间断点的定义 间断点一定无定义吗

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\u6709\u5b9a\u4e49\u3002
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间断点是指:在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象,那么,xo就称为函数的不连续点。
定义编辑
设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一:

震荡间断点
(1)在x=x0没有定义;
(2)虽在x=x0有定义,但x→x0 limf(x)不存在;
(3)虽在x=x0有定义,且x→x0 limf(x)存在,但x→x0 limf(x)≠f(x0),
则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的间断点。
类型编辑
几种常见类型。
可去间断点:函数在该点左极限、右极限存在且相等,但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=(x^2-1)/(x-1)在点x=1处。(图一)
跳跃间断点:函数在该点左极限、右极限存在,但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。(图二)
无穷间断点:函数在该点可以无定义,且左极限、右极限至少有一个为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。(图三)
振荡间断点:函数在该点可以有无定义,当自变量趋于该点时,函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。(图四)
可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点,也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。
由上述对各种间断点的描述可知,函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在,而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在,这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

间断点是指:在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象,那么,xo就称为函数的不连续点。 间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点,在非无穷间断点中,还分可去间断点和跳跃间断点。如果极限存在就是可去间断点,不存在就是跳跃间断点。

间断点是指:在非连续函数y=f(x)中某点处x处有中断现象,那么,x就称为函数的不连续点。间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点,在非无穷间断点中。

当x<0的时候,函数式是3x+2,这个函数式是没有间断点的。
当0≤x<1的时候,函数式是x²+1,这个函数式也没有间断点
当x>1的时候,函数式是4/(3+x),这个函数式在x>1的时候,没有间断点(这个函数式的间断点是x=-3,不在x>1的范围内,不需要考虑)
所以只有两个分段点x=0和x=1需要考虑
首先,这个函数在x=1这个点处,没有定义,没有确定x=1的时候,根据什么函数式来计算函数值,所以x=1是无定义点,是个间断点。
x=0的时候,有定义,根据x²+1来计算函数值,即f(0)=0²+1=1
在x=0处的左极限=lim(x→0-)f(x)
=lim(x→0-)(3x+2)(用x=0点左边的函数式计算极限)
=2≠f(0)
所以左极限不等于函数值,x=0不可能是连续点,是间断点
所以这个函数有x=0和x=1这两个间断点。选B



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