函数y=x*cosx在（-∞，+∞）内是否有界，这个函数是否为x趋近于+∞时的无穷大?为什么？ 问题，函数y=xcosx在（-∞，+∞）内是否有界？这个函数...
\u9ad8\u6570:\u51fd\u6570y\uff1dxcosx\u5728\uff08\uff0d\u221e\uff0c\uff0b\u221e\uff09\u5185\u662f\u5426\u6709\u754c\uff1f\u7ed3\u679c\u4e3a\uff1a\u65e0\u754c
\u89e3\u9898\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
y\uff1dxcosx\u5728\uff08\uff0d\u221e\uff0c\uff0b\u221e\uff09
\u5bf9\u4efb\u610f\u7684M>0\uff0c\u53d6x=2k\u220f\uff0c
\u5176\u4e2dk\u4e3a\u6574\u6570\uff0ck>[M/2\u220f]+1
\u6b64\u65f6f(x)>M\uff0c\u6545f(x\uff09\u5728(-\u221e,+\u221e) \u4e0a\u65e0\u754c
\u5b9a\u4e49\u6cd5\uff1a
\u5bf9N>0\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684X\uff0c\u53d6x=(k+1/2)\u220f\uff0c
\u5176\u4e2dk\u4e3a\u6574\u6570\uff0ck>[X/\u220f]+1
\u5219f(x)=00\uff0c
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684X\uff0c\u90fd\u5b58\u5728x>X\uff0c\u4f7f\u5f97f(x)
\u2234y\uff1dxcosx\u5728\uff08\uff0d\u221e\uff0c\uff0b\u221e\uff09\u5185\u65e0\u754c
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u5224\u5b9a\u51fd\u6570\u662f\u5426\u6709\u754c\u7684\u65b9\u6cd5\uff1a
\u8bbe\u51fd\u6570f(x)\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u4e3aD\uff0cf(x)\u5728\u96c6\u5408D\u4e0a\u6709\u5b9a\u4e49\u3002
\u5982\u679c\u5b58\u5728\u6570K1\uff0c\u4f7f\u5f97 f(x)\u2264K1\u5bf9\u4efb\u610fx\u2208D\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u5219\u79f0\u51fd\u6570f(x)\u5728D\u4e0a\u6709\u4e0a\u754c\u3002
\u53cd\u4e4b\uff0c\u5982\u679c\u5b58\u5728\u6570\u5b57K2\uff0c\u4f7f\u5f97 f(x)\u2265K2\u5bf9\u4efb\u610fx\u2208D\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u5219\u79f0\u51fd\u6570f(x)\u5728D\u4e0a\u6709\u4e0b\u754c\uff0c\u800cK2\u79f0\u4e3a\u51fd\u6570f(x)\u5728D\u4e0a\u7684\u4e00\u4e2a\u4e0b\u754c\u3002
\u5982\u679c\u5b58\u5728\u6b63\u6570M\uff0c\u4f7f\u5f97 |f(x)|\u2264M \u5bf9\u4efb\u610fx\u2208D\u90fd\u6210\u7acb\uff0c\u5219\u79f0\u51fd\u6570\u5728D\u4e0a\u6709\u754c\u3002\u5982\u679c\u8fd9\u6837\u7684M\u4e0d\u5b58\u5728\uff0c\u5c31\u79f0\u51fd\u6570f(x)\u5728D\u4e0a\u65e0\u754c\uff1b\u7b49\u4ef7\u4e8e\uff0c\u65e0\u8bba\u5bf9\u4e8e\u4efb\u4f55\u6b63\u6570M\uff0c\u603b\u5b58\u5728x1\u5c5e\u4e8eX\uff0c\u4f7f\u5f97|f(x1)|>M\uff0c\u90a3\u4e48\u51fd\u6570f(x)\u5728X\u4e0a\u65e0\u754c\u3002
\u6b64\u5916\uff0c\u51fd\u6570f(x)\u5728X\u4e0a\u6709\u754c\u7684\u5145\u5206\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u662f\u5b83\u5728X\u4e0a\u65e2\u6709\u4e0a\u754c\u4e5f\u6709\u4e0b\u754c\u3002
\u4e3e\u4f8b\uff1a
\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u5728\u95ed\u533a\u95f4\u5177\u6709\u6709\u754c\u6027\u3002
