一道数学题 一道数学题？
\u4e00\u9053\u6570\u5b66\u9898\uff0c\u5e26\u7b54\u6848\u8003\u8003\u5927\u5bb6\uff1a \u8fd9\u662f\u4e00\u9053\u53ef\u4ee5\u6d4b\u51fa\u4e00\u4e2a\u4eba\u6709\u6ca1\u6709\u5546\u4e1a\u5934\u8111\u7684\u6570\u5b66\u9898\u3002\u738b\u5e08\u5085\u662f\u5356\u9c7c\u7684\uff0c\u4e00\u65a4\u9c7c\u8fdb\u4ef745\u5143\uff0c\u73b0\u4e8f\u672c\u5927\u7529\u5356\uff0c\u987e\u5ba235\u5143\u4e70\u4e86\u4e00\u516c\u65a4\uff0c\u7ed9\u4e86\u738b\u5e08\u5085100\u5143\u5047\u94b1\uff0c\u738b\u5e08\u5085\u6ca1\u96f6\u94b1\uff0c\u4e8e\u662f\u627e\u90bb\u5c45\u6362\u4e86100\u5143\u3002\u4e8b\u540e\u90bb\u5c45\u5b58\u94b1\u8fc7\u7a0b\u4e2d\u53d1\u73b0\u94b1\u662f\u5047\u7684\uff0c\u88ab\u94f6\u884c\u6ca1\u6536\u4e86\uff0c\u738b\u5e08\u5085\u53c8\u8d54\u4e86\u90bb\u5c45100\u5143\uff0c\u8bf7\u95ee\u738b\u5e08\u5085\u4e00\u5171\u4e8f\u4e86\u591a\u5c11?
\u6ce8\u610f\uff1a\u65a4\u4e0e\u516c\u65a4\u7684\u533a\u522b
\u4e00\u5171\u4e8f\u4e86100+\uff0845\u00d72-35\uff09=100+55=155\u5143
\u5355\u4ef7100\u5143 \u9500\u91cf50\u4ef6 \u9500\u552e\u989d=100*50 \u5229\u6da6=50*\uff08100-50\uff09
\u5355\u4ef790\u5143 \u9500\u91cf50+5(100-90) \u9500\u552e\u989d=99*[50+5(100-90)] \u5229\u6da6=90*[50+5(100-90)]-50*[50+5(100-90)]=(90-50)*[50+5(100-90)]
\u5355\u4ef7x\u5143 \u9500\u91cf50+5*(100-x) \u9500\u552e\u989d=x*[50+5*(100-x)]\u5229\u6da6=x*[50+5*(100-x)]-50*[50+5*(100-x)]=(x-50)*[50+5*(100-x)]
中国人在世界数学史上的伟大成就之一 ――――孙子定理
孙子算经是我国古代的一本优良数学书籍,作者与年代不详成书约在西元270年至
743年间魏晋南北时期,分成上,中,下三卷,上卷叙述筹算的乘除法,中卷叙述
筹算的分数算法与开方法,是了解中国古代筹算很好的资料,下卷收集了一些算术
难题,如「鸡兔同笼」,最有名的要算下卷第26题,通常所称的「孙子问题」或「
物不知其数」,孙子问题不仅是一个有趣的算术问题,而且和中国古代历法的推算有很密切关系.
孙子问题在中国民间流传很广,有「韩信点兵」,「秦王暗点兵」等名称,其解法也有不同名称,宋周密称为「鬼谷算」,「隔墙算」,杨辉称为「剪管术」秦九韶在其所著「数书九章」(西元1247年)称为「大衍求一术」等,孙子问题的算法,英国数学家Alexander Wylie(1815-1887)经由其著作中国算学丛谈一书介绍到西方,称为「中国剩余定理」.欧洲直到18-19世纪,尤拉(Euler,1707-1789)与高斯(Gauss,1777-1855)等人才对此类问题进行研究.比秦九韶等人晚了四,五百年.
孙子问题这类问题的解法属於数学的一个分支 ―― 数论,在近代数学仍占有重要地位.方法与原则,反映在插入理论,代数理论及算子理论,在计算机的设计中也有重要应用.
介绍孙子问题时,先玩一个游戏
游戏:「有位魔「数」师,声称在1000之内任选一整数,只要告诉魔「数」师,此数除以7,11,13,所得的余数r1,r2,r3,就能猜出你所选的数.如此数除以7,11,13,所得余数分别为1,2,3 ,则此数为211.你知道魔「数」师是如何得知的吗 」
答:5(11×13)r1+4(7×13)r2+12(7×11)r3-α(7×11×13)
= 5(143)r1+4(91)r2+12(77)r3-
韩信点兵
「三人一列,则余1人,五人一列,则余2人,七人一列,则余4人,十三人一列,则余6人,问兵至少多少人 」
答:2(5×7×13)r1+2(3×7×13)r2+6(3×5×13)r3+(3×5×7)r4-α(3×5×7×13)
=2(455)r1+2(273)r2+6(195)r3+(105)r4-α(1365)
至少487+α(1365)
孙子算经中的孙子问题
「物不知其数,三三数之賸二,五五数之賸三,七七数之賸二,问物几何 」
答曰:二十三
术曰:三三数之賸二,则置一百四十,五五数之賸三,则置六十三,七七数之賸二,
则置三十,并之得二百三十三,以二百一十减之即得.
