棣莫弗公式？ 数学归纳法证明棣莫弗公式.
\u4ec0\u4e48\u53eb\u68e3\u83ab\u5f17\u516c\u5f0f\uff1f\u590d\u6570\u4e58\u65b9\u7528\u4e09\u89d2\u8868\u793a\u5f0f\u6765\u89e3\u6bd4\u8f83\u7b80\u4fbf.
\u3000\u3000\u590d\u6570r(cos\u03b8+isin\u03b8)\u7684n\u6b21\u65b9\u662f\uff1a
\u3000\u3000z^n=[r(cos\u03b8+isin\u03b8)]^n=r^n(cosn\u03b8+isinn\u03b8)
\u3000\u3000n\u2208N.
\u3000\u3000\u590d\u6570\u5f00\u65b9\u4e5f\u7528\u4e09\u89d2\u8868\u793a\u5f0f\u6765\u89e3\u6bd4\u8f83\u7b80\u4fbf.
\u3000\u3000\u590d\u6570r(cos\u03b8+isin\u03b8)\u7684n\u6b21\u65b9\u6839\u662f\uff1a
\u3000\u3000(n\u6b21\u6839\u53f7r){cos[(\u03b8+2k\u03c0)/n]+isin[(\u03b8+2k\u03c0)/n]
\u3000\u3000(k=0,1,2,......). n\u2208N.
\u3000\u3000\u8fd9\u4e24\u6761\u516c\u5f0f\u53eb\u505a\u68e3\u83ab\u5f17\u516c\u5f0f
\u3000\u3000\u68e3\u83ab\u5f17\u516c\u5f0f\u8bc1\u660e:
\u3000\u3000\u5148\u5f15\u5165\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\uff1ae^ix = cosx + isinx
\u3000\u3000\u5c06e^t\uff0csint \uff0c cost \u5206\u522b\u5c55\u5f00\u4e3a\u6cf0\u52d2\u7ea7\u6570\uff1a
\u3000\u3000e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + \u2026\u2026 + t^n/n\uff01+ \u2026\u2026
\u3000\u3000sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+\u2026\u2026-\u2026\u2026
\u3000\u3000cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+\u2026\u2026-\u2026\u2026
\u3000\u3000\u5c06t = ix \u4ee3\u5165\u4ee5\u4e0a\u4e09\u5f0f \uff0c\u53ef\u5f97\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f
\u3000\u3000\u5e94\u7528\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\uff0c\uff08cosx\uff0bisinx\uff09^n = (e^ix)n
\u3000\u3000=e^inx
\u3000\u3000=cos(nx)+isin(nx)
\u8bbe\u590d\u6570z\uff1dr(cosa\uff0bisina),r>0,n\u2208N\ufe62.\u5219z^n\uff1dr^n\ufe59cosna\uff0bisinna\ufe5a\u88ab\u79f0\u4e4b\u4e3a\u68e3\u83ab\u5f17\u516c\u5f0f.
