三次方程如何因式分解? 三次方程如何因式分解?
\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u5982\u4f55\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff1f\uff1f\uff1f\u521d\u4e09\u6570\u5b66\u9898\uff0c\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u600e\u4e48\u89e3\uff1f\u5229\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6765\u5e2e\u5fd9\uff0c\u89e3\u9898\u5f88\u65b9\u4fbf\uff01
1.\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5
\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u4e0d\u662f\u5bf9\u6240\u6709\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u90fd\u9002\u7528,\u53ea\u5bf9\u4e00\u4e9b\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u9002\u7528\uff0e\u5bf9\u4e8e\u5927\u591a\u6570\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b,\u53ea\u6709\u5148\u6c42\u51fa\u5b83\u7684\u6839,\u624d\u80fd\u4f5c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff0e\u5f53\u7136,\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u7684\u89e3\u6cd5\u5f88\u7b80\u4fbf,\u76f4\u63a5\u628a\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u964d\u6b21\uff0e\u4f8b\u5982\uff1a\u89e3\u65b9\u7a0bx^3-x=0 \u5bf9\u5de6\u8fb9\u4f5c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3,\u5f97x(x+1)(x-1)=0,\u5f97\u65b9\u7a0b\u7684\u4e09\u4e2a\u6839\uff1ax1=0,x2=1,x3=-1.
2.\u53e6\u4e00\u79cd\u6362\u5143\u6cd5
\u5bf9\u4e8e\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b,\u5148\u7528\u4e0a\u6587\u4e2d\u63d0\u5230\u7684\u914d\u65b9\u548c\u6362\u5143,\u5c06\u65b9\u7a0b\u5316\u4e3ax+px+q=0\u7684\u7279\u6b8a\u578b\uff0e\u4ee4x=z-p/3z,\u4ee3\u5165\u5e76\u5316\u7b80,\u5f97\uff1az-p/27z+q=0.\u518d\u4ee4z=w,\u4ee3\u5165,\u5f97\uff1aw+p/27w+q=0\uff0e\u8fd9\u5b9e\u9645\u4e0a\u662f\u5173\u4e8ew\u7684\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0e\u89e3\u51faw,\u518d\u987a\u6b21\u89e3\u51faz,x.
3.\u76db\u91d1\u516c\u5f0f\u89e3\u9898\u6cd5
\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u5e94\u7528\u5e7f\u6cdb.\u7528\u6839\u53f7\u89e3\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b,\u867d\u7136\u6709\u8457\u540d\u7684\u5361\u5c14\u4e39\u516c\u5f0f,\u5e76\u6709\u76f8\u5e94\u7684\u5224\u522b\u6cd5,\u4f46\u4f7f\u7528\u5361\u5c14\u4e39\u516c\u5f0f\u89e3\u9898\u6bd4\u8f83\u590d\u6742,\u7f3a\u4e4f\u76f4\u89c2\u6027.\u8303\u76db\u91d1\u63a8\u5bfc\u51fa\u4e00\u5957\u76f4\u63a5\u7528a\u3001b\u3001c\u3001d\u8868\u8fbe\u7684\u8f83\u7b80\u660e\u5f62\u5f0f\u7684\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u5f0f\u65b0\u6c42\u6839\u516c\u5f0f,\u5e76\u5efa\u7acb\u4e86\u65b0\u5224\u522b\u6cd5\uff0e
\u76db\u91d1\u516c\u5f0f
\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0baX^3\uff0bbX^2\uff0bcX\uff0bd=0,\uff08a,b,c,d\u2208R,\u4e14a\u22600\uff09.\u91cd\u6839\u5224\u522b\u5f0f\uff1aA=b^2\uff0d3ac\uff1bB=bc\uff0d9ad\uff1bC=c^2\uff0d3bd,\u603b\u5224\u522b\u5f0f\uff1a\u0394=B^2\uff0d4AC.\u5f53A=B=0\u65f6,\u76db\u91d1\u516c\u5f0f\u2460\uff1aX1=X2=X3=\uff0db/(3a)=\uff0dc/b=\uff0d3d/c.\u5f53\u0394=B^2\uff0d4AC>0\u65f6,\u76db\u91d1\u516c\u5f0f\u2461\uff1aX1=(\uff0db\uff0d(Y1)^(1/3)\uff0d(Y2)^(1/3))/(3a)\uff1b X2,3=(\uff0d2b\uff0b(Y1)^(1/3)\uff0b(Y2)^(1/3))/(6a)\u00b1i3^(1/2)((Y1)^(1/3)\uff0d(Y2)^(1/3))/(6a),\u5176\u4e2dY1,2=Ab\uff0b3a(\uff0dB\u00b1(B^2\uff0d4AC)^(1/2))/2,i^2=\uff0d1.\u5f53\u0394=B^2\uff0d4AC=0\u65f6,\u76db\u91d1\u516c\u5f0f\u2462\uff1aX1=\uff0db/a\uff0bK\uff1b X2=X3=\uff0dK/2,\u5176\u4e2dK=B/A,(A\u22600).\u5f53\u0394=B^2\uff0d4AC0,\uff0d1
因式分解法不是对所有的三次方程都适用,只对一些三次方程适用.对于大多数的三次方程,只有先求出它的根,才能作因式分解.当然,因式分解的解法很简便,直接把三次方程降次.例如:解方程x^3-x=0 对左边作因式分解,得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根:x1=0,x2=1,x3=-1.
