到底怎样判断一个函数的极限是否存在呢？ 如何判断一个函数的极限是否存在？
\u600e\u6837\u5224\u65ad \u51fd\u6570\u6781\u9650\u5b58\u4e0d\u5b58\u5728?\u6781\u9650\u662f\u5426\u5b58\u5728\uff0c\u4e3b\u8981\u770b\u51fd\u6570\u7684\u95f4\u65ad\u70b9\uff0c\u800c\u95f4\u65ad\u70b9\u5f80\u5f80\u90fd\u5728\u51fd\u6570\u5b9a\u4e49\u57df\u7684\u9650\u5236\u70b9\u6216\u8005\u51fd\u6570\u5f62\u5f0f\u7684\u53d8\u5316\u70b9\u3002
\u56e0\u4e3a\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u90fd\u6709\u6781\u9650\uff0c\u6240\u4ee5\uff0c\u5224\u65ad\u51fd\u6570\u662f\u5426\u8fde\u7eed\uff0c\u5c31\u9009\u62e9\u51fd\u6570\u7684\u5206\u6bb5\u8fde\u7eed\u7684\u7aef\u70b9\uff0c\u68c0\u9a8c\u5de6\u3001\u53f3\u6781\u9650\u662f\u5426\u76f8\u7b49\uff1b\u51e1\u662f\u5de6\u3001\u53f3\u6781\u9650\u76f8\u7b49\u7684\uff0c\u5c31\u8868\u793a\u51fd\u6570\u8fde\u7eed\uff1b\u800c\u5de6\u3001\u53f3\u6781\u9650\u4e0d\u76f8\u7b49\u51fd\u6570\uff0c\u80af\u5b9a\u4e0d\u8fde\u7eed\u3002
\u5e38\u7528\u7684\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u6027\u8d28\u6709\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u552f\u4e00\u6027\u3001\u5c40\u90e8\u6709\u754c\u6027\u3001\u4fdd\u5e8f\u6027\u4ee5\u53ca\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u8fd0\u7b97\u6cd5\u5219\u548c\u590d\u5408\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u7b49\u7b49\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6781\u9650\u7684\u6c42\u6cd5\u6709\u5f88\u591a\u79cd\uff1a
1\u3001\u8fde\u7eed\u521d\u7b49\u51fd\u6570\uff0c\u5728\u5b9a\u4e49\u57df\u8303\u56f4\u5185\u6c42\u6781\u9650\uff0c\u53ef\u4ee5\u5c06\u8be5\u70b9\u76f4\u63a5\u4ee3\u5165\u5f97\u6781\u9650\u503c\uff0c\u56e0\u4e3a\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u503c\u5c31\u7b49\u4e8e\u5728\u8be5\u70b9\u7684\u51fd\u6570\u503c\u3002
2\u3001\u5229\u7528\u6052\u7b49\u53d8\u5f62\u6d88\u53bb\u96f6\u56e0\u5b50\uff08\u9488\u5bf9\u4e8e0/0\u578b\uff09\u3002
3\u3001\u5229\u7528\u65e0\u7a77\u5927\u4e0e\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u5173\u7cfb\u6c42\u6781\u9650\u3002
4\u3001\u5229\u7528\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6027\u8d28\u6c42\u6781\u9650\u3002
5\u3001\u5229\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u6362\u6c42\u6781\u9650\uff0c\u53ef\u4ee5\u5c06\u539f\u5f0f\u5316\u7b80\u8ba1\u7b97\u3002
6\u3001\u5229\u7528\u4e24\u4e2a\u6781\u9650\u5b58\u5728\u51c6\u5219\uff0c\u6c42\u6781\u9650\uff0c\u6709\u7684\u9898\u76ee\u4e5f\u53ef\u4ee5\u8003\u8651\u7528\u653e\u5927\u7f29\u5c0f\uff0c\u518d\u7528\u5939\u903c\u5b9a\u7406\u7684\u65b9\u6cd5\u6c42\u6781\u9650\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u51fd\u6570\u6781\u9650
\u8bbef:(a,+\u221e)\u2192R\u662f\u4e00\u4e2a\u4e00\u5143\u5b9e\u503c\u51fd\u6570\uff0ca\u2208R.\u5982\u679c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7ed9\u5b9a\u7684\u03b5\uff1e0\uff0c\u5b58\u5728\u6b63\u6570X\uff0c\u4f7f\u5f97\u5bf9\u4e8e\u9002\u5408\u4e0d\u7b49\u5f0fx\uff1eX\u7684\u4e00\u5207x\uff0c\u6240\u5bf9\u5e94\u7684\u51fd\u6570\u503cf(x)\u90fd\u6ee1\u8db3\u4e0d\u7b49\u5f0f.
