函数y=x*cosx在(-∞,+∞)内是否有界,这个函数是否为x趋近于+∞时的无穷大?为什么? 问题,函数y=xcosx在(-∞,+∞)内是否有界?这个函数...
\u9ad8\u6570:\u51fd\u6570y\uff1dxcosx\u5728\uff08\uff0d\u221e\uff0c\uff0b\u221e\uff09\u5185\u662f\u5426\u6709\u754c\uff1f\u7ed3\u679c\u4e3a\uff1a\u65e0\u754c
\u89e3\u9898\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
y\uff1dxcosx\u5728\uff08\uff0d\u221e\uff0c\uff0b\u221e\uff09
\u5bf9\u4efb\u610f\u7684M>0\uff0c\u53d6x=2k\u220f\uff0c
\u5176\u4e2dk\u4e3a\u6574\u6570\uff0ck>[M/2\u220f]+1
\u6b64\u65f6f(x)>M\uff0c\u6545f(x\uff09\u5728(-\u221e,+\u221e) \u4e0a\u65e0\u754c
\u5b9a\u4e49\u6cd5\uff1a
\u5bf9N>0\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684X\uff0c\u53d6x=(k+1/2)\u220f\uff0c
\u5176\u4e2dk\u4e3a\u6574\u6570\uff0ck>[X/\u220f]+1
\u5219f(x)=00\uff0c
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684X\uff0c\u90fd\u5b58\u5728x>X\uff0c\u4f7f\u5f97f(x)
\u2234y\uff1dxcosx\u5728\uff08\uff0d\u221e\uff0c\uff0b\u221e\uff09\u5185\u65e0\u754c
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u5224\u5b9a\u51fd\u6570\u662f\u5426\u6709\u754c\u7684\u65b9\u6cd5\uff1a
\u8bbe\u51fd\u6570f(x)\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u4e3aD\uff0cf(x)\u5728\u96c6\u5408D\u4e0a\u6709\u5b9a\u4e49\u3002
\u5982\u679c\u5b58\u5728\u6570K1\uff0c\u4f7f\u5f97 f(x)\u2264K1\u5bf9\u4efb\u610fx\u2208D\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u5219\u79f0\u51fd\u6570f(x)\u5728D\u4e0a\u6709\u4e0a\u754c\u3002
\u53cd\u4e4b\uff0c\u5982\u679c\u5b58\u5728\u6570\u5b57K2\uff0c\u4f7f\u5f97 f(x)\u2265K2\u5bf9\u4efb\u610fx\u2208D\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u5219\u79f0\u51fd\u6570f(x)\u5728D\u4e0a\u6709\u4e0b\u754c\uff0c\u800cK2\u79f0\u4e3a\u51fd\u6570f(x)\u5728D\u4e0a\u7684\u4e00\u4e2a\u4e0b\u754c\u3002