\u4f8b\u5982\uff1ay=x+6\u5728[1\uff0c2]\u4e0a\u6709\u6700\u5c0f\u503c7\uff0c\u6700\u5927\u503c8\uff0c\u6240\u4ee5\u8bf4\u5b83\u7684\u51fd\u6570\u503c\u57287\u548c8\u4e4b\u95f4\u53d8\u5316\uff0c\u662f\u6709\u754c\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u5177\u6709\u6709\u754c\u6027\u3002
\u4f46\u6b63\u5207\u51fd\u6570\u5728\u6709\u610f\u4e49\u533a\u95f4\uff0c\u6bd4\u5982(-\u03c0/2\uff0c\u03c0/2)\u5185\u5219\u65e0\u754c\u3002
x\u2192\uff0b\u221e\u65f6\uff0cf(x)\u662f\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5b9a\u4e49\u662f\uff1a\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u5927\u7684\u6b63\u6570M\uff0c\u5b58\u5728\u6b63\u6570X\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684x\uff1eX\uff0c\u6052\u6709|f(x)|\uff1eM\u3002
\u5206\u6790\uff1ax\u5f88\u5927\u65f6\uff0c\u59cb\u7ec8\u5b58\u5728\u4f7f\u5f97cosx=0\u7684x\uff0c\u6240\u4ee5|f(x)|\uff1eM\u4e0d\u53ef\u80fd\u6052\u6210\u7acb\u3002
\u628a\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5b9a\u4e49\u5426\u5b9a\uff0c\u5f97\u5230\u201c\u4e0d\u662f\u65e0\u7a77\u5927\u201d\u7684\u5b9a\u4e49\uff1a\u5b58\u5728\u6b63\u6570M\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7684\u6b63\u6570X\uff0c\u5b58\u5728x\uff1eX\uff0c\u4f46\u662f|f(x)|\u2264M\u3002
\u8fc7\u7a0b\uff1a
\u5bf9\u4e8e\u6b63\u6570M=1\uff0c\u4e0d\u7ba1\u6b63\u6570X\u591a\u5927\uff0c\u5b58\u5728\u6b63\u6574\u6570n\uff0c\u4f7f\u5f97n\u03c0+\u03c0/2\uff1eX\uff0c\u4f46|f(n\u03c0+\u03c0/2)|=0\uff1c1\u3002\u6240\u4ee5f(x)=xcosx\u4e0d\u662fx\u2192\uff0b\u221e\u65f6\u7684\u65e0\u7a77\u5927\u3002
\uff0d\uff0d\uff0d\uff0d\uff0d\uff0d\uff0d\uff0d
\u4e00\u822c\u5bf9\u4e8e\u65e0\u754c\u3001\u65e0\u7a77\u5927\u53ef\u4ee5\u4f7f\u7528\u51fd\u6570\u6781\u9650\u4e0e\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u5173\u7cfb\u6765\u8bf4\u660e\uff1a\u5982\u679c\u5b58\u5728\u6570\u5217Xn\uff0c\u4f7f\u5f97f(Xn)\u662f\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u5219f(x)\u65e0\u754c\u3002\u5982\u679c\u5b58\u5728\u6570\u5217yn\uff0c\u4f7f\u5f97f(yn)\u7684\u6781\u9650\u6709\u9650\uff0c\u5219f(x)\u4e0d\u662f\u65e0\u7a77\u5927\u3002
LZ的问题其实很好解决，反证法。
假设x-->∞时y有界|y|<=N，那么对于任意小的数ε，存在数n，当x>n时，||y|-N|<ε。
取ε小于2π。
若x0是这样的一个数，有x0>n，且||y(x0)|-N|<ε。取x=x0+2π，由三角函数周期性知，cos(x)=cos(x0)，因此|y(x)|=|y(x0)|+2π，|y(x)|-N=|y(x0)|+2π-N，取合适的x0使y(x0)为正数，则知||y(x))-N|-->2π>ε，由此知假设错误。y无界。
这个函数是无界的，但是并不是当X趋近于正无穷时无穷大，因为当X=PI/2+K*PI的时候cosx=0，因此y=0,不是无穷大
y=y*cosx 无界 因为-1<=cosx<=1 是有界函数 x是无界函数 无界函数与有界函数的乘积还是无界函数
后面这个问题 我猜是 不过不太确定 不好意思。。。。
需要说明一楼是正确的，错误的是四楼，对于你的举例函数xy=1，称之为有界是错误的，一个有界函数的充分必要条件是既有上界又有下界，而xy=1并不具备，不是有界函数
无界
也不能理解为当x→+∞时，y→+∞，对y进行一次求导即可很简单地看出
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绛旓細鍙杧(k)=2k蟺,(k=1,2,3,...)鐨勭洰鐨勬槸涓轰簡璇存槑y=xcosx鍦(-鈭,+鈭)鍐呬笉鏄湁鐣岀殑銆傦紙鍥犱负杩欐牱灏卞凡缁忔壘鍒颁簡涓涓獂->+鈭炵殑鏂瑰紡锛屽湪杩欎釜鏂瑰紡涓媦=xcosx涓嶆槸鏈夌晫鐨勶紝鍙互璇存槑x鈭圧->+鈭炰竴瀹氫笉鏄湁鐣岀殑銆備絾鏄紝鍦ㄦ壘鍒扮殑杩欎竴涓獂->+鈭炵殑鏂瑰紡涓媦=xcosx->+鈭炰笉鑳借鏄庤鍑芥暟鍦x鈭圧->+鈭炴椂涔...
