高二数学 若x＞0，y＞0，且x＋4y=1，则xy的最大值是 已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值?

\u9ad8\u4e8c\u6570\u5b66\uff0c\u6c42\u5927\u795e\u8bb2\u89e3 \u5df2\u77e5x>0,y>0,\u4e142x+4y+xy=1,\u5219x+2y\u7684\u6700\u5c0f\u503c\u662f

\u5982\u56fe

0\u2264(x-4y)^2=x^2-8xy+16y^2,
16xy\u2264x^2+8xy+16y^2=(x+4y)^2=1,
xy\u22641/16,
\u5f53x=4y\u65f6\uff0c\u5373x=1/2,y=1/8\u65f6\uff0c\u7b49\u53f7\u6210\u7acb\uff0c
\u6240\u4ee5\uff0cxy\u7684\u6700\u5927\u503c\u4e3a1/16\u3002

解由xy
=1/4×x×4y
≤1/4[(x+4y)/2]^2
=1/4×1/4
=1/16
故xy的最大值为1/16.

0≤(x-4y)^2=x^2-8xy+16y^2,
16xy≤x^2+8xy+16y^2=(x+4y)^2=1,
xy≤1/16,
当x=4y时，即x=1/2,y=1/8时，等号成立，
所以，xy的最大值为1/16。

换元法，把x换成1-4y,然后xy=y-4y∧2，y范围是0＜y＜1/4,所以最大值是y=1/8时，最大值为1/16

解：
y>0，则4y>0
x>0，4y>0
由均值不等式得：x+4y≥2√(x·4y)
x+4y=1
2√(x·4y)≤1
4√(xy)≤1
√(xy)≤1/4
xy≤1/16
xy的最大值是1/16

x=1-4y>0
推得y<1/4
推得0<y<1/4
xy=(1-4y)*y=y-4y^2
二次函数最大值点在-b/2a=1/8
b=1,a=-4,c=0
推得(xy)max=(1-4*1/8)*1/8=1/16
所以最大值为1/16

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