圆锥的体积为什么是圆柱的三分之一如何证明 圆锥的体积为什么是圆柱的三分之一
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一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积。
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。
根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr^2h),得出圆锥体积公式:V=1/3sh,其中S是圆柱的底面积,h是圆柱的高,r是圆柱的底面半径。
圆锥是一种几何图形,有两种定义。解析几何定义:圆锥面和一个截它的平面(满足交线为圆)组成的空间几何图形叫圆锥。
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。(边是指直角三角形两个旋转边)
扩展资料:
圆锥组成
圆锥的高:圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高;
圆锥母线:圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积:将圆锥的侧面沿母线展开,是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2;没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线,且底面展开图为一圆形,侧面展开图是扇形。
一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积。
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。
根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr^2h),得出圆锥体积公式:
,其中S是圆柱的底面积,h是圆柱的高,r是圆柱的底面半径。
扩展资料:
组成
圆锥的高:圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高;
圆锥母线:圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积:将圆锥的侧面沿母线展开,是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2;没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线,且底面展开图为一圆形,侧面展开图是扇形。
参考资料来源:百度百科-圆锥
很多朋友或同学们并不懂积分。所以,在下用合理的逻辑,做简单的解释,具备初高中数学都可理解。如下:
首先给个圆柱,高H,底半径R(H与R非无穷大)。
然后,以它的底和高为基础在内部做个圆柱。
怎么比较二者体积呢?关键时刻来了
这里我们先给定几个定义,
1, 假定上帝存在;
2, 用上帝之刀平行于圆柱底均匀切割N次,使N无穷大,得到(N+1)个圆柱和圆锥的切面, 切面的厚度为H/(N+1);
3, 无穷切, 使N无穷大到某程度,得到 Δr= R/N ,使得Δr为圆锥的元点半径(不能更小,类 似电子电荷(元电荷)电量)。这是逻辑上的关键,请深刻理解。
理解了以上定义,我们就可以知道相关计算数据了。对于圆锥的所有切面而言,
各切面半径从顶到底依次为0,Δr,2Δr,…mΔr,…NΔr=R( 因为Δr已定义不可再分),
圆锥各切面面积从顶到底依次为0,πΔr^2,π(2Δr)^2……π(NΔr)^2,
各单切面体积依次是 切面面积*(H/(N+1))
故圆锥体积等于所有切面的体积加和
V锥=(πΔr^2)*(0+1+2^2+3^2+...+N^2) * (H/(N+1))
我们再来看看圆柱的体积。它是(N+1)个圆柱切面体积的加和,很简单
V柱=(N+1) * (πR^2)*(H/(N+1))=(N+1) *(π(NΔr)^2)*(H/(N+1))
故 V锥/ V柱=(0+1+2^2+3^2+...+N^2) / ((N^2)*(N+1))
根据数列知识,
V锥/ V柱=N*(N+1)*(2N+1)/6 / ((N^2)*(N+1))=1/3+1/(6 N)
故,N为无穷大时,V锥/ V柱=1/3
关于这个的证明。我记得初中我们的老师说,取两个低面积和高相等的圆柱和圆锥。装水。圆柱中水的体积是圆锥中水的体积的三倍。而且圆柱是用三个一样的圆锥组成的。
拿一个等底等高的圆锥圆柱,把圆柱装满水,三次正好倒完。所以,圆柱是圆锥的3分之一!
看完关注我!!!!!!😁😁😁😁😁
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