设A为三阶实对称矩阵,且满足条件A2+2A=0,已知A的秩r(A)=2,
【答案】:设f(X)为X的多项式,λ是矩阵A的特征值,根据f(λ)必是f(A)的特征值,则.因为A为实对称矩阵,且r(A)=2,所以A~diag(λ1,λ2,λ3)=diag(0,-2,λ3),
式中λ3只能为0或-2,若λ3=0,则r(A)=r(diag(0,-2,0))=1,
这与r(A)=2相矛盾.故矩阵A的全部特征值为
λ1=0,λ2=λ3=-2$矩阵A+KE仍为实对称矩阵,由(1)知,A+KE的全部特征值为
-2+K,-2+K,K
于是,当K>2时,矩阵A+KE的全部特征值大于零,因此矩阵A为正定矩阵.
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