三三数之賸一置七十,五五数之賸一置廿一,七七数之賸一置十五.
一百零六以上,以一百零五减之,即得.
明朝程大位在其著作「算法统宗」,将上述解法以四句诗表示
「三人同行七十稀,五树梅花廿一枝
七子团圆正半月,除百零五便得知」
宋代也有四句诗
「三岁孩儿七十稀,五留廿一事尤奇
七度上元重相会,寒食清明便可知」
孙子问题的解法,以现代的说法,是找出三个关键数70,21,15.解法的意思就是用70乘3除所得的余数,21乘5除所得的余数,15乘7除所得的余数,然后总加起来,如果大於105,则减105,还大再减,最后所得的正整数就是答案.
即题目的答案为 70×2+21×3+15×2
=140+63+30
=233
233-2×105=23
公式:70r1+21r2+15r3-105α
解法中的三个关键数70,21,15,有何妙用,有何性质呢 首先70是3除余1而5与7都除得尽的数,所以70r1是3除余r1 而5与7都除得尽的数,21是5除余1,而3与7都除得尽的数,所以21r2是5除余r2,而3与7除得尽的数.同理,15r3是7除余r3,3与5除得尽的数,总加起来 70r1+21r2+15r3 是3除余r1,5除余r2 ,7除余r3的数,也就是可能答案之一,但可能不是最小的,这数加减105仍有这样性质,可以多次减去105而得到最小的正数解.
孙子问题解法中的三个关键数70,21,15,是如何找到的呢
例如:70是3除余1且5与7除得尽的数,就是要找35的倍数中3除余1的数,即求一整数x,使35x是3的倍数加1,换言之,就是要求两整数x与y使35x-3y=1.
注:当方程组中方程式的个数少於未知数的个数,且要求解为整数解时,称方程组
为不定方程式.
Euler解法
代回
取k =1 得x = 2 , 35x = 70
问题:求20的倍数中,83除之余1的最小正整数
大衍求一术
秦九韶对这类问题有个独特解法,称为大衍求一数,说明如下:
求ni的倍数中,mi 除之余1的数,就是求αini除以mi 余1之αi
首先,若ni大於mi时,先求得ni除以mi的余数G
那麼αini除以mi余1就是αiG除以mi余1,作法原文如下:
「置奇右上(把G放在右上),定居右下(mi放在右下),立天元於左上左上置1,
左下空著),先以右上除右下(以G除mi),所得商数(Q 1)与左上一相生(相
乘)入左下,(加入左下,同时将mi改为mi除以G的余数R 1)然后乃以右行
上下以少除多,递互除之(辗转相除,并不断以新余数代替旧余数),所得商
数随即递互累乘,归左行上下,须使右上末后奇一而止(直算到右上角的数目
变为1才停止)乃 验左上所得,以为乘率(即为αi)
将历次所得商数为Q1, Q2 ,…..Qn,余数为R1, R2,.….Rn ,
左行上下历次算得各数为K1, K2, ….Kn, 演算图示如下:
….
….
图示中左右两行历次变化,以现代算式记成如下左右两串:
mI = GQ1 + R1 KI = Q1, K0 =1
G= R1Q2 + R2 K2= Q2KI+ 1
R1= R2Q3 + R3 K3= Q3K2 +KI
R2= R3Q4 + R4 K4= Q4K3 +K2
Rn-2= Rn-1Qn+ Rn Kn= QnKn-1+Kn-2
最后的 Kn 就是所求的αi
注:n必需为偶数,若Rn-1=1 (n-1为奇数)时,秦九韶,令Qn =Rn-2 -1多作一次,
使第n次仍为Rn =1
问题:求19的倍数中,83除之余1的最小正整数为何
解:即求乘率 αi 使19αi为83除之余1的最小正整数,大衍求一术之解 法如下:
Qn K1= Q1 K0= 1
19
14
4
2
1
2
83
76
Qn Kn= QnKn-1+ Kn-2
4 4
2 2×4+ 1 = 9
1 1×9+ 4 = 13
2 2×13+ 9= 35
7
5
5
4
2
1
即乘率使为 αi= 35 最小正整数为 19×35= 665
问题:求20的倍数中,27除之余1的最小正整数为何
解: Qn K1= Q1 K0= 1
20
14
1
2
1
5
27
20
Qn Kn= QnKn-1+ Kn-2
1 1
2 2×1+ 1 = 3
1 1×3+ 1 = 4
5 5×4+ 3 = 23
7
6
6
5
1
1
即乘率使为 αi= 23 最小正整数为 20×23= 460
问题:分别以Euler法与大衍求一术
求65的倍数中83除之余1的最小正整数
孙子定理
设m1, m2, …,mk为两两互质的正整数,m为m1, m2, …,mk 的最小公倍数,
r1, r2, …,rk 为一数x分别除以m1, m2, …,mk 所得的余数.
