讨论f（x）=sinx在x=0处的连续性和可导性 讨论函数f（x）=（如图），在X=0处的连续性与可导性
\u8ba8\u8bba\u51fd\u6570\u7684\u8fde\u7eed\u6027\u4e0e\u53ef\u5bfc\u6027 \u8ba8\u8bbaf(x)=|sinx|\u5728x=0\u5904\u7684\u8fde\u7eed\u6027\u4e0e\u53ef\u5bfc\u6027x\u21920+
lim |sinx| =lim sinx =0 =sin 0
x\u21920-
lim sinx = lim -sinx =0 =sin 0
\u5de6\u53f3\u90fd\u8fde\u7eed.\u6240\u4ee5\u8fde\u7eed
x\u21920+
lim (|sinx|-|sin0)|/(x-0) =lim sinx/x =1
x\u21920-
lim (|sinx|-|sin0)|/(x-0) = lim -sinx/x =-1
\u5de6\u53f3\u5bfc\u6570\u4e0d\u7b49,\u6240\u4ee5\u4e0d\u53ef\u5bfc
\u9996\u5148\u8fde\u7eed\u6027\u5c31\u662f\u6c42f(x)\u8d8b\u8fd1\u4e0e0\u65f6\u5019\u7684\u6781\u9650\u662f\u5426\u7b49\u4e8e1\u3002
\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u53ef\u5bfc\u6027\u5c31\u662f\u6c42\u5bfc\u6570\u662f\u5426\u8fde\u7eed\u3002
\u82e5\u8fde\u7eed\u5219x=0\u65f6\u4ee3\u5165\u7b2c\u4e00\u4e2a\u5f0f\u5b50\u7684\u5230\u51fd\u6570\u662f\u5426\u7b49\u4e8e0\u3002
\u82e5\u7b49\u4e8e0\u5219\u8bf4\u660e\u53ef\u5bfc\u3002
||x\u21920+
lim |sinx| =lim sinx =0 =sin 0
x\u21920-
lim sinx = lim -sinx =0 =sin 0
\u5de6\u53f3\u90fd\u8fde\u7eed\uff0c\u6240\u4ee5\u8fde\u7eed
x\u21920+
lim (|sinx|-|sin0)|/(x-0) =lim sinx/x =1
x\u21920-
lim (|sinx|-|sin0)|/(x-0) = lim -sinx/x =-1
\u5de6\u53f3\u5bfc\u6570\u4e0d\u7b49\uff0c\u6240\u4ee5\u4e0d\u53ef\u5bfc\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5982\u679cy=f\uff08x\uff09\u5728\uff08a\uff0cb\uff09\u5185\u53ef\u5bfc\u5e76\u4e14\u5728A+\u548cB-\u5904\u7684\u5bfc\u6570\u90fd\u5b58\u5728\uff0c\u5219\u79f0y=f\uff08x\uff09\u5728\u95ed\u533a\u95f4[a,b]\u4e0a\u53ef\u5bfc\u3002
\u5982\u679c\u51fd\u6570y=f\uff08x\uff09\u5728\u70b9x\u5904\u53ef\u5bfc\uff0c\u5219\u51fd\u6570y=f\uff08x\uff09\u5728\u70b9X\u5904\u8fde\u7eed\uff0c\u53cd\u4e4b\uff0c\u51fd\u6570y=f\uff08x\uff09\u5728\u70b9x\u5904\u8fde\u7eed\uff0c\u4f46\u51fd\u6570y=f\uff08x)\u5904\u4e0d\u4e00\u5b9a\u53ef\u5bfc\uff01
\u51fd\u6570\u5728\u70b9X\u5904\u53ef\u5bfc\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\u51fd\u6570\u5728\u70b9X\u5904\u7684\u5de6\u5bfc\u6570\u548c\u53f3\u5bfc\u6570\u90fd\u5b58\u5728\u5e76\u4e14\u76f8\u7b49\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u53ef\u5bfc\u6027
解：
x→0＋
lim｜sinx｜＝limsinx＝0＝sin0
x→0－
limsinx＝lim－sinx＝0＝sin0
左右都连续．所以连续
x→0＋
lim（｜sinx｜－｜sin0）｜／（x－0）＝limsinx／x＝1
x→0－
lim（｜sinx｜－｜sin0）｜／（x－0）＝lim－sinx／x＝－1
左右导数不等，所以不可导。
连续性：y在X的领域内处有定义，而且y在X趋向于0时极限存在，而且极限值等于y在X＝0的值。证明极限存在，要看左右极限是否存在且相等，像这函数，左右极限都存在，且都等于0，而且极限值等于函数值。
可导性：先对函数进行求导，再求其在X＝0处左右极限是否存在且相等，如果不存在，则不可导，如果存在可是不相等，也不可导。
扩展资料
函数的连续性：
在定义函数的连续性之前先了解一个概念——增量设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，终值与初值的差x2－x1就叫做变量x的增量，记为：△x即：△x＝x2－x1增量△x可正可负。
设函数在区间［a，b）内有定义，如果右极限存在且等于，即：＝，那么就称函数在点a右连续。一个函数在开区间（a，b）内每点连续。
则为在（a，b）连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间［a，b］连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
注：一个函数若在定义域内某一点左、右都连续，则称函数在此点连续，否则在此点不连续。注：连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。
lim（x->0）f(x) =lim(x->0)|x| =0 =f(0) 所以 连续； f'+(0)=lim(x->0+)|x|/x=lim(x->0+)x/x=1 f'-(0)=lim(x->0-)|x|/x=lim(x->0-)-x/x=-1 f'+(0)≠f'-(0) 所以 不可导。
正弦函数在实数上连续且可导
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