第八题二重积分设f(x,y)为连续函数,且F(t)=∬f(x,y)d∂， 在学高等数学之前，要学习多少种函数
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u51fd\u6570\u5982\u4f55\u5b66\u4e60\u51fd\u6570\u8003\u5bdf\u7684\u9898\u76ee\u6709\u4ee5\u4e0b\u51e0\u70b9\uff1a
1\u3001\u5b9a\u4e49\u57df
2\u3001\u503c\u57df
3\u3001\u6700\u503c(\u6700\u5927\u6700\u5c0f)
4\u3001\u56fe\u8c61\u5bf9\u79f0
5\u3001\u4ea4\u70b9
6\u3001\u5e73\u79fb
\u800c\u6700\u96be\u7684\u5c5e\u4e8e\u540e\u97623\u4e2a\uff0c\u56e0\u6b64\u5b66\u4e60\u9ad8\u4e2d\u51fd\u6570\u4e00\u5b9a\u8981\u638c\u63e1\u6570\u5b66\u7684\u91cd\u8981\u601d\u60f3\uff0c\u90a3\u5c31\u662f\u6570\u5f62\u7ed3\u5408\uff0c\u51e0\u4e2a\u5178\u578b\u7684\u51fd\u6570\u7684\u56fe\u8c61\u4e00\u5b9a\u8981\u7262\u7262\u638c\u63e1\uff0c\u5bf9\u4e8e\u5feb\u901f\u800c\u51c6\u786e\u7684\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\u6709\u975e\u5e38\u5927\u7684\u5e2e\u52a9\uff0c\u9047\u5230\u4ec0\u4e48\u96be\u9898\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u5171\u540c\u63a2\u8ba8\u4e00\u4e0b\u3002
\u6b63\u6bd4\u4f8b\u51fd\u6570\uff0c\u4e00\u6b21\u51fd\u6570\uff0c\u53cd\u6bd4\u4f8b\u51fd\u6570\uff0c\u4e8c\u6b21\u51fd\u6570\uff0c\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\uff0c\u8fd9\u662f\u8bfb\u9ad8\u4e2d\u524d\u6240\u5b66\u7684\u6240\u6709\u51fd\u6570\u3002
解析由f（x，y）的连续性可得f（x，y）在积分区域x2+y2≤a2上的可积性；设
∬
x2+y2≤a2
f(x，y)dxdy＝A，利用已知等式可得A=
∬
x2+y2≤a2
(Ax+y2)dxdy；计算二重积分可得A的值，进而得到f（x，y）的表达式．
解答
因为f（x，y）连续，从而f（x，y）在积分区域x2+y2≤a2上可积，故可设
∬
x2+y2≤a2
f(x，y)dxdy＝A，
于是f（x，y）=xA+y2，
从而两边在区域x2+y2≤a2上积分可得如下等式：
A=
∬
x2+y2≤a2
(Ax+y2)dxdy
=A
∬
x2+y2≤a2
xdxdy+
∬
x2+y2≤a2
y2dxdy．
利用积分区域的对称性可得，
∬
x2+y2≤a2
xdxdy=0．
利用极坐标系计算可得，
∬
x2+y2≤a2
y2dxdy=
∫
2π
0
dθ
∫
a
0
r2sin2θ•rdr
=4
∫
π
2
0
sin2θdθ
∫
a
0
r3dr
=4•
1
2
•
π
2
•
a4
4
=
πa4
4
．
因此，f(x，y)＝
π
4
xa4+y2．
故答案为：
π
4
a4x+y2．
左边=∫[a→b]
f(x)dx∫[a→b]
1/f(x)dx
定积分可随便换积分变量
=∫[a→b]
f(x)dx∫[a→b]
1/f(y)dy
=∫∫(d)
f(x)/f(y)
dxdy
其中：d为a≤x≤b,a≤y≤b
该积分区域为正方形区域,关于y=x对称,则满足轮换对称性,即：∫∫
f(x)/f(y)dxdy=∫∫
f(y)/f(x)dxdy
=(1/2)∫∫(d)
[f(x)/f(y)
+
f(y)/f(x)]
dxdy
由平均值不等式
≥∫∫(d)
1
dxdy
被积函数为1,积分结果是区域面积
=(b-a)²
=右边
分享一种解法。设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴D={(ρ,θ)丨0≤ρ≤t，0≤θ≤2π}。
∴F(t)=∫(0,2π)dθ∫(0,t)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ。
两边对t求导，F'(t)=∫(0,2π)tf(tcosθ,tsinθ)dθ。
供参考。
绛旓細宸﹁竟=鈭玔a鈫抌] f(x)dx鈭玔a鈫抌] 1/f(x)dx 瀹绉垎鍙殢渚挎崲绉垎鍙橀噺 =鈭玔a鈫抌] f(x)dx鈭玔a鈫抌] 1/f(y)dy =鈭埆(D) f(x)/f(y) dxdy 鍏朵腑锛欴涓篴鈮鈮,a鈮鈮 璇ョН鍒嗗尯鍩熶负姝ｆ柟褰㈠尯鍩,鍏充簬y=x瀵圭О,鍒欐弧瓒宠疆鎹㈠绉版,鍗筹細鈭埆 f(x)/f(y)dxdy=鈭埆 f(y)/f(x)...