\u5982\u679c\u5b58\u5728\u6b63\u6570M\uff0c\u4f7f\u5f97 |f(x)|\u2264M \u5bf9\u4efb\u610fx\u2208D\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u5219\u79f0\u51fd\u6570\u5728D\u4e0a\u6709\u754c\u3002\u5982\u679c\u8fd9\u6837\u7684M\u4e0d\u5b58\u5728\uff0c\u5c31\u79f0\u51fd\u6570f(x)\u5728D\u4e0a\u65e0\u754c\uff1b\u7b49\u4ef7\u4e8e\uff0c\u65e0\u8bba\u5bf9\u4e8e\u4efb\u4f55\u6b63\u6570M\uff0c\u603b\u5b58\u5728x1\u5c5e\u4e8eX\uff0c\u4f7f\u5f97|f(x1)|>M\uff0c\u90a3\u4e48\u51fd\u6570f(x)\u5728X\u4e0a\u65e0\u754c\u3002
\u6b64\u5916\uff0c\u51fd\u6570f(x)\u5728X\u4e0a\u6709\u754c\u7684\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u662f\u5b83\u5728X\u4e0a\u65e2\u6709\u4e0a\u754c\u4e5f\u6709\u4e0b\u754c\u3002
\u4e3e\u4f8b\uff1a
\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u5728\u95ed\u533a\u95f4\u5177\u6709\u6709\u754c\u6027\u3002
\u4f8b\u5982\uff1ay=x+6\u5728[1\uff0c2]\u4e0a\u6709\u6700\u5c0f\u503c7\uff0c\u6700\u5927\u503c8\uff0c\u6240\u4ee5\u8bf4\u5b83\u7684\u51fd\u6570\u503c\u57287\u548c8\u4e4b\u95f4\u53d8\u5316\uff0c\u662f\u6709\u754c\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u5177\u6709\u6709\u754c\u6027\u3002
\u4f46\u6b63\u5207\u51fd\u6570\u5728\u6709\u610f\u4e49\u533a\u95f4\uff0c\u6bd4\u5982(-\u03c0/2\uff0c\u03c0/2)\u5185\u5219\u65e0\u754c\u3002
x\u2192\uff0b\u221e\u65f6\uff0cf(x)\u662f\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5b9a\u4e49\u662f\uff1a\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u5927\u7684\u6b63\u6570M\uff0c\u5b58\u5728\u6b63\u6570X\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684x\uff1eX\uff0c\u6052\u6709|f(x)|\uff1eM\u3002
\u5206\u6790\uff1ax\u5f88\u5927\u65f6\uff0c\u59cb\u7ec8\u5b58\u5728\u4f7f\u5f97cosx=0\u7684x\uff0c\u6240\u4ee5|f(x)|\uff1eM\u4e0d\u53ef\u80fd\u6052\u6210\u7acb\u3002
\u628a\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5b9a\u4e49\u5426\u5b9a\uff0c\u5f97\u5230\u201c\u4e0d\u662f\u65e0\u7a77\u5927\u201d\u7684\u5b9a\u4e49\uff1a\u5b58\u5728\u6b63\u6570M\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684\u6b63\u6570X\uff0c\u5b58\u5728x\uff1eX\uff0c\u4f46\u662f|f(x)|\u2264M\u3002
\u8fc7\u7a0b\uff1a
