如果一个排列数1,2,3,4,5,…是错排列,那么这个错排列是几?
错位排列公式:设1,2,n的全排列b1,b2,bn的集合为A,而使bi=i的全排列的集合记为Ai(1<=i<=n),则Dn=|A|-|A1∪A2∪An|。所以Dn=n!-|A1∪A2∪An|,注意到|Ai|=(n-1)!|Ai∩Aj|=(n-2)!,|A1∩A2∩∩An|=0!=1。
相关方法:
对于情况较少的排列,可以使用枚举法。
当n=1时,全排列只有一种,不是错排,D1= 0。
当n=2时,全排列有两种,即1、2和2、1,后者是错排,D2= 1。
当n=3时,全排列有六种,即1、2、3;1、3、2;2、1、3;2、3、1;3、1、2;3、2、1,其中只有有3、1、2和2、3、1是错排,D3=2。用同样的方法可以知道D4=9。
最小的几个错排数是:D1= 0,D2= 1,D3=2,D4= 9,D5= 44,D6= 265,D7= 1854。
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