对线代的第一波总结(完结)
逆序数为奇数则为奇排列
逆序数为偶数则为偶排列
定理：对换改变排列的奇偶性。
各元素行标顺次排列(由小到大)，由项的正负由列标排列的逆序数决定——奇负偶正。
行列式就两个思想：
①将行列式化成上三角行列式或下三角行列式。(行列式的基本性质)
②降解（通过元素乘该元素的代数余子式） (0多的行列式，一定用降解)
1、行列式与转置行列式相等。
2、对调行列式的两行（或两列）行列式变为相反数。
3、行列式某行（或某列）有公因子，则可以提取。
推论1： 行列式某行（或某列）元素全为零，则行列式为零。
推论2： 行列式两行（或两列）元素相同，则行列式为零。
推论3： 行列式两行（或两列）元素成比例，则行列式为零。
对齐次线性方程组
D ≠ 0的 充要条件 是方程组（1）只有零解。
D = 0的 充要条件 是方程组（1）有非零解。(未解决)
定理2
对非齐线性方程组
D = 0的 充要条件 是(2)或者无解，或者有无数个解。
D ≠ 0的 充要条件 是(2）有唯一解，且
（1）如果一个矩阵所有的元素都为0，则称为零矩阵。
（2）如果一个矩阵是n行n列，我们称为n阶方阵。
（3）如果一个矩阵是方形矩阵，如果其矩阵的组对角线之外所有的元素都是0，则称该矩阵为n阶对角矩阵。或称为对角阵。
称A和B互为同型矩阵，即两个矩阵的行数和列数都一致。
如果矩阵中的每一个元素都相等，则称矩阵相等。
内标决定相乘是否合法。
矩阵之间要进行相乘，一定要两个矩阵的内标相同，即矩阵A的列标与矩阵B的行标相同。
外标决定相乘之后矩阵的型。
矩阵A与矩阵B相乘后，两个矩阵的外标，为结果矩阵C的型。即矩阵C有矩阵A的行数，有矩阵B的列数。
：
①
②
③
④
那么
由代数余子式构成的矩阵，称为伴随矩阵。形如：
三个思考：①何为逆阵？②逆阵是否存在？③如何求逆阵？
首先，可逆矩阵一定是方阵。
设A是n阶方阵,若存在n阶方阵B使 或 ，则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵。记A的逆矩阵为 。
定理：n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且A可逆时， 。
①
②
③
④
⑤
③
④ =
。
方法一：伴随矩阵法
方法二：初等变换法
方程组的同解变形
矩阵的三种初等行变换
②
读法：
列读：第3列的2倍加到第1列
行读：第1行的2倍加到第3行
③
的求法
例1 求A的逆矩阵：
解：
= 1 ≠0，故A可逆。
在 中任取A中的r行，r列而成的r阶行列式，称为A的r阶子式( ) 。
存在r阶子式不为0，对于r+1阶子式皆为零(不一定有r阶子式)，称r为A的秩，记作 。
①
②
③ 称A为非奇异矩阵。 称A为满秩。
④
形如这种阶梯式的 行， 个约束条件。
①
②
③ 至少两行不成比例
① 见到 使用
② 这三种情况使用
③ ， 则
见到AB,r(A),r(B)就使用以上性质。
④ 则 见 则用该性质
⑤ (秩具有低随波性)
⑥ 问到伴随矩阵，则可参考此分段情况
向量一般是列向量 ， 向量的秩不超过1.
向量 与 是不可乘的。
但 一个数，是可乘的
矩阵
两个向量相乘，左转右不转是个数。两个向量相乘，左不转右转是个矩阵。
形如 称为n维列向量。 称为模。
①
②
③
④ 如果 称 正交，记 。零向量与任何向量正交。
解的情形
相关性——
只有零解，称 线性无关
有非零解，存在 使得 称 线性相关
线性表示——
无解，称 不可由 线性表示
有解，存在 使得 称 可由 线性表示
线性相关⇒至少存在一个向量可由其余向量线性表示。
① 含零向量的向量组一定线性相关。
② 线性相关⇔ 成比例
③ 线性相关⇔ 可由 线性表示
④ 线性无关⇔ 不可由 线性表示，且表示方法唯一
全组无关⇒部分组无关
办公室全员都不是混子，则部分组员也不是混子
部分组相关⇒全组相关
部分组员中有混子，则全员中肯定有混子
① 为n个n维向量，则 线性无关
② 为n个m维向量，且 线性相关
③ 添加向量数，提高相关性
④ 添加维数，提高无关性
线性无关(不可逆推)
总结：
如果一个向量组，线性相关，有两种理解。
在线性无关的基础上，再加入一个向量，有两种可能
①无关继续 ②线性相关
如果向量的个数和维数一样多，那么此向量线性无关的充要条件是：行列式不等于0
如果一个向量组个数多了，维数少了，一定线性相关。
三个方面入手：①性质②定义③
例： 线性无关 问 线性关系？
解：令
∵ 线性无关，所以:
线性无关
①向量组等价 ②极大线性无关组（基础解系） ③向量组的秩
如果对于每一个 都能用 表示，称A组可由B组线性表示，
如果对于每一个 都能用 表示，称B组可由A组线性表示。
如果同时成立，即A与B组可以相互表示，我们则称A与B向量组等价。
设 为向量组:
①若存在 个向量线性无关
②对于所有的 个向量线性相关(不一定有)，
则称 个线性无关的向量组为 极大线性无关组，称 为向量组的秩。
①极大线性无关组不一定唯一
②向量组与极大线性无关组等价
③ 线性无关⇔ 为极大无关组⇔ 的秩
④
情形一： 组的秩= 组的秩⇔ 可由 线性表示
情形二： 组的秩= 组的秩+1⇔ 不可由 线性表示
⑤
A高兴的时候可以进来，不高兴可以出去。 特征向量常用
⑥ ，A= α横着排，系数竖着排
称为A的行向量，其秩称为行秩。
称为A的行向量，其秩称为列秩。
①☆矩阵的秩=行秩=列秩，三秩相等☆。
②A= 若A组可由B组线性表示，则A组的秩≤B组的秩。
③A与B向量组等价⇔A与B秩等价
对于齐次线性方程组：
对于非齐次线性方程组：
有解则 可由 线性表示，无解则 不可由 线性表示。
对于 ，若AB=0,则 为AX=0的解。
例1：
绛旓細瀵归綈娆＄嚎鎬ф柟绋嬬粍 D 鈮 0鐨 鍏呰鏉′欢 鏄柟绋嬬粍锛1锛鍙湁闆惰В銆 D = 0鐨 鍏呰鏉′欢 鏄柟绋嬬粍锛1锛夋湁闈為浂瑙ｃ(鏈В鍐) 瀹氱悊2 瀵归潪榻愮嚎鎬ф柟绋嬬粍 D = 0鐨 鍏呰鏉′欢 鏄(2)鎴栬呮棤瑙ｏ紝鎴栬呮湁鏃犳暟涓В銆 D 鈮 0鐨 鍏呰鏉′欢 鏄(2锛夋湁鍞竴瑙ｏ紝涓 锛1锛夊鏋滀竴涓煩闃垫墍...
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