2.另一种换元法
对于一般形式的三次方程,先用上文中提到的配方和换元,将方程化为x+px+q=0的特殊型.令x=z-p/3z,代入并化简,得:z-p/27z+q=0.再令z=w,代入,得:w+p/27w+q=0.这实际上是关于w的二次方程.解出w,再顺次解出z,x.
3.盛金公式解题法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法.
盛金公式
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。 重根判别式:A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd, 总判别式:Δ=B^2-4AC。 当A=B=0时,盛金公式①: X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。 当Δ=B^2-4AC>0时,盛金公式②: X1=(-b-(Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(3a); X2,3=(-2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(6a), 其中Y1,2=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2,i^2=-1。 当Δ=B^2-4AC=0时,盛金公式③: X1=-b/a+K; X2=X3=-K/2, 其中K=B/A,(A≠0)。 当Δ=B^2-4AC<0时,盛金公式④: X1=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a); X2,3=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a), 其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1<T<1)。
盛金判别法
①:当A=B=0时,方程有一个三重实根; ②:当Δ=B^2-4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根; ③:当Δ=B^2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根; ④:当Δ=B^2-4AC<0时,方程有三个不相等的实根。
盛金定理
当b=0,c=0时,盛金公式①无意义;当A=0时,盛金公式③无意义;当A≤0时,盛金公式④无意义;当T<-1或T>1时,盛金公式④无意义。 当b=0,c=0时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值?盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值?盛金定理给出如下回答: 盛金定理1:当A=B=0时,若b=0,则必定有c=d=0(此时,方程有一个三重实根0,盛金公式①仍成立)。 盛金定理2:当A=B=0时,若b≠0,则必定有c≠0(此时,适用盛金公式①解题)。 盛金定理3:当A=B=0时,则必定有C=0(此时,适用盛金公式①解题)。 盛金定理4:当A=0时,若B≠0,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。 盛金定理5:当A<0时,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。 盛金定理6:当Δ=0时,若B=0,则必定有A=0(此时,适用盛金公式①解题)。 盛金定理7:当Δ=0时,若B≠0,盛金公式③一定不存在A≤0的值(此时,适用盛金公式③解题)。 盛金定理8:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在A≤0的值。(此时,适用盛金公式④解题)。 盛金定理9:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值,即T出现的值必定是-1<T<1。 显然,当A≤0时,都有相应的盛金公式解题。 注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当Δ>0时,不一定有A<0。 盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。 当Δ=0(d≠0)时,使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较,盛金公式的表达形式较简明,使用盛金公式解题较直观、效率较高;盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd是最简明的式子,由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2-4AC也是最简明的式子(是非常美妙的式子),其形状与一元二次方程的根的判别式相同;盛金公式②中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式,这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
盛金公式出处
以上盛金公式的结论,发表在《海南师范学院学报(自然科学版)》(第2卷,第2期;1989年12月,中国海南。国内统一刊号:CN46-1014),第91—98页。范盛金,一元三次方程的新求根公式与新判别法
一般来说三次方程都可以分解为
以下几种形式:
原式=(x+a)(x+b)(x+c)
或 (ax^2+bx+c)(x+d)
或(x^2+bx+c)(ax+d)
然后根据各项系数 和abcd的对应关系就可以求出系数了
一般第一种比较常用
只要记住这一点,分解3次方程就不会很难了
绛旓細涓夋鏂圭▼鏄珮涓暟瀛︿腑姣旇緝閲嶈鐨勪竴閮ㄥ垎锛屽畠鐨勮В娉曟湁寰堝绉嶏紝鍏朵腑涓绉嶅氨鏄洜寮忓垎瑙c傞偅涔堬紝涓夋鏂圭▼濡備綍鍥犲紡鍒嗚В鍛紵棣栧厛锛屾垜浠渶瑕佺煡閬撲粈涔堟槸涓夋鏂圭▼銆備笁娆℃柟绋嬫槸鎸囨渶楂樻椤逛负涓夋鐨勬柟绋嬶紝涓鑸殑褰㈠紡涓篴x3+bx2+cx+d=0銆傚叾涓紝a銆乥銆乧銆乨閮芥槸宸茬煡鐨勫父鏁帮紝x鏄湭鐭ユ暟銆傛帴涓嬫潵锛屾垜浠潵鐪嬩竴涓嬪浣...
