线性方程组无解，唯一解，无穷解的讨论！！！ 线性方程组何时无解、有唯一解、有无穷多解问题
\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u552f\u4e00\u89e3\uff0c\u65e0\u89e3\uff0c\u6709\u65e0\u7a77\u591a\u89e3\uff1f\u5047\u5b9a\u5bf9\u4e8e\u4e00\u4e2a\u542b\u6709n\u4e2a\u672a\u77e5\u6570m\u4e2a\u65b9\u7a0b\u7684\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u800c\u8a00\uff0c\u82e5n<=m, \u5219\u6709\uff1a
1\u3001\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u4e0e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u76f8\u7b49\u4e14\u5747\u7b49\u4e8e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u4e2d\u672a\u77e5\u6570\u4e2a\u6570n\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u552f\u4e00\u89e3\uff1b
2\u3001\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u4e0e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u76f8\u7b49\u4e14\u5747\u5c0f\u4e8e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u4e2d\u672a\u77e5\u6570\u4e2a\u6570n\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u65e0\u7a77\u591a\u89e3\uff1b
3\u3001\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u5c0f\u4e8e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u65e0\u89e3\uff1b
4\u3001\u82e5n>m\u65f6\uff0c\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u4e0e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u76f8\u7b49\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u65e0\u7a77\u591a\u89e3\uff1b
5\u3001\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u5c0f\u4e8e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u65e0\u89e3\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u89e3\u9898\u6cd5\u5219\uff1a
1\u3001\u514b\u83b1\u59c6\u6cd5\u5219\uff1a\u7528\u514b\u83b1\u59c6\u6cd5\u5219\u6c42\u89e3\u65b9\u7a0b\u7ec4 \u6709\u4e24\u4e2a\u524d\u63d0\uff0c\u4e00\u662f\u65b9\u7a0b\u7684\u4e2a\u6570\u8981\u7b49\u4e8e\u672a\u77e5\u91cf\u7684\u4e2a\u6570\uff0c\u4e8c\u662f\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u8981\u4e0d\u7b49\u4e8e\u96f6\u3002\u7528\u514b\u83b1\u59c6\u6cd5\u5219\u6c42\u89e3\u65b9\u7a0b\u7ec4\u5b9e\u9645\u4e0a\u76f8\u5f53\u4e8e\u7528\u9006\u77e9\u9635\u7684\u65b9\u6cd5\u6c42\u89e3\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\uff0c\u5b83\u5efa\u7acb\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u89e3\u4e0e\u5176\u7cfb\u6570\u548c\u5e38\u6570\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\u3002
2\u3001\u77e9\u9635\u6d88\u5143\u6cd5\uff1a\u5c06\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u901a\u8fc7\u884c\u7684\u521d\u7b49\u53d8\u6362\u5316\u4e3a\u884c\u7b80\u5316\u9636\u68af\u5f62\u77e9\u9635 \uff0c\u5219\u4ee5\u884c\u7b80\u5316\u9636\u68af\u5f62\u77e9\u9635\u4e3a\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u4e0e\u539f\u65b9\u7a0b\u7ec4\u540c\u89e3\u3002\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u89e3\u65f6\uff0c\u5c06\u5176\u4e2d\u5355\u4f4d\u5217\u5411\u91cf\u5bf9\u5e94\u7684\u672a\u77e5\u91cf\u53d6\u4e3a\u975e\u81ea\u7531\u672a\u77e5\u91cf\uff0c\u5176\u4f59\u7684\u672a\u77e5\u91cf\u53d6\u4e3a\u81ea\u7531\u672a\u77e5\u91cf\uff0c\u5373\u53ef\u627e\u51fa\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u89e3\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u2014\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4
\u5047\u5b9a\u5bf9\u4e8e\u4e00\u4e2a\u542b\u6709n\u4e2a\u672a\u77e5\u6570m\u4e2a\u65b9\u7a0b\u7684\u975e\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u800c\u8a00\uff0c\u82e5n<=m, \u5219\u6709\uff1a
1\uff09\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u4e0e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u76f8\u7b49\u4e14\u5747\u7b49\u4e8e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u4e2d\u672a\u77e5\u6570\u4e2a\u6570n\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u552f\u4e00\u89e3
2\uff09\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u4e0e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u76f8\u7b49\u4e14\u5747\u5c0f\u4e8e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u4e2d\u672a\u77e5\u6570\u4e2a\u6570n\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u65e0\u7a77\u591a\u89e3