\u5bf9\u4e8e\u6b63\u6570M=1\uff0c\u4e0d\u7ba1\u6b63\u6570X\u591a\u5927\uff0c\u5b58\u5728\u6b63\u6574\u6570n\uff0c\u4f7f\u5f97n\u03c0+\u03c0/2\uff1eX\uff0c\u4f46|f(n\u03c0+\u03c0/2)|=0\uff1c1\u3002\u6240\u4ee5f(x)=xcosx\u4e0d\u662fx\u2192\uff0b\u221e\u65f6\u7684\u65e0\u7a77\u5927\u3002
\uff0d\uff0d\uff0d\uff0d\uff0d\uff0d\uff0d\uff0d
\u4e00\u822c\u5bf9\u4e8e\u65e0\u754c\u3001\u65e0\u7a77\u5927\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u51fd\u6570\u6781\u9650\u4e0e\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u5173\u7cfb\u6765\u8bf4\u660e\uff1a\u5982\u679c\u5b58\u5728\u6570\u5217Xn\uff0c\u4f7f\u5f97f(Xn)\u662f\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u5219f(x)\u65e0\u754c\u3002\u5982\u679c\u5b58\u5728\u6570\u5217yn\uff0c\u4f7f\u5f97f(yn)\u7684\u6781\u9650\u6709\u9650\uff0c\u5219f(x)\u4e0d\u662f\u65e0\u7a77\u5927\u3002
LZ的问题其实很好解决,反证法。
假设x-->∞时y有界|y|<=N,那么对于任意小的数ε,存在数n,当x>n时,||y|-N|<ε。
取ε小于2π。
若x0是这样的一个数,有x0>n,且||y(x0)|-N|<ε。取x=x0+2π,由三角函数周期性知,cos(x)=cos(x0),因此|y(x)|=|y(x0)|+2π,|y(x)|-N=|y(x0)|+2π-N,取合适的x0使y(x0)为正数,则知||y(x))-N|-->2π>ε,由此知假设错误。y无界。
这个函数是无界的,但是并不是当X趋近于正无穷时无穷大,因为当X=PI/2+K*PI的时候cosx=0,因此y=0,不是无穷大
y=y*cosx 无界 因为-1<=cosx<=1 是有界函数 x是无界函数 无界函数与有界函数的乘积还是无界函数
后面这个问题 我猜是 不过不太确定 不好意思。。。。
需要说明一楼是正确的,错误的是四楼,对于你的举例函数xy=1,称之为有界是错误的,一个有界函数的充分必要条件是既有上界又有下界,而xy=1并不具备,不是有界函数
无界
也不能理解为当x→+∞时,y→+∞,对y进行一次求导即可很简单地看出
绛旓細鍙栁靛皬浜2蟺銆傝嫢x0鏄繖鏍风殑涓涓暟锛屾湁x0>n锛屼笖||y(x0)|-N|<蔚銆傚彇x=x0+2蟺锛岀敱涓夎鍑芥暟鍛ㄦ湡鎬х煡锛宑os(x)=cos(x0)锛屽洜姝y(x)|=|y(x0)|+2蟺锛寍y(x)|-N=|y(x0)|+2蟺-N锛屽彇鍚堥傜殑x0浣縴(x0)涓烘鏁帮紝鍒欑煡||y(x))-N|-->2蟺>蔚锛岀敱姝ょ煡鍋囪閿欒銆倅鏃犵晫銆
绛旓細鍑芥暟y=x*cosx鍦(-鈭,+鈭)鍐呮棤鐣.鐢变互涓嬩簨瀹炲嵆鐭:鍙杧=2k蟺,k涓烘暣鏁,鍒檡=2k蟺*cos2k蟺=2k蟺.x鈫+鈭炴椂,y=x*cosx涓嶆槸鏃犵┓澶.鐢变互涓嬩簨瀹炲嵆鐭:鍙杧=2k蟺+蟺/2,k涓烘暣鏁,鍒檡=(2k蟺+蟺/2)*cos(2k蟺+蟺/2)=0.闄勫甫璇翠竴涓:"鏈夌晫鍑芥暟涓庢棤绌峰皬鐨勪箻绉槸鏃犵┓灏"鏄鐨,浣"鏈夌晫鍑芥暟涓庢棤...
绛旓細xk锛2k蟺鈫+鈭 锛坘鈭圢.k鈫+鈭烇級,y锛漻k鈫+鈭.璇存槑锛歺鈫+鈭炴椂锛y=x*cosx 娌℃湁鏋侀檺锛屼篃涓嶆槸+鈭炪傚悓鐞嗭紝x鈫-鈭炴椂锛寉=x*cosx 娌℃湁鏋侀檺锛屼篃涓嶆槸-鈭炪
绛旓細y锛漻cosx鍦紙锛嶁垶锛锛嬧垶锛夊浠绘剰鐨凪>0锛屽彇x=2k鈭忥紝鍏朵腑k涓烘暣鏁帮紝k>[M/2鈭廬+1 姝ゆ椂f(x)>M锛屾晠f(x锛夊湪(-鈭,+鈭) 涓婃棤鐣 瀹氫箟娉曪細瀵筃>0锛屽浜庝换鎰忕殑X锛屽彇x=(k+1/2)鈭忥紝鍏朵腑k涓烘暣鏁帮紝k>[X/鈭廬+1 鍒檉(x)=00锛屽浜庝换鎰忕殑X锛岄兘瀛樺湪x>X锛屼娇寰梖(x)鈭磞锛漻cosx鍦紙锛嶁垶锛...