令, , …..
则最小的正数x=m1r1+m2r2+….+mkrk -αm
其中为的倍数,且mi 除之余1的数
问:定理中若m1, m2, …,mk不是都两两互质呢
问题:求3除之余2, 7除之余3, 11除之余2的最小正整数
问题:求6除之余4, 10除之余8, 9除之余4的最小正整数
孙子定理与Lagrange插入法
问题:有个函数在a,b,c三点的函数值分别为α,β,γ,如何求此函数
孙子定理提供解决这个问题的途径:
即找一函数以 (x-a) 除之余α,以 (x-b) 除之余β,以 (x-c) 除之余γ.
先作一个函数f(x), 使f(x) 以 (x-a) 除之余α,以 (x-b) 与 (x-c) 除得尽,
再作一个函数g(x), 使g(x) 以 (x-b) 除之余β,以 (x-a) 与 (x-c) 除得尽,
最后作一个函数h(x),使h(x) 以 (x-c) 除之余γ,以 (x-a) 与 (x-b) 除得尽,
这样 αf(x)+ βg(x)+γh(x) 就适合要求了!
最简单的f(x)定法如下:f(x) 以(x-b)与(x-c)除得尽,以(x-a)除之余1
令f(x)=λ(x-b)(x-c)
则f(a)=1 可得λ , 即 f(x)
同法 g(x) , h(x)
因此 αβγ 为问题的一个解答
注:上述这个公式称为Lagrange插入法
一般公式:
不定方程式三个有趣的问题
问题一:有一张清朝康熙年间的发票,历史学家希望把据这份史料研判当时的米价,
但发票上有几个重要数字被虫蛀坏了无法立即看出米价,发票上的字迹为
发奉 白粳壹佰伍拾参担,每担价银 分,
共计银 两二钱七分
假设当时每担米的价钱在一两以内,问每担米价为何
问题二:这是1926年10月9日由Ben Ames Williams在报纸
The Saturday Evening Post 所提供的「椰子问题」
有五个人带著一只猴子出海,不幸触礁流落到一荒岛上,由於缺乏食
物充饥,第一天下午,他们分头摘取了许多椰子,预备第二天上午大
家来分配.但是当大家睡觉后,其中有个人醒来,他想反正明天大家
要平分这些椰子,我何不先把我那一份先取出来,於是他把椰子平分
为相同数量的五堆,发现多出一个.他想这一个分给猴子,就将它与
其中一堆藏起来,剩下的椰子又堆在一起,另外四个人轮流醒来,也
跟第一个人有相同想法,也分别做同样的事,每个人发现分成相同数
量的五堆后,剩下一个椰子给猴子,经过每个人藏了部份椰子,第二
天早上他们开始分配剩下的椰子,结果刚好分成相同数量的五份,一
个都不剩,请问原有椰子共有多少
问题三:张丘建算经的百钱买百鸡
(张丘建算经:五世纪中叶南北朝时期作品,共三卷有残缺,收92个问题)
「今有鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一,凡百钱买百鸡,问
鸡翁,鸡母,鸡雏各几何 」
K n Rn
K n-1 Rn-1
K 2 R2
K 3 R3
K 2 R2
K 1 R1
1 G
K 1 R1
1 G
0 mi
楼上的答案到底是多少
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绛旓細绛旀锛歺=48 y=47 (2) 18x+23y=2303 74x-y=1998 绛旀锛歺=27 y=79 (3) 44x+90y=7796 44x+y=3476 绛旀锛歺=79 y=48 (4) 76x-66y=4082 30x-y=2940 绛旀锛歺=98 y=51 (5) 67x+54y=8546 71x-y=5680 绛旀锛歺=80 y=59 (6) 42x-95y=-1410 21x-y=1575 绛旀锛歺=75 y...
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绛旓細涓烘柟渚挎弿杩帮紝璁句釜鐐圭紪鍙峰鍥撅紝杩炴帴AC浜E浜嶰鐐 鈶犫柍AEO涓庘柍CBO鐩镐技锛堜袱瑙掔浉绛夛級锛屾湁AE/EO=BC/BO锛屼笖鏍规嵁棰樻剰鏈塀E=EO+OB=4锛孉E=3锛孊C=5锛屼唬鍏ュ緱鍒癊O=1.5锛孊O=2.5 鈶℃牴鎹嬀鑲″畾鐞嗭紝鐩磋鈻矨EO涓紝AO^2=AE^2+EO^2锛屽垯AO=1.5*鈭5锛屽悓鐞嗗彲寰桟O=2.5*鈭5 鈶㈠垯AC=AO+CO=4鈭5 鈶...
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