数学题：已知函数 f(x)=sinx^2+2sinxcosx+3cosx^2

\u5df2\u77e5\u51fd\u6570 y=sinx^2+2sinxcosx+3cosx^2

y=sinx^2+2sinxcosx+3cosx^2
=(sinx^2+cosx^2)+2sinxcosx+2cosx^2
=1+2sinxcosx+2cosx^2
=2sinxcosx+(2cosx^2-1)+2
=sin2x+cos2x+2
=\u221a2sin(2x+\u03c0/4)+2
(1)\u51fd\u6570\u7684\u6700\u5c0f\u6b63\u5468\u671f2\u03c0/2=\u03c0
(2)\u51fd\u6570\u5728\u533a\u95f4[-5\u03c0/8+k\u03c0,-\u03c0/8+k\u03c0](k\u2208Z)\u4e0a\u662f\u589e\u51fd\u6570
(3)\u53ef\u7531Y=sinX\u7684\u56fe\u8c61\u5411\u53f3\u5e73\u79fb\u03c0/8,\u518d\u6a2a\u5411\u538b\u7f291/2,\u518d\u7eb5\u5411\u62c9\u957f
\u221a2\u500d,\u518d\u5411\u4e0a\u5e73\u79fb2\u7684\u53d8\u6362\u5f97\u51fa

f(x)=(1-cos2x)/2+sin2x-3(cos2x+1)/2
=sin2x-2cos2x-1
=\u221a5sin\uff082x+\u03c6\uff09-1
\u6240\u4ee5\u5468\u671f\u662f\u03c0\u6700\u5927\u503c\u662f\u221a5-1

解：当 f(x)=(1-cos2x0/2+sin2x+3(1+cos2x)/2=1+sin2x+cos2x=2+sqr2sin(2x+pai/4)
当2x+pai/4=2kpai+pai/2,即x=kpai+pai/8 时, f(x) 取得最大值2+sqr2 .
函数f(x) 的取得最大值的自变量x 的集合为 {x=kpai+pai/8 k∈Z}

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