下三角矩阵可以对角化吗 任何一个方阵都能化成三角形矩阵吗?如果是这样的话，那化成三角...
\u77e9\u9635\u4e09\u89d2\u5316\u548c\u77e9\u9635\u5bf9\u89d2\u5316\u7684\u65b9\u6cd5\u6709\u533a\u522b\u5417\u77e9\u9635\u53ef\u5bf9\u89d2\u5316\u7684\u6761\u4ef6
n\u9636\u65b9\u9635A\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\uff1aA\u6709n\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u3002
\u5982\u4f55\u5bf9\u89d2\u5316\u77e9\u9635?
\uff08\u7ef4\u57fa\u53c2\u8003http://zh.wikipedia.org/wiki/\u5bf9\u89d2\u5316\uff09
\u8003\u8651\u77e9\u9635
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}.
\u8fd9\u4e2a\u77e9\u9635\u6709\u7279\u5f81\u503c
\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1.
\u6240\u4ee5 A \u662f\u6709\u4e09\u4e2a\u4e0d\u540c\u7279\u5f81\u503c\u7684 3 \u00d7 3 \u77e9\u9635\uff0c\u6240\u4ee5\u5b83\u662f\u53ef\u5bf9\u89d2\u5316\u7684\u3002
\u5982\u679c\u6211\u4eec\u8981\u5bf9\u89d2\u5316 A\uff0c\u6211\u4eec\u9700\u8981\u8ba1\u7b97\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u3002\u5b83\u4eec\u662f
v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}.
\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u8f7b\u6613\u7684\u9a8c\u8bc1 A v_k = \lambda_k v_k\u3002
\u73b0\u5728\uff0c\u8bbe P \u662f\u6709\u8fd9\u4e2a\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u4f5c\u4e3a\u7eb5\u5217\u7684\u77e9\u9635:
P=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix}.
\u5219 P \u5bf9\u89d2\u5316\u4e86 A\uff0c\u7b80\u5355\u7684\u8ba1\u7b97\u53ef\u9a8c\u8bc1:
P^{-1}AP =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{bmatrix}.
\u6ce8\u610f\u7279\u5f81\u503c \lambda_k \u51fa\u73b0\u5728\u5bf9\u89d2\u77e9\u9635\u4e2d\u3002
\u77e9\u9635\u5bf9\u89d2\u5316\u5e94\u7528
\u5bf9\u89d2\u5316\u53ef\u88ab\u7528\u6765\u6709\u6548\u7684\u8ba1\u7b97\u77e9\u9635A\u7684\u5e42\uff0c\u5047\u5982\u77e9\u9635\u662f\u53ef\u5bf9\u89d2\u5316\u7684\u3002\u6bd4\u5982\u6211\u4eec\u627e\u5230\u4e86
P^{-1}AP = D \,
\u662f\u5bf9\u89d2\u77e9\u9635\uff0c\u56e0\u4e3a\u77e9\u9635\u7684\u79ef\u662f\u7ed3\u5408\u7684\uff0c
\begin{align} A^k &= (PDP^{-1})^k = (PDP^{-1}) \cdot (PDP^{-1}) \cdots (PDP^{-1}) \\
&= PD(P^{-1}P) D (P^{-1}P) \cdots (P^{-1}P) D P^{-1} = PD^kP^{-1} \end{align}
\u800c\u540e\u8005\u5bb9\u6613\u8ba1\u7b97\uff0c\u56e0\u4e3a\u5b83\u53ea\u8bbe\u8ba1\u5bf9\u89d2\u77e9\u9635\u7684\u5e42\u3002
\u77e9\u9635\u76f8\u4f3c
\u8bbeA\uff0cB\u4e3an\u9636\u77e9\u9635\uff0c\u5982\u679c\u6709n\u9636\u53ef\u9006\u77e9\u9635P\u5b58\u5728\uff0c\u4f7f\u5f97P^(-1)*A*P=B\u6210\u7acb,\u5219\u79f0\u77e9\u9635A\u4e0eB\u76f8\u4f3c,\u8bb0\u4e3aA~B.
