求矩阵二重特征值和特征向量
特征多项式 = (λ-1)^2 (λ+1)。
二重特征值是指特征值是特征多项式的2重根。
如A的特征多项式为|λE-A |=（λ-2）(λ^2-8λ+18+3a）。
当λ=2是特征方程的二重根，则有2^2-8*2+18+3a=0，解得a=-2。
若λ=2不是特征方程的二重根,则(λ^2-8λ+18+3a）为完全平方，从18+3a=16而，解得 a。
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值或本征值。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
扩展资料：
特征值的基本应用：
1、求特征向量：
设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。
将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。
2、判断相似矩阵的必要条件：
设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：
（1）A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；
（2）A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|；
（3）A的迹等于B的迹——trA=trB，其中i=1,2,…n（即主对角线上元素的和）；
（4）A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|；
（5）A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。
因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。
3、判断矩阵可对角化的充要条件：
矩阵可对角化有两个充要条件：
1、矩阵有n个不同的特征向量；
2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。
若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P。
参考资料来源：百度百科-特征值
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