\u6211\u4eec\u7528\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\u6765\u8bc1\u660e\u3002\uff08\u6ce8\u610f\uff0c\u6211\u4eec\u8981\u7528i²\uff1d\uff0d1\u8fd9\u4e2a\u57fa\u672c\u5b9a\u4e49\u3002\uff09
n\uff1d1\u65f6\uff0c\u6709z\uff1dr(cosa\uff0bisina),\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2460
\u8bben\uff1dk\u65f6\u547d\u9898\u6210\u7acb\uff0c\u5373z^k\uff1dr^k\ufe59coska\uff0bisinka\ufe5a,
\u5f53n\uff1dk+1\u65f6\uff0cz^(k+1)\uff1dr^k\u00b7r(coska\uff0bisinka)(cosa\uff0bisina)
\uff1dr^(k+1)\ufe5b\ufe59coskacosa\uff0dsinkasina\ufe5a\uff0bi\ufe59sinkacosa\uff0bcoskasina\ufe5a\ufe5c
\uff1dr^(k+1)\ufe5bcos(k+1)a\uff0bisin(k+1)a\ufe5c,\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2461
\u56e0\u4e3an\u662f\u4efb\u610f\u7684\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\u7531\u4ee5\u4e0a\u2460\u2461\u4e24\u6b65\uff0c\u53ef\u4ee5\u65ad\u8a00\uff1a
\u547d\u9898\u5f97\u8bc1\u3002
用棣莫弗公式可以较容易计算五倍角公式，只要用二项式定理对（cosx+isinx）^5进行拆分即可，拆完后实部为cos5x，虚部为sin5x。具体过程如下图，望采纳
先引入欧拉公式：e^ix = cosx + isinx
将e^t，sint ， cost 分别展开为泰勒级数：
e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
将t = ix 代入以上三式 ，可得欧拉公式
应用欧拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
绛旓細妫ｈ帿寮楀叕寮忔槸鎸囨硶鍥芥暟瀛﹀妫ｈ帿寮楋紙Abraham de Moivre锛1667骞达紞1754骞达級浜1707骞村垱绔嬬殑鍏紡銆傚綋涓涓鏁皕浠ユ瀬鍧愭爣褰㈠紡琛ㄨ揪锛屽嵆z = r(cos胃 + isin胃)鏃讹紝鍏秐娆℃柟(r(cos胃 + isin胃))n = rn(cos(n胃) + isin(n胃))锛屽叾涓璶灞炰簬浠讳綍鏁存暟銆傜畝浠嬶細妫ｈ帿寮楁槸娉曞浗鏁板瀹躲1667骞5鏈26鏃ョ敓浜...
绛旓細妫ｈ帿寮楀叕寮忔槸锛歓1Z2=r1r2[cos锛埼1+胃2锛+isin锛埼1+胃2锛塢銆傚湪妫ｈ帿寮楀叕寮忊淶1Z2=r1r2[cos锛埼1+胃2锛+isin锛埼1+胃2锛塢鈥濅腑锛孼1=r1(cos胃1+isin胃1锛夛紝Z2=r2(cos胃2+isin胃2锛夈傝瘉鏄庣殑鏂规硶锛氬湪澶嶆暟骞抽潰涓婏紝鍙互鐢ㄥ悜閲廧(a,b)鏉ヨ〃绀篫=a+ib.璇ュ悜閲忓彲浠ュ垎鎴愪袱涓湪瀹炶酱锛岃櫄...
绛旓細妫ｈ帿寮楀叕寮忔槸鎸囨硶鍥芥暟瀛﹀妫ｈ帿寮楋紙Abraham de Moivre锛1667骞达紞1754骞达級浜1707骞村垱绔嬬殑鍏紡銆傚綋涓涓鏁皕浠ユ瀬鍧愭爣褰㈠紡琛ㄨ揪锛屽嵆z = r(cos胃锛媔sin胃锛夋椂锛屽叾n娆℃柟锛坮(cos胃锛媔sin胃锛夛級n = rn(cos(n胃锛夛紜isin(n胃锛夛級锛屽叾涓璶灞炰簬浠讳綍鏁存暟銆傛帹骞垮舰寮 璁緉涓鏁癦1=r1(cos胃1+isin胃1) ,...
绛旓細杩欎袱鏉″叕寮忓彨鍋氭＃鑾紬鍏紡 妫ｈ帿寮楀叕寮忚瘉鏄:鍏堝紩鍏ユ鎷夊叕寮忥細e^ix = cosx + isinx 灏唀^t锛宻int 锛 cost 鍒嗗埆灞曞紑涓烘嘲鍕掔骇鏁帮細e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + 鈥︹ + t^n/n锛+ 鈥︹int = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+鈥︹-鈥︹ost = 1 - t^2/2!+t^4/...