\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u5316\u7684\u610f\u4e49
\u77e9\u9635\u7684\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u5316\u610f\u4e49\u662f\u660e\u663e\u7684\u3002\u76f8\u4f3c\u662f\u4e00\u79cd\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\uff0c\u5bf9\u89d2\u5316\u76f8\u5f53\u4e8e\u5bf9\u4e00\u7c7b\u77e9\u9635\u5728\u76f8\u4f3c\u610f\u4e49\u4e0b\u7ed9\u51fa\u4e86\u4e00\u79cd\u7b80\u5355\u7684\u7b49\u4ef7\u5f62\u5f0f\uff0c\u8fd9\u5bf9\u7406\u8bba\u5206\u6790\u662f\u65b9\u4fbf\u7684\u3002\u76f8\u4f3c\u7684\u77e9\u9635\u62e5\u6709\u5f88\u591a\u76f8\u540c\u7684\u6027\u8d28\uff0c\u6bd4\u5982\u7279\u5f81\u591a\u9879\u5f0f\uff0c\u7279\u5f81\u6839\uff0c\u884c\u5217\u5f0f\u2026\u2026\u5982\u679c\u53ea\u5173\u5fc3\u8fd9\u7c7b\u6027\u8d28\uff0c\u90a3\u4e48\u76f8\u4f3c\u7684\u77e9\u9635\u53ef\u4ee5\u770b\u4f5c\u6ca1\u6709\u533a\u522b\u7684\uff0c\u8fd9\u65f6\u7814\u7a76\u4e00\u4e2a\u4e00\u822c\u7684\u53ef\u5bf9\u89d2\u5316\u7684\u77e9\u9635\uff0c\u53ea\u8981\u7814\u7a76\u5b83\u7684\u6807\u51c6\u5f62\u5f0f\uff0c\u4e00\u4e2a\u5bf9\u89d2\u77e9\u9635\u5c31\u53ef\u4ee5\u4e86\u3002\u800c\u5bf9\u89d2\u77e9\u9635\u662f\u6700\u7b80\u5355\u7684\u4e00\u7c7b\u77e9\u9635\uff0c\u7814\u7a76\u8d77\u6765\u975e\u5e38\u65b9\u4fbf\u3002\u8fd9\u4e2a\u8fc7\u7a0b\u76f8\u5f53\u4e8e\u5728\u4e00\u4e2a\u7b49\u4ef7\u7c7b\u4e2d\u9009\u53d6\u6700\u987a\u773c\u7684\u5143\u7d20\u7814\u7a76\u3002
\u53e6\u5916\uff0c\u5bf9\u89d2\u5316\u7a81\u51fa\u4e86\u77e9\u9635\u7684\u7279\u5f81\u503c\uff0c\u800c\u8fc7\u5ea6\u77e9\u9635T\u53cd\u6620\u4e86\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u7684\u4fe1\u606f\uff0c\u5bf9\u89d2\u5316\u8fc7\u7a0b\u7684\u76f4\u89c2\u610f\u4e49\u8fd8\u662f\u5f88\u660e\u663e\u7684\u3002\u518d\u7ed3\u5408\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\u7684\u6982\u5ff5\uff0c\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u4e00\u4e9b\u4e0d\u5e73\u51e1\u7684\u7ed3\u8bba\uff0c\u4f8b\u5982\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u603b\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316\u3002
\u5b9e\u8df5\u4e2d\u7684\u77e9\u9635\u5bf9\u89d2\u5316\u4f5c\u7528\u4e5f\u5f88\u5927\u3002\u522b\u7684\u4e0d\u8bf4\uff0c\u6bd4\u5982\u8981\u7b97\u4e00\u4e2a\u4e00\u822c\u76843\u9636\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u7684n\u6b21\u5e42\uff0cn\u8f83\u5927\u65f6\uff0c\u6309\u77e9\u9635\u4e58\u6cd5\u5b9a\u4e49\u53bb\u8ba1\u7b97\u662f\u76f8\u5f53\u7e41\u7410\u7684\uff0c\u8ba1\u7b97\u590d\u6742\u5ea6\u5448\u6307\u6570\u578b\u589e\u957f\u3002\u4f46\u662f\u5982\u679c\u628aA\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