绛旓細= x(n) cos(x(n)) = 2n蟺 ->+鈭 鏁 x cosx 鍦(-鈭,+鈭)涓婃棤鐣屻倄鈫掞紜鈭瀕imy鈥=-xsinx+cosx 鈭圧 鍥捐薄涓哄湪y=x涓巠=-x闂翠互2蟺涓哄懆鏈熸潵鍥炴尟鑽★紝鍗-鈻弜鈻忊墻y鈮︹枏x鈻忥紝鍥犱负y=x涓巠=-x鍚戞璐熸柟鍚戠殑鏋侀檺閮戒笉鏀舵暃锛屾墍浠y=xcosx鍦紙锛嶁垶锛锛嬧垶锛夊唴鏃犵晫銆傛棦鏃犱笂鐣屼篃鏃犱笅鐣屻
绛旓細杩欎釜鍑芥暟鏄棤鐣岀殑銆傚綋X鈫+鏃犵┓锛屽嚱鏁鏃犵┓澶э紝鍥犱负cosx鏄湁鐣岋紝浣哫鏃犵晫锛屾墍浠ュ畠浠殑涔樼Н涔熸槸鏃犵┓銆
绛旓細鍥犱负x=2k蟺鏃秠=2k蟺锛屼娇cosx0=1锛屼粠鑰寉=x0cosx0=x0锛濵锛屾墍浠y=xcosx鍦(-鈭烇紝+鈭)鍐呮棤鐣屻傚張鍥犱负X鈫+鈭烇紝X锛0锛屾绘湁x0鈭(X锛+鈭)锛屼娇cosx0=0锛屼粠鑰寉=x0cosx0=0锛淢锛屾墍浠=xcosx涓嶆槸褰搙鈫+鈭炴椂鐨勬棤绌峰ぇ銆傚彜甯岃厞鍝插瀹朵簹閲屽+澶氬痉锛圓ristotle,鍏厓鍓384-322锛夎涓猴紝鏃犵┓澶у彲鑳芥槸...
绛旓細鏃犵晫锛屼篃闈炴棤绌峰ぇ銆倄=2k蟺涓攌鈫掆垶鏃讹紝y鈫鈭烇紝鎵浠ユ棤鐣岋紱x=2k蟺+(蟺/2)涓攌鈫掆垶鏃讹紝y锛0锛屼笉鏄棤绌峰ぇ銆鍑芥暟鐨勮繎浠e畾涔夋槸缁欏畾涓涓暟闆咥锛屽亣璁惧叾涓殑鍏冪礌涓簒锛屽A涓殑鍏冪礌x鏂藉姞瀵瑰簲娉曞垯f锛岃浣渇锛坸锛夛紝寰楀埌鍙︿竴鏁伴泦B锛屽亣璁綛涓殑鍏冪礌涓簓锛屽垯y涓巟涔嬮棿鐨勭瓑閲忓叧绯诲彲浠ョ敤y=f锛坸锛夎〃绀恒傚嚱鏁...
绛旓細鍦(-鈭,+鈭)鏃犵晫锛屽洜涓哄綋x=2k蟺鏃讹紙k涓烘暣鏁)锛y=2k蟺, 褰搆->鈭炴椂锛寉->鈭, 鎵浠ユ棤鐣屻傚綋x->+鈭炴椂锛鍑芥暟涔熶笉鏄棤绌峰ぇ锛屾瘮濡傚綋x=2k蟺+蟺/2鏃讹紙k涓烘暣鏁)锛寉=0
绛旓細鍙杧(k)=2k蟺,(k=1,2,3,...)鐨勭洰鐨勬槸涓轰簡璇存槑y=xcosx鍦(-鈭,+鈭)鍐呬笉鏄湁鐣岀殑銆傦紙鍥犱负杩欐牱灏卞凡缁忔壘鍒颁簡涓涓獂->+鈭炵殑鏂瑰紡锛屽湪杩欎釜鏂瑰紡涓媦=xcosx涓嶆槸鏈夌晫鐨勶紝鍙互璇存槑x鈭圧->+鈭炰竴瀹氫笉鏄湁鐣岀殑銆備絾鏄紝鍦ㄦ壘鍒扮殑杩欎竴涓獂->+鈭炵殑鏂瑰紡涓媦=xcosx->+鈭炰笉鑳借鏄庤鍑芥暟鍦x鈭圧->+鈭炴椂涔...