0c\u56e0\u4e3a\u5176\u662f\u7531\u4e24\u4e2a\u56e0\u5f0f\u76f8\u52a0\u800c\u5f62\u6210\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\uff0c\u6240\u4ee5\u5982\u679c\u66ff\u6362\u6389ln\uff081+x\uff09\u4e3aX\uff0c\u800c\u5f62\u6210\u76842X\u4e0d\u662fln\uff081+x\uff09+ x\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u6240\u4ee5\u4e5f\u5c31\u4e0d\u80fd\u66ff\u6362\u201d\u3002
[\u8bc4\u6790]\uff1a\u697c\u4e3b\u88ab\u7f51\u4e0a\u8bef\u5bfc\u4e86\uff01
x \u4e0e ln(1+x\uff09 \u662f\u540c\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f
x^2 \u4e0e x*ln(1+x) \u4ecd\u7136\u662f\u540c\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f \u3002
2x \u4e0e\u3014x + ln(1+x)\u3015\u4e5f\u662f\u540c\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
\u697c\u4e3b\u540e\u9762\u53d7\u7f51\u4e0a\u8bef\u5bfc\u4e0d\u6d45\u3002\u8d76\u7d27\u7ea0\u6b63\u3002
洛必达法则，[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1，那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限。
lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
1- cosx ~ x^2/2
无穷小的性质：
1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
洛必达法则呀 [ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1.那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限
lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
=>
1- cosx ~ x^2/2
扩展资料：
1、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
2、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
3、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
4、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
5、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
参考资料来源：百度百科-无穷小量
：洛必达法则呀 [ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x 分母导数都是1.那不就分别变成了1/(1+x)和e^x当x→0时的极限了吗?
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绛旓細sin(x)鈭2鍜(sinx)鈭2鍦▁=0鐨勬椂鍊欓兘绛変环浜巟²銆楂樼瓑鏁板绛変环鏃犵┓灏忔浛鎹鏃讹紝sinx锝瀤锛岄偅涔堬紙sinx锛塣2鍙互鏇挎崲涓簒^2锛堝钩鏂癸級銆傚綋x鈫0鏃讹紝sinx鐨勬嘲鍕掑睍寮寮忎负sinx锛漻锛媜锛坸锛塷锛坸锛夋寚鐨勬槸x鐨勯珮闃舵棤绌峰皬锛屾墍浠ュ綋x鈫0鏃 鍙互锛坰inx锛夛綖x褰搙鈫0鏃讹紙sinx锛²锛漻²锛媜锛坸&...
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