实对称矩阵一定能对角化怎么证明 证明实对称矩阵必可对角化
\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e00\u5b9a\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316\uff1f\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e00\u5b9a\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316\uff0c\u56e0\u4e3a\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u5316\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662fn\u9636\u65b9\u9635A\u6709n\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u5145\u5206\u6761\u4ef6\u662fA\u6709n\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u7279\u5f81\u503c\uff0c\u800cn\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u7279\u5f81\u503c\u4e00\u5b9a\u5bf9\u5e94n\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635n\u91cd\u7279\u5f81\u503c\u5bf9\u5e94n\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u6240\u4ee5\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u4e00\u5b9a\u53ef\u4ee5\u5bf9\u89d2\u5316\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u7684\u4e0d\u540c\u7279\u5f81\u503c\u5bf9\u5e94\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u662f\u6b63\u4ea4\u7684\u3002
2\u3001\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u7684\u7279\u5f81\u503c\u90fd\u662f\u5b9e\u6570\uff0c\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u90fd\u662f\u5b9e\u5411\u91cf\u3002
3\u3001n\u9636\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635A\u5fc5\u53ef\u5bf9\u89d2\u5316\uff0c\u4e14\u76f8\u4f3c\u5bf9\u89d2\u9635\u4e0a\u7684\u5143\u7d20\u5373\u4e3a\u77e9\u9635\u672c\u8eab\u7279\u5f81\u503c\u3002
4\u3001\u82e5\u03bb0\u5177\u6709k\u91cd\u7279\u5f81\u503c\uff0c\u5fc5\u6709k\u4e2a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u7279\u5f81\u5411\u91cf\uff0c\u6216\u8005\u8bf4\u5fc5\u6709\u79e9r(\u03bb0E-A)=n-k\uff0c\u5176\u4e2dE\u4e3a\u5355\u4f4d\u77e9\u9635\u3002
\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u6709\u4e00\u4e9b\u6027\u8d28\uff0c\u53ef\u5bf9\u89d2\u5316\u4e5f\u6709\u5145\u8981\u6761\u4ef6\uff0c\u53ea\u8981\u8bc1\u660e\u5b9e\u5bf9\u79f0\u77e9\u9635\u7684\u6027\u8d28\u6ee1\u8db3\u5bf9\u89d2\u5316\u7684\u6761\u4ef6\u5c31\u53ef\u4ee5\u4e86
楼上的太难，需要很多超出线性代数的内弄。若能证明下列命题，你的问题便也立即得到解决了。设A是一个n阶实对称矩阵，那么可以找到n阶正交矩阵T，使得（T的逆阵）AT为对角矩阵。
证明：当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立，则 对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值（n阶矩阵一定有n个特征值（计数重复的）），设α是A 的一个特征向量（α是列向量）。（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量，所以只要把α的每一个元都除以イ，其中イ的平方=（α的转置）*α，就使得α为单位向量（所谓单位向量就是（α的转置）*α=1）。显然所有的单位向量有无数个，且显然可以找到足够多的列单位向量，使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0，因为正交矩阵的充要条件是列（行）向量两两正交且都是单位向量，又因为对方阵而言若AB=E则BA=E，故可以 以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q，（所谓正交矩阵就是（Q的转置）*Q=Q*(Q的转置)=E）。由（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα 得（Q的转置）A的第一行是（シα）的转置，于是 （Q的转置）AQ的第1行第1列处是シ（α的转置）α= シ，还可以推出（Q的转置）AQ的第一列除了第一行以外都是0（至于这是为啥实在不方便打字，读者可以自己算一下，提示一下 设t是T是元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样，那么这些加起来就是0）。因为Q是正交矩阵，（（Q的逆阵）AQ）的转置=（Q的转置）（A的转置）（Q的逆阵的转置）=（Q的逆阵）AQ，所以（Q的逆阵）AQ也是对称矩阵，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕
然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化
接证明更强的结论：Hermite矩阵可以酉对角化
如果A是Hermite阵，取A的一个单位特征向量x，张成一个酉阵Q=[x,*]
那么Q^HAQ具有分块结构
λ 0
0 B
对B用归纳假设就行了
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