二次函数解题方法总结
二次函数是初中重要的数学知识点,本文就来分享一篇二次函数解题方法总结,希望对大家能有所帮助!1.求证“两线段相等”的问题:
2.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题:
由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t),借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y轴的线段长度计算公式,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。
3.求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题:
先用点斜式(或称K点法)求出过已知点,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可。
4.“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题:
(方法1)先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率(k)相等),再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y消掉,得到一个关于x的的一元二次方程,由题有△=-4ac=0(因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x、y的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离。
(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离。
(方法3)先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。
5.常数问题:
(1)点到直线的距离中的常数问题:
“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题:
先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
(2)三角形面积中的常数问题:
“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题:
先求出定线段的长度,再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了。
6.“在定直线(常为抛物线的对称轴,或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题:
先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。
7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题:
“在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题(简称“一边固定两边动的问题):
由于有两个定点,所以该三角形有一定边(其长度可利用两点间距离公式计算),只需另两边的和最小即可。
8.三角形面积的最大值问题:
①“抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题(简称“一边固定两边动的问题”):
(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度;然后再利用上面3的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式底·高1/2。即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点。
(方法2)过动点向y轴作平行线找到与定线段(或所在直线)的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,
进一步可得到,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。
②“三边均动的动三角形面积最大”的问题(简称“三边均动”的问题):
先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形,或者有一边平行于x轴或y轴的三角形,称为基本模型的三角形)面积之差,设出动点在x轴或y轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形)。利用相似三角形的性质(对应边的`比等于对应高的比)可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了。
9.“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”:
由于该四边形有三个定点,从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连结两个定点,即可得到一个定三角形)的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。
10、“定四边形面积的求解”问题:
有两种常见解决的方案:
方案(一):连接一条对角线,分成两个三角形面积之和;
方案(二):过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点,向x轴(或y轴)作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形(常为直角梯形)和一些三角形的面积之和(或差),或几个基本模型的三角形面积的和(差)
11.“两个三角形相似”的问题:
12.“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题:
首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。(若某边底,则只有一种情况;若某边为腰,有两种情况;若只说该三点构成等腰三角形,则有三种情况)。先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标(一母示),按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程。解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点(就是不能构成三角形这个题意)。
13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题:
这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标),任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线(显然最多有3条),此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可。
进一步有:
①若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否?若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在。
②若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否?若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在。
③若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在。
14.“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题:(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形。)
先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积),然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可。(注意去掉不合题意的点),如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可。
15.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题:
若夹直角的两边与y轴都不平行:先设出动点坐标(一母示),视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1),得到一个方程,解之即可。
若夹直角的两边中有一边与y轴平行,此时不能使用斜率公式。补救措施是:过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定。
16.“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。
①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式(如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程),利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否?若等,该交点合题,反之不合题,舍去。
②若动点为直角顶点:先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1?若为-1,则就说明所求交点合题;反之,舍去。
17.“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题:
题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。
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