3\uff09\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u5c0f\u4e8e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u65e0\u89e3
\uff08\u6ce8\uff1a\u7531\u4e8e\u5bf9\u4e8e\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u6709\uff1amax{R(A),R(B)}<=R(A,B)\uff0c\u6545\u4e0d\u5b58\u5728\u5176\u5b83\u60c5\u5f62\uff09
\u82e5n>m\u65f6\uff0c\u5219\u6309\u7167\u4e0a\u8ff0\u8ba8\u8bba\uff0c
4\uff09\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u4e0e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u76f8\u7b49\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u65e0\u7a77\u591a\u89e3
5\uff09\u5f53\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u5c0f\u4e8e\u65b9\u7a0b\u7ec4\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u65b9\u7a0b\u7ec4\u65e0\u89e3
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u975e\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4Ax=b\u7684\u6c42\u89e3\u6b65\u9aa4\uff1a
\uff081\uff09\u5bf9\u589e\u5e7f\u77e9\u9635B\u65bd\u884c\u521d\u7b49\u884c\u53d8\u6362\u5316\u4e3a\u884c\u9636\u68af\u5f62\u3002\u82e5R(A)<R(B)\uff0c\u5219\u65b9\u7a0b\u7ec4\u65e0\u89e3\u3002
\uff082\uff09\u82e5R(A)=R(B)\uff0c\u5219\u8fdb\u4e00\u6b65\u5c06B\u5316\u4e3a\u884c\u6700\u7b80\u5f62\u3002
\uff083\uff09\u8bbeR(A)=R(B)=r\uff1b\u628a\u884c\u6700\u7b80\u5f62\u4e2dr\u4e2a\u975e\u96f6\u884c\u7684\u975e0\u9996\u5143\u6240\u5bf9\u5e94\u7684\u672a\u77e5\u6570\u7528\u5176\u4f59n-r\u4e2a\u672a\u77e5\u6570\uff08\u81ea\u7531\u672a\u77e5\u6570\uff09\u8868\u793a\uff0c\u5e76\u4ee4\u81ea\u7531\u672a\u77e5\u6570\u5206\u522b\u7b49\u4e8e \uff0c\u5373\u53ef\u5199\u51fa\u542bn-r\u4e2a\u53c2\u6570\u7684\u901a\u89e3\u3002
\u975e\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4
\u6709\u89e3\u7684\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u662f\uff1a\u7cfb\u6570\u77e9\u9635\u7684\u79e9\u7b49\u4e8e\u589e\u5e7f\u77e9\u9635\u7684\u79e9\uff0c\u5373rank(A)=rank(A, b)\uff08\u5426\u5219\u4e3a\u65e0\u89e3\uff09\u3002
\u975e\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u552f\u4e00\u89e3\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662frank(A)=n\u3002
\u975e\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6709\u65e0\u7a77\u591a\u89e3\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662frank(A)<n\u3002\uff08rank(A)\u8868\u793aA\u7684\u79e9\uff09
\u4e00\u9636\u7ebf\u6027\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u53ef\u5206\u4e24\u7c7b\uff0c\u4e00\u7c7b\u662f\u9f50\u6b21\u5f62\u5f0f\u7684\uff0c\u5b83\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u4e3ay'+p(x)y=0\uff0c\u53e6\u4e00\u7c7b\u5c31\u662f\u975e\u9f50\u6b21\u5f62\u5f0f\u7684\uff0c\u5b83\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u4e3ay'+p(x)y=Q(x)\u3002
\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u4e0e\u975e\u9f50\u6b21\u65b9\u7a0b\u6bd4\u8f83\u4e00\u4e0b\u5bf9\u7406\u89e3\u9f50\u6b21\u4e0e\u975e\u9f50\u6b21\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u662f\u6709\u5229\u7684\u3002\u5bf9\u4e8e\u975e\u9f50\u6b21\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u6765\u8bb2\uff0c\u7c7b\u4f3c\u4e8e\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u89e3\u7684\u7ed3\u6784\u7ed3\u8bba\u8fd8\u662f\u6210\u7acb\u7684\u3002\u5c31\u662f\uff1a\u975e\u9f50\u6b21\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u53ef\u4ee5\u8868\u793a\u4e3a\u9f50\u6b21\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u901a\u89e3\u52a0\u4e0a\u4e00\u4e2a\u975e\u9f50\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u7279\u89e3\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u975e\u9f50\u6b21\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4
写出系数矩阵，系数矩阵与常数列向量构成增广矩阵，记增广矩阵为A。
由于存在3未知数、4方程，所以在有解的情况下，至少有一个方程能够用其他方程线性相加得到，也就是说矩阵A能够通过行变换得到至少1个0行。
所以解题思路是：将A变形为行最简形，然后计算行列式A的值（表示成k的函数），当|A|=0时有解，|A|不为0时无解。再将|A|=0解出的两个k值分别代回，检验A的秩，如rank(A)=3则存在唯一解，rank(A)<3则存在无穷多解。
各未知数的系数与后面的常数分列出矩阵（常数与系数用虚线分开哦），行或列乘系数相加，化成梯形矩阵，无解是系数与最后的常数无法对应，唯一解，就是只有一个解，无穷多解就是系数与常数成比列，通解就是随意求一个解，乘上一个自然数表达量
绛旓細1銆佸綋鏂圭▼缁勭殑绯绘暟鐭╅樀鐨勭З涓庢柟绋嬬粍澧炲箍鐭╅樀鐨勭З鐩哥瓑涓斿潎绛変簬鏂圭▼缁勪腑鏈煡鏁颁釜鏁皀鐨勬椂鍊欙紝鏂圭▼缁勬湁鍞竴瑙锛2銆佸綋鏂圭▼缁勭殑绯绘暟鐭╅樀鐨勭З涓庢柟绋嬬粍澧炲箍鐭╅樀鐨勭З鐩哥瓑涓斿潎灏忎簬鏂圭▼缁勪腑鏈煡鏁颁釜鏁皀鐨勬椂鍊欙紝鏂圭▼缁勬湁鏃犵┓澶氳В锛3銆佸綋鏂圭▼缁勭殑绯绘暟鐭╅樀鐨勭З灏忎簬鏂圭▼缁勫骞跨煩闃电殑绉╃殑鏃跺锛屾柟绋嬬粍鏃犺В锛4銆佽嫢n...