绛旓細瑙:璁緁(x,y)=x(sinye^(x^2+cosy)-1)鍙圖鍖哄煙鏄紝x=siny,x=-1,y=pai/2 鏄剧劧f(x,y)=-f(-x,y)鍏充簬x鏄鍑芥暟 鏁呮墍姹傜殑缁撴灉涓0
绛旓細杩欑棰樻垜杩樹笉澶細锛屾垜鏄姳鐫瀛︿範鐨勬佸害鏉ョ殑锛岃繖棰樺簲璇ユ槸閫夋嫨棰樺惂锛屼綘鍙互鎸変笅闈㈢殑鏂规硶鍘绘楠屽緱鍑虹瓟妗堬紝鑲畾鑳藉緱鍒版纭殑绛旀鐨勶紝灏辨槸璁緁(x,y)=1锛屾楠屼竴涓嬪氨鐭ラ亾浜嗐傝嚦浜庢垜缁欑殑绛旀锛屾垜涔熸病鏈夊灏戜俊蹇冿紝鍥犱负澶ч鎴戞槸涓嶅お浼氳В鐨勶紝鍙煡閬撴庝箞瀵逛粯灏忛銆
绛旓細銆愭!!!銆戞眰鏁欎竴閬浜岄噸绉垎棰璁緁(x,y)鍦ㄥ師鐐规煇閭诲煙D杩炵画,鍖哄煙D:x^2+y^2<=t^2鍦ㄦ煇閭诲煙鍐,鍒檒im<t鈫0>鈭埆f(x,y)dxdy=?... 銆愭!!!銆戞眰鏁欎竴閬撲簩閲嶇Н鍒嗛 璁緁(x,y)鍦ㄥ師鐐规煇閭诲煙D杩炵画,鍖哄煙D:x^2+y^2<=t^2鍦ㄦ煇閭诲煙鍐,鍒檒im<t鈫0>鈭埆f(x,y)dxdy=? 灞曞紑 1...
绛旓細xy+1/8銆傝В棰樻楠ゅ涓嬶細1銆璁緁(x锛寉)=xy+c 2銆乧=鈭埆(D)f(u,v)dudv =1/12 c =1/8 3銆佹墍浠ワ紝f(x,y)绛変簬xy+1/8锛涘墠涓4102椤1653闄や互x灏辩瓑浜巉 ab澶勭殑鍋忓唴瀵兼暟锛屽悗涓ら」涔熸槸锛屾墍浠ョ瓟瀹规灏辨槸浜屽嶇殑fx(a. b)銆
绛旓細浠庡洓涓夐」鐪嬶紝浜岄噸绉垎鏄釜甯告暟锛涘洜姝璁緁(x锛寉)=xy+a锛涘垯锛氭晠搴旈塁.
绛旓細浜岄噸绉垎鐨勫畾涔 璁緕=f(x,y)涓鏈夌晫闂尯鍩(蟽)涓婄殑鏈夌晫鍑芥暟锛(1)鎶婂尯鍩(蟽)浠绘剰鍒掑垎鎴恘涓瓙鍩(鈻诚僰)(k=1,2,3,鈥,n锛,鍏堕潰绉浣溾柍蟽k(k=1,2,3,鈥,n锛夛紱(2)鍦ㄦ瘡涓涓瓙鍩(鈻诚僰)涓婁换鍙栦竴鐐癸紝浣滀箻绉紱(3)鎶婃墍鏈夎繖浜涗箻绉浉鍔,鍗充綔鍑哄拰鏁 (4)璁板瓙鍩熺殑鏈澶х洿寰刣.濡傛灉涓嶈瀛愬煙...
绛旓細璁緁 (x, y)杩炵画锛屼笖f(x,y)=xy+**(琛ㄧず琚Н鍑芥暟鏄f, 绉垎鍖哄煙鏄疍銆傚洜涓虹Н鍒嗙鍙锋病娉曟墦鍑烘潵锛屽氨鐢ㄦ枃瀛楀彊杩颁簡锛夛紝鍏朵腑D鏄敱y = 0, y = x2, x = 1鎵鍥村尯鍩燂紝鍒檉 (x, y)绛変簬锛堬級銆
