高等数学不定积分 高等数学不定积分？
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff1f\u8bd5\u8bd5\u770b:
\u672a\u5b8c\u5f85\u7eed
\u5728\u6211\u4eec\u5e73\u5e38\u505a\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u5fae\u79ef\u5206\u7684\u76f8\u5173\u9898\u76ee\u65f6\uff0c\u5982\u679c\u6211\u4eec\u80fd\u5bf9\u4e00\u4e9b\u5e38\u89c1\u7684\u51fd\u6570\u7684\u539f\u51fd\u6570\u3001\u5bfc\u51fd\u6570\u4ee5\u53ca\u8bfe\u672c\u4e0a\u76f8\u5173\u7684\u5b9a\u4e49\u5b9a\u7406\u548c\u91cd\u8981\u516c\u5f0f\u8fdb\u884c\u719f\u7ec3\u638c\u63e1\uff0c\u8fd9\u6837\u624d\u80fd\u5728\u89e3\u9898\u65f6\u66f4\u52a0\u6e38\u5203\u6709\u4f59\u3002
=∫(sinx)^4(cosx)^(-7)dx
=-∫(sinx)^3(cosx)^(-7)d(cosx)
=1/6∫(sinx)^3d[(cosx)^(-6)]
=1/6[(sinx)^3(cosx)^(-6)-3∫(sinx)^2(cosx)^(-5)dx]
=1/6(sinx)^3(cosx)^(-6)-1/8∫sinxd[(cosx)^(-4)]
=1/6(sinx)^3(cosx)^(-6)-1/8[sinx(cosx)^(-4)-∫(cosx)^(-3)dx]
下面来求∫(cosx)^(-3)dx,
设I(n)=∫(cosx)^(-n)dx(n为下标)
则I(n)=∫(cosx)^(2-n)dtanx
=tanx(cosx)^(2-n)-∫(2-n)(cosx)^(1-n)(-sinx)tanxdx
=tanx(cosx)^(2-n)+(2-n)∫[1-(cosx)^2](cosx)^(-n)dx
=tanx(cosx)^(2-n)+(2-n)(I(n)-I(n-2))
所以I(n)=[tanx(cosx)^(2-n)+(n-2)I(n-2)]/(n-1)
所以∫(cosx)^(-3)dx=I(3)=1/2tanx(cosx)^(-1)+1/2I(1)
=1/2[tanx(cosx)^(-1)+I(1)]
=1/2tanx(cosx)^(-1)+1/2[ln(sinx+tanx)]
所以∫(tanx)^4(secx)^3dx
=1/6(sinx)^3(cosx)^(-6)-1/8[sinx(cosx)^(-4)-∫(cosx)^(-3)dx]
=1/6(sinx)^3(cosx)^(-6)-1/8sinx(cosx)^(-4)+1/8{1/2tanx(cosx)^(-1)+1/2[ln(sinx+tanx)]}
1/6(sinx)^3(cosx)^(-6)-1/8sinx(cosx)^(-4)+1/16tanx(cosx)^(-1)+1/16[ln(sinx+tanx)]}
原式=∫(tanx)^4d(tanx)
=(1/5)(tanx)^5+c.
把tanx^4拆成(sec^x_1)^2secx^3
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