绛旓細1.鍥犲紡鍒嗚В娉 鍥犲紡鍒嗚В娉曚笉鏄鎵鏈夌殑涓夋鏂圭▼閮介傜敤锛屽彧瀵逛竴浜涗笁娆℃柟绋嬮傜敤锛庡浜庡ぇ澶氭暟鐨勪笁娆℃柟绋嬶紝鍙湁鍏堟眰鍑哄畠鐨勬牴锛屾墠鑳戒綔鍥犲紡鍒嗚В锛庡綋鐒讹紝鍥犲紡鍒嗚В鐨勮В娉曞緢绠渚匡紝鐩存帴鎶婁笁娆℃柟绋嬮檷娆★紟渚嬪锛氳В鏂圭▼x^3-x=0 瀵瑰乏杈逛綔鍥犲紡鍒嗚В锛屽緱x(x+1)(x-1)=0,寰鏂圭▼鐨涓変釜鏍癸細x1=0,x2=1,x3=-1...
绛旓細涓夋鍑芥暟鍙互灏濊瘯鐢ㄥ緟瀹氱郴鏁版硶杩涜鍥犲紡鍒嗚В锛屾瘮濡俛x³+bx²+cx+d锛漚(x+e)(x²+fx+g)锛屾媶寮璁$畻鍑篹锛宖锛実鐨勫硷紝x²+fx+g鑳藉垎瑙e垯缁х画鍒嗚В锛屼笉鑳藉垎瑙e垯鍥犲紡鍒嗚В瀹屾瘯銆傚浜庝竴鑸舰寮鐨勪笁娆℃柟绋锛屽厛鐢ㄤ笂鏂囦腑鎻愬埌鐨勯厤鏂瑰拰鎹㈠厓锛屽皢鏂圭▼鍖栦负x+px+q=0鐨勭壒娈婂瀷銆備护x=z-p/...
绛旓細涓夋鏂圭▼鍥犲紡鍒嗚В鏄涓鍏涓夋鏂圭▼鐨勫洜寮忓垎瑙銆備緥濡傦細瑙f柟绋媥^3-x=0銆傚宸﹁竟浣滃洜寮忓垎瑙o紝寰梮(x+1)(x-1)=0锛屽緱鏂圭▼鐨勪笁涓牴锛歺1=0锛泋2=1锛泋3=-1銆傛敞鎰忥細鍥犲紡鍒嗚В鏂规硶鐏垫椿锛屾妧宸фу己銆傚涔犺繖浜涙柟娉曚笌鎶宸э紝涓嶄粎鏄帉鎻″洜寮忓垎瑙e唴瀹规墍闇鐨勶紝鑰屼笖瀵逛簬鍩瑰吇瑙i鎶鑳姐佸彂灞曟濈淮鑳藉姏閮芥湁鐫鍗佸垎鐙壒鐨...
绛旓細鏁板涓敤浠ユ眰瑙i珮娆′竴鍏冩柟绋嬬殑涓绉嶆柟娉曘傛妸鏂圭▼鐨勪竴渚х殑鏁帮紙鍖呮嫭鏈煡鏁帮級锛岄氳繃绉诲姩浣垮叾鍊煎寲鎴0锛屾妸鏂圭▼鐨勫彟涓渚у悇椤瑰寲鎴愯嫢骞插洜寮忕殑涔樼Н锛岀劧鍚庡垎鍒护鍚勫洜寮忕瓑浜0鑰屾眰鍑哄叾瑙g殑鏂规硶鍙鍥犲紡鍒嗚В娉曘備竴鑸殑涓夋鏂圭▼涓嶈兘鐢ㄩ厤鏂规硶姹傝В锛屼絾鍥涙鏂圭▼鍙互銆傚洓娆℃柟绋嬬殑鏍囧噯瑙f硶灏辨槸寮曞叆鍙傛暟鍚庣瓑寮忎袱杈归厤骞虫柟锛岀劧鍚...
