三次方程如何因式分解？ 三次方程如何因式分解?
\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u5982\u4f55\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff1f\uff1f\uff1f\u521d\u4e09\u6570\u5b66\u9898\uff0c\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u600e\u4e48\u89e3\uff1f\u5229\u7528\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6765\u5e2e\u5fd9\uff0c\u89e3\u9898\u5f88\u65b9\u4fbf\uff01
1.\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5
\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u4e0d\u662f\u5bf9\u6240\u6709\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u90fd\u9002\u7528,\u53ea\u5bf9\u4e00\u4e9b\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u9002\u7528\uff0e\u5bf9\u4e8e\u5927\u591a\u6570\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b,\u53ea\u6709\u5148\u6c42\u51fa\u5b83\u7684\u6839,\u624d\u80fd\u4f5c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff0e\u5f53\u7136,\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u7684\u89e3\u6cd5\u5f88\u7b80\u4fbf,\u76f4\u63a5\u628a\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u964d\u6b21\uff0e\u4f8b\u5982\uff1a\u89e3\u65b9\u7a0bx^3-x=0 \u5bf9\u5de6\u8fb9\u4f5c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3,\u5f97x(x+1)(x-1)=0,\u5f97\u65b9\u7a0b\u7684\u4e09\u4e2a\u6839\uff1ax1=0,x2=1,x3=-1.
2.\u53e6\u4e00\u79cd\u6362\u5143\u6cd5
\u5bf9\u4e8e\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u7684\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b,\u5148\u7528\u4e0a\u6587\u4e2d\u63d0\u5230\u7684\u914d\u65b9\u548c\u6362\u5143,\u5c06\u65b9\u7a0b\u5316\u4e3ax+px+q=0\u7684\u7279\u6b8a\u578b\uff0e\u4ee4x=z-p/3z,\u4ee3\u5165\u5e76\u5316\u7b80,\u5f97\uff1az-p/27z+q=0.\u518d\u4ee4z=w,\u4ee3\u5165,\u5f97\uff1aw+p/27w+q=0\uff0e\u8fd9\u5b9e\u9645\u4e0a\u662f\u5173\u4e8ew\u7684\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff0e\u89e3\u51faw,\u518d\u987a\u6b21\u89e3\u51faz,x.
3.\u76db\u91d1\u516c\u5f0f\u89e3\u9898\u6cd5
\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u5e94\u7528\u5e7f\u6cdb.\u7528\u6839\u53f7\u89e3\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b,\u867d\u7136\u6709\u8457\u540d\u7684\u5361\u5c14\u4e39\u516c\u5f0f,\u5e76\u6709\u76f8\u5e94\u7684\u5224\u522b\u6cd5,\u4f46\u4f7f\u7528\u5361\u5c14\u4e39\u516c\u5f0f\u89e3\u9898\u6bd4\u8f83\u590d\u6742,\u7f3a\u4e4f\u76f4\u89c2\u6027.\u8303\u76db\u91d1\u63a8\u5bfc\u51fa\u4e00\u5957\u76f4\u63a5\u7528a\u3001b\u3001c\u3001d\u8868\u8fbe\u7684\u8f83\u7b80\u660e\u5f62\u5f0f\u7684\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u5f0f\u65b0\u6c42\u6839\u516c\u5f0f,\u5e76\u5efa\u7acb\u4e86\u65b0\u5224\u522b\u6cd5\uff0e
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\u4e00\u5143\u4e09\u6b21\u65b9\u7a0baX^3\uff0bbX^2\uff0bcX\uff0bd=0,\uff08a,b,c,d\u2208R,\u4e14a\u22600\uff09.\u91cd\u6839\u5224\u522b\u5f0f\uff1aA=b^2\uff0d3ac\uff1bB=bc\uff0d9ad\uff1bC=c^2\uff0d3bd,\u603b\u5224\u522b\u5f0f\uff1a\u0394=B^2\uff0d4AC.\u5f53A=B=0\u65f6,\u76db\u91d1\u516c\u5f0f\u2460\uff1aX1=X2=X3=\uff0db/(3a)=\uff0dc/b=\uff0d3d/c.\u5f53\u0394=B^2\uff0d4AC>0\u65f6,\u76db\u91d1\u516c\u5f0f\u2461\uff1aX1=(\uff0db\uff0d(Y1)^(1/3)\uff0d(Y2)^(1/3))/(3a)\uff1b X2,3=(\uff0d2b\uff0b(Y1)^(1/3)\uff0b(Y2)^(1/3))/(6a)\u00b1i3^(1/2)((Y1)^(1/3)\uff0d(Y2)^(1/3))/(6a),\u5176\u4e2dY1,2=Ab\uff0b3a(\uff0dB\u00b1(B^2\uff0d4AC)^(1/2))/2,i^2=\uff0d1.\u5f53\u0394=B^2\uff0d4AC=0\u65f6,\u76db\u91d1\u516c\u5f0f\u2462\uff1aX1=\uff0db/a\uff0bK\uff1b X2=X3=\uff0dK/2,\u5176\u4e2dK=B/A,(A\u22600).\u5f53\u0394=B^2\uff0d4AC0,\uff0d1
因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次．例如：解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根：x1=0,x2=1,x3=-1.
2.另一种换元法
对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z,代入并化简，得：z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得：w+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程．解出w,再顺次解出z,x.
3.盛金公式解题法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．
盛金公式
一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd， 总判别式：Δ=B^2－4AC。 当A=B=0时，盛金公式①： X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②： X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)； X2，3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)， 其中Y1，2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。 当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③： X1=－b/a＋K； X2=X3=－K/2， 其中K=B/A，(A≠0)。 当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④： X1=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)； X2，3=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)， 其中θ=arccosT，T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－1<T<1)。
盛金判别法
①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ②：当Δ=B^2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
盛金定理
当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公式④无意义；当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。 当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值？盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值？盛金定理给出如下回答： 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理5：当A＜0时，则必定有Δ＞0（此时，适用盛金公式②解题）。 盛金定理6：当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0（此时，适用盛金公式①解题）。 盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式③解题）。 盛金定理8：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解题）。 盛金定理9：当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。 显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。 注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ＞0时，不一定有A＜0。 盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。 当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
盛金公式出处
以上盛金公式的结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法
一般来说三次方程都可以分解为
以下几种形式：
原式=（x+a）（x+b）（x+c）
或 （ax^2+bx+c）(x+d)
或（x^2+bx+c）(ax+d)
然后根据各项系数 和abcd的对应关系就可以求出系数了
一般第一种比较常用
只要记住这一点，分解3次方程就不会很难了
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