绛旓細鍏紡瑙ｆ瀽锛氬叾涓间负鍧囨暟锛屜冧负鏍囧噯宸偽煎喅瀹氫簡姝ｆ佸垎甯冪殑浣嶇疆锛屼笌渭瓒婅繎锛岃鍙栧埌鐨勬鐜囧氨瓒婂ぇ锛屽弽涔嬭秺灏銆傁冩弿杩扮殑鏄鎬佸垎甯冪殑绂绘暎绋嬪害銆傁冭秺澶э紝鏁版嵁鍒嗗竷瓒婂垎鏁ｆ洸绾胯秺鎵佸钩锛浵冭秺灏忥紝鏁版嵁鍒嗗竷瓒婇泦涓洸绾胯秺闄″抄銆傛鎬佸垎甯冨巻鍙插彂灞曪細姝ｆ佸垎甯冩蹇垫槸鐢辨硶鍥芥暟瀛﹀妫ｈ帿寮楋紙Abraham de Moivre锛変簬1733骞...
绛旓細棣栧厛锛屾鎷夊叕寮忓鍚屼竴鎶婇挜鍖欙紝鎵撳紑妫ｈ帿寮楀叕寮鐨勫ぇ闂ㄣ傛兂璞′竴涓嬶紝褰撴垜浠敤娆ф媺鍏紡灏嗗鏁皕1鍜寊2鍒嗗埆琛ㄧず涓篭( z1 = r1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) \)鍜孿( z2 = r2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) \)锛屽畠浠殑涔樼Н \( z1 \cdot z2 \) 鍙互杩欐牱鍖栫畝锛歕( z1 \cdot z2 =...
绛旓細鐢妫ｈ帿寮楀叕寮鍙互杈冨鏄撹绠椾簲鍊嶈鍏紡锛屽彧瑕佺敤浜岄」寮忓畾鐞嗗锛坈osx+isinx锛塣5杩涜鎷嗗垎鍗冲彲锛屾媶瀹屽悗瀹為儴涓篶os5x锛岃櫄閮ㄤ负sin5x銆傚叿浣撹繃绋嬪涓嬪浘锛屾湜閲囩撼
绛旓細鎺㈢储澶嶆暟涓栫晫鐨勫ゥ绉橈細妫ｈ帿寮楀畾鐞涓巒鍊嶈鍏紡 鍦ㄦ暟瀛︾殑鐟板疂涓紝澶嶆暟浠ュ叾绁炵鐨勯潰绾卞惛寮曠潃鎴戜滑銆備互 褰㈠紡鍑虹幇鐨勫鏁帮紝鍏朵腑 鏄櫄鏁板崟浣嶏紝婊¤冻 锛屽鏁扮敱瀹為儴 鍜岃櫄閮 鏋勬垚銆傛瘡涓鏁板搴斿骞抽潰涓婄殑涓涓偣 锛屽畠鐨勬ā闀 锛屽嵆鍒板師鐐圭殑璺濈锛岃 瑙掞紝鍗充笌 杞存鍗婅酱鐨勫す瑙掞紝琚О涓鸿緪瑙掋傚煎緱娉ㄦ剰鐨勬槸锛岀敱浜...
绛旓細杩欐槸鏍囧噯姝ｆ佸垎甯冪殑鍩烘湰鍏紡锛屽綋X~N(0,1)鏃讹紝P(|X|鈮)=P(-a鈮鈮)=桅(a)-桅(-a)=桅(a)-{1-桅(a)}=2桅(a)-1銆
绛旓細璁惧鏁皕锛漴(cosa锛媔sina),r>0,n鈭圢锕.鍒檢^n锛漴^n锕檆osna锛媔sinna锕氳绉颁箣涓妫ｈ帿寮楀叕寮. 鎴戜滑鐢ㄦ暟瀛﹀綊绾虫硶鏉ヨ瘉鏄庛傦紙娉ㄦ剰锛屾垜浠鐢╥ 锛濓紞1杩欎釜