316(\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u603b\u662f\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316\u7684)\uff0c\u5199\u4e3a=T^(-1)PT, P\u662f\u5bf9\u89d2\u9635\u3002\u90a3\u4e48A^n=T^(-1)P^nT, P^n\u7684\u8ba1\u7b97\u662f\u5f88\u7b80\u5355\u7684\uff0c\u53ea\u8981\u628a\u5404\u7279\u5f81\u503c^n\u5373\u53ef\uff0c\u6b64\u65f6\u8ba1\u7b97A^n\u7684\u590d\u6742\u5ea6\u51e0\u4e4e\u4e0en\u65e0\u5173\u3002
\u6309\u7167\u4e09\u89d2\u77e9\u9635\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u4efb\u4f55\u4e09\u89d2\u77e9\u9635
\u5305\u62ec\u4e0a\u4e09\u89d2\u77e9\u9635\u548c\u4e0b\u4e09\u89d2\u77e9\u9635\uff0c\u90fd\u5fc5\u7136\u662f\u65b9\u9635
\u800c\u5bf9\u4e8e\u65b9\u9635\uff0c\u5b83\u7684\u884c\u9636\u68af\u578b\u5c31\u662f\u5b83\u7684\u4e0a\u4e09\u89d2\u77e9\u9635
\u4f46\u4e0d\u662f\u6240\u6709\u77e9\u9635\u90fd\u53ef\u4ee5\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u5316
n\u9636\u65b9\u9635A\u76f8\u4f3c\u4e8e\u5bf9\u89d2\u77e9\u9635\u7684\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u662f
A\u6709n\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf
矩阵可对角化的条件
n阶方阵A可以对角化的充要条件：A有n个线性无关的特征向量。
如何对角化矩阵?
（维基参考http://zh.wikipedia.org/wiki/对角化）
考虑矩阵
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}.
这个矩阵有特征值
\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1.
所以 A 是有三个不同特征值的 3 × 3 矩阵，所以它是可对角化的。
如果我们要对角化 A，我们需要计算对应的特征向量。它们是
v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}.
我们可以轻易的验证 A v_k = \lambda_k v_k。
现在，设 P 是有这个特征向量作为纵列的矩阵:
P=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix}.
则 P 对角化了 A，简单的计算可验证:
P^{-1}AP =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{bmatrix}.
注意特征值 \lambda_k 出现在对角矩阵中。
矩阵对角化应用
对角化可被用来有效的计算矩阵A的幂，假如矩阵是可对角化的。比如我们找到了
P^{-1}AP = D \,
是对角矩阵，因为矩阵的积是结合的，
\begin{align} A^k &= (PDP^{-1})^k = (PDP^{-1}) \cdot (PDP^{-1}) \cdots (PDP^{-1}) \\
&= PD(P^{-1}P) D (P^{-1}P) \cdots (P^{-1}P) D P^{-1} = PD^kP^{-1} \end{align}
而后者容易计算，因为它只设计对角矩阵的幂。
矩阵相似
设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B.
相似对角化的意义
矩阵的相似对角化意义是明显的。相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，这时研究一个一般的可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式，一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。
另外，对角化突出了矩阵的特征值，而过度矩阵T反映了特征向量的信息，对角化过程的直观意义还是很明显的。再结合正交矩阵的概念，可以得到一些不平凡的结论，例如实对称矩阵总可以对角化。
实践中的矩阵对角化作用也很大。别的不说，比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂，n较大时，按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的，计算复杂度呈指数型增长。但是如果把A可以对角化(实对称矩阵总是可以对角化的)，写为=T^(-1)PT, P是对角阵。那么A^n=T^(-1)P^nT, P^n的计算是很简单的，只要把各特征值^n即可，此时计算A^n的复杂度几乎与n无关。
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