绛旓細鍒橝x=b涓瀹氭湁瑙ｃ侫x=0鏈夋棤绌峰瑙ｆ椂锛屽垯A涓瀹氫笉涓烘弧绉╃煩闃点侫x=b鐨勮В寰楁儏鍐垫湁鏃犺В鍜屾棤绌峰瑙ｃ傛棤瑙ｏ細R(A)鈮燫(A|b)銆鏃犵┓瑙锛歊(A)绛変簬R(A|b)銆備笖涓嶄负婊＄З銆侫x=b鏃犺В鏃讹紝鍙煡Ax=0涓瀹氭湁鏃犵┓澶氳В銆侫x=b 鏈鍞竴瑙鏃讹紝鍙煡A涓烘弧绉╃煩闃碉紝鍒橝x=0鍙湁闆惰В銆傞綈娆绾挎ф柟绋嬬粍锛瑕佷箞闆惰В...
绛旓細1锛夊綋鏂圭▼缁勭殑绯绘暟鐭╅樀鐨勭З涓庢柟绋嬬粍澧炲箍鐭╅樀鐨勭З鐩哥瓑涓斿潎绛変簬鏂圭▼缁勪腑鏈煡鏁颁釜鏁皀鐨勬椂鍊欙紝鏂圭▼缁勬湁鍞竴瑙 2锛夊綋鏂圭▼缁勭殑绯绘暟鐭╅樀鐨勭З涓庢柟绋嬬粍澧炲箍鐭╅樀鐨勭З鐩哥瓑涓斿潎灏忎簬鏂圭▼缁勪腑鏈煡鏁颁釜鏁皀鐨勬椂鍊欙紝鏂圭▼缁勬湁鏃犵┓澶氳В 3锛夊綋鏂圭▼缁勭殑绯绘暟鐭╅樀鐨勭З灏忎簬鏂圭▼缁勫骞跨煩闃电殑绉╃殑鏃跺锛屾柟绋嬬粍鏃犺В 锛堟敞锛氱敱...
绛旓細AX=0涓嶈兘璇存槸鏃犺В銆備竴鑸彧鏄鍙湁闆瑙ｏ紝姝ゆ椂灏辨槸绾挎ф棤鍏崇殑锛岃孉X=0鏈夐潪闆惰В鏃跺氨鏄嚎鎬х浉鍏崇殑銆傚悓鐞嗗鏋淎X=b鏈夎В锛屽氨鏄痓鍙互鐢盇绾挎ц〃绀锛屾棤瑙灏辨槸b涓嶈兘鐢盇绾挎ц〃绀恒傛棤瑙ｏ細绾挎т唬鏁版病鏈夎В锛屽嵆娌℃湁涓涓瓟妗堝彲浠ユ弧瓒抽鎰忋傛湁鏃犵┓瑙锛氱嚎鎬т唬鏁版湁鏃犵┓澶氫釜瑙ｏ紝鍗虫湁鏃犳暟涓瓟妗堝彲浠ユ弧瓒抽鎰忋...