绛旓細涓夋鍑芥暟鍙互灏濊瘯鐢ㄥ緟瀹氱郴鏁版硶杩涜鍥犲紡鍒嗚В锛屾瘮濡俛x³+bx²+cx+d锛漚(x+e)(x²+fx+g)锛屾媶寮璁$畻鍑篹锛宖锛実鐨勫硷紝x²+fx+g鑳藉垎瑙e垯缁х画鍒嗚В锛屼笉鑳藉垎瑙e垯鍥犲紡鍒嗚В瀹屾瘯銆備竴鍏涓夋鏂圭▼鍥犲紡鍒嗚В鐨姹傝В鏂规硶 鍥犲紡鍒嗚В娉曚笉鏄鍏ㄩ儴鐨勪笁娆℃柟绋閮介傜敤锛屽彧瀵逛竴浜涚畝鍗曠殑涓夋鏂圭▼閫傜敤...
绛旓細渚嬪瓙锛氳В鏂圭▼x^3-x=0 瀵瑰乏杈逛綔鍥犲紡鍒嗚В锛屽緱x锛坸+1锛夛紙x-1锛=0锛屽緱鏂圭▼鐨涓変釜鏍箈1=0锛寈2=1锛寈3=-1銆3銆佹崲鍏冩硶 瀵逛簬涓鑸舰寮忕殑涓夋鏂圭▼锛屽彲浠ョ敤鎹㈠厓娉曪紝灏嗘柟绋嬪寲涓簒+px+q=0鐨勭壒娈婂瀷銆備护x=z-p/3z,浠e叆骞跺寲绠锛屽緱锛歾-p/27z+q=0銆傚啀浠=w锛屼唬鍏ワ紝寰楋細w+p/27w+q=0銆傝繖...
绛旓細瑙涓夋鏂圭▼鐨鏂规硶鏈夛細鍥犲紡鍒嗚В娉曘佷唬鏁版硶銆佸浘鍍忔硶銆備竴銆佸洜寮忓垎瑙f硶 鍥犲紡鍒嗚В娉曚笉鏄鎵鏈夌殑涓夋鏂圭▼閮介傜敤锛屽彧瀵逛竴浜涗笁娆℃柟绋嬮傜敤锛庡浜庡ぇ澶氭暟鐨勪笁娆℃柟绋嬶紝鍙湁鍏堟眰鍑哄畠鐨勬牴锛屾墠鑳戒綔鍥犲紡鍒嗚В銆傚洜寮忓垎瑙g殑瑙f硶寰堢畝渚匡紝鐩存帴鎶婁笁娆℃柟绋嬮檷娆°備緥瀛愶細瑙f柟绋媥3-x=0 瀵瑰乏杈逛綔鍥犲紡鍒嗚В锛屽緱x锛坸+1锛夛紙x-1...
绛旓細瀵瑰乏杈逛綔鍥犲紡鍒嗚В锛屽緱x(x+1)(x-1)=0锛屽緱鏂圭▼鐨涓変釜鏍癸細x1=0,x2=1,x3=-1銆傚彟涓绉嶆崲鍏冩硶锛氬浜庝竴鑸舰寮忕殑涓夋鏂圭▼锛屽厛鐢ㄤ笂鏂囦腑鎻愬埌鐨勯厤鏂瑰拰鎹㈠厓锛屽皢鏂圭▼鍖栦负x3+px+q=0鐨勭壒娈婂瀷锛庝护x=z-p/3z浠e叆骞跺寲绠锛屽緱锛歾-p/27z+q=0銆傚啀浠=w浠e叆锛屽緱锛歸+p/27w+q=0锛庤繖瀹為檯涓婃槸鍏充簬w...
绛旓細涓夋鏂鍥犲紡鍒嗚В濡備笅锛氬洜寮忓垎瑙f硶:鍥犲紡鍒嗚В娉曚笉鏄鎵鏈夌殑涓夋鏂圭▼閮介傜敤锛屽彧瀵逛竴浜涗笁娆℃柟绋嬮傜敤锛屽浜庡ぇ澶氭暟鐨勪笁娆℃柟绋嬶紝鍙湁鍏堟眰鍑哄畠鐨勬牴锛屾墠娉夊彯鑳藉仛鍥犲紡鍒嗚В銆傚綋鐒讹紝鍥犲紡鍒嗚В鐨勮В娉曞緢绠渚匡紝鐩存帴鎶婁笁娆℃柟绋嬮檷娆★紝渚嬪:瑙f柟绋媥3-X=0锛屽宸﹁竟浣滃洜寮忓垎瑙o紝寰梮(x+1)(x-1)=0锛屽緱鏂圭▼鐨涓変釜鏍:x1...