绛旓細鍞竴瑙锛绾挎浠ｆ暟鏁版湁涓斿彧鏈変竴涓В锛屽嵆鏈変笖鍙湁涓涓纭瓟妗堟弧瓒抽鎰忋鏃犺В锛氱嚎鎬т唬鏁版病鏈夎В锛屽嵆娌℃湁涓涓瓟妗堝彲浠ユ弧瓒抽鎰忋傛湁鏃犵┓瑙锛氱嚎鎬т唬鏁版湁鏃犵┓澶氫釜瑙ｏ紝鍗虫湁鏃犳暟涓瓟妗堝彲浠ユ弧瓒抽鎰忋傚尯鍒細1锛岃В鐨勪釜鏁颁笉鍚屻2锛岃В棰樻楠や笉鍚屻3锛屽啓娉曚笉鍚屻
绛旓細銆婄嚎鎬т唬鏁般嬮噷瑙勫畾浜绾挎ф柟绋嬬粍鍞竴瑙銆鏃犵┓澶氳В銆鏃犺В鐨勬潯浠躲傚涓嬶細鍋囧畾瀵逛簬涓涓惈鏈塶涓湭鐭ユ暟m涓柟绋嬬殑闈為綈娆＄嚎鎬ф柟绋嬬粍鑰岃█锛岃嫢n<=m, 鍒欐湁 1锛夊綋鏂圭▼缁勭殑绯绘暟鐭╅樀鐨勭З涓庢柟绋嬬粍澧炲箍鐭╅樀鐨勭З鐩哥瓑涓斿潎绛変簬鏂圭▼缁勪腑鏈煡鏁颁釜鏁皀鐨勬椂鍊欙紝鏂圭▼缁勬湁鍞竴瑙ｏ紱2锛夊綋鏂圭▼缁勭殑绯绘暟鐭╅樀鐨勭З涓庢柟绋嬬粍澧炲箍...
绛旓細瑙ｅ緱位= -4/5鎴1 鎵浠ノ讳笉绛変簬 -4/5鍜1鐨勬椂鍊欙紝鏂圭▼缁勬湁鍞竴瑙 鑻ノ= -4/5锛屽垯澧炲箍鐭╅樀鍙互鍖栫畝涓 1 -2/5 -1/2 1/2 0 0 0 9/5 0 33/5 -3 -3 鏄剧劧绯绘暟鐭╅樀鐨勭З灏忎簬澧炲箍鐭╅樀鐨勭З锛屾柟绋嬬粍鏃犺В 鑻ノ= 1锛屽垯澧炲箍鐭╅樀鍙互鍖栫畝涓 1 1/2 -1...
绛旓細鏃犺В锛歊(A)鈮燫(A|b)鏃犵┓瑙锛歊(A)绛変簬R(A|b)銆備笖涓嶄负婊＄З Ax=b鏃犺В鏃讹紝鍙煡Ax=0涓瀹氭湁鏃犵┓澶氳В Ax=b 鏈鍞竴瑙鏃讹紝鍙煡A涓烘弧绉╃煩闃碉紝鍒橝x=0鍙湁闆惰В 榻愭绾挎ф柟绋嬬粍锛岃涔堥浂瑙ｏ紙R(A)=n锛夛紝瑕佷箞鏃犵┓瑙ｏ紙R(A)<n)涓涓浂瑙ｏ紝涓涓潪闆剁殑鍞竴瑙.涓嶈兘鍚屾椂鍙戠敓锛
绛旓細濡傛灉鏂圭▼缁勪釜鏁癿<鏈煡鏁颁釜鏁皀锛屽垯榻愭绾挎ф柟绋嬬粍鏈鏃犵┓澶氫釜瑙 濡傛灉鏂圭▼缁勪釜鏁癿=鏈煡鏁颁釜鏁皀=r锛屽垯榻愭绾挎ф柟绋嬬粍鏈鍞竴瑙 鎴栬呭啓鎴愮郴鏁扮煩闃碉紝鍐嶄綔鍒濈瓑琛屽彉鎹 渚嬪鍖栨垚 鍒楃煩闃靛舰涓100110132鐨勭煩闃 瀵硅鍏冨叏涓嶄负0鐨勭殑閭ｄ箞鏂圭▼缁勬湁鍞竴瑙 瀵硅鍏冧笉鍏ㄤ负0鐨勭殑閭ｄ箞鏂圭▼缁勬湁闈為浂瑙 ...
绛旓細褰 a鈮5 涓 a鈮1鏃, r(A)=r(A,B)=4, 鏂圭▼缁勬湁鍞竴瑙.褰 a=1 鏃, r(A)=r(A,B)=3<4, 鏂圭▼缁勬湁鏃犵┓澶氳В 褰 a=5 涓 b=1鏃, r(A)=r(A,B)=3<4, 鏂圭▼缁勬湁鏃犵┓澶氳В 褰 a=5 涓 b鈮1鏃, r(A)=3, r(A,B)=4, 鏂圭▼缁勬棤瑙 ...