\u2502f(x)-A\u2502<\u03b5 ,
\u5219\u79f0\u6570A\u4e3a\u51fd\u6570f(x)\u5f53x\u2192+\u221e\u65f6\u7684\u6781\u9650\uff0c\u8bb0\u4f5c
f(x)\u2192A(x\u2192+\u221e).
\u6709\u4e9b\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u5f88\u96be\u6216\u96be\u4ee5\u76f4\u63a5\u8fd0\u7528\u6781\u9650\u8fd0\u7b97\u6cd5\u5219\u6c42\u5f97\uff0c\u9700\u8981\u5148\u5224\u5b9a\u3002\u4e0b\u9762\u4ecb\u7ecd\u51e0\u4e2a\u5e38\u7528\u7684\u5224\u5b9a\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u5b9a\u7406\u3002
\u4e24\u8fb9\u5939\u5b9a\u7406\uff1a\uff081\uff09\u5f53x\u2208U(Xo,r)(\u8fd9\u662fXo\u7684\u53bb\u5fc3\u90bb\u57df\uff0c\u6709\u4e2a\u7b26\u53f7\u6253\u4e0d\u51fa\uff09\u65f6\uff0c\u6709g\uff08x)\u2264f(x)\u2264h(x)\u6210\u7acb
\uff082\uff09g(x)\u2014>Xo=A,h(x)\u2014>Xo=A,\u90a3\u4e48\uff0cf(x)\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u4e14\u7b49\u4e8eA
\u4e0d\u4f46\u80fd\u8bc1\u660e\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u8fd8\u53ef\u4ee5\u6c42\u6781\u9650\uff0c\u4e3b\u8981\u7528\u653e\u7f29\u6cd5\u3002
\u5355\u8c03\u6709\u754c\u51c6\u5219\uff1a\u5355\u8c03\u589e\u52a0\uff08\u51cf\u5c11\uff09\u6709\u4e0a\uff08\u4e0b)\u754c\u7684\u6570\u5217\u5fc5\u5b9a\u6536\u655b\u3002
\u5728\u8fd0\u7528\u5b83\u4eec\u53bb\u6c42\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u65f6\u5c24\u9700\u6ce8\u610f\u4ee5\u4e0b\u5173\u952e\u4e4b\u70b9\u3002\u4e00\u662f\u5148\u8981\u7528\u5355\u8c03\u6709\u754c\u5b9a\u7406\u8bc1\u660e\u6536\u655b\uff0c\u7136\u540e\u518d\u6c42\u6781\u9650\u503c\u3002\u4e8c\u662f\u5e94\u7528\u5939\u6324\u5b9a\u7406\u7684\u5173\u952e\u662f\u627e\u5230\u6781\u9650\u503c\u76f8\u540c\u7684\u51fd\u6570 \uff0c\u5e76\u4e14\u8981\u6ee1\u8db3\u6781\u9650\u662f\u8d8b\u4e8e\u540c\u4e00\u65b9\u5411 \uff0c\u4ece\u800c\u8bc1\u660e\u6216\u6c42\u5f97\u51fd\u6570 \u7684\u6781\u9650\u503c\u3002
\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u65b9\u6cd5
\u2460
\u5229\u7528\u51fd\u6570\u8fde\u7eed\u6027\uff1alim f(x) = f(a) x->a
\uff08\u5c31\u662f\u76f4\u63a5\u5c06\u8d8b\u5411\u503c\u5e26\u51fa\u51fd\u6570\u81ea\u53d8\u91cf\u4e2d\uff0c\u6b64\u65f6\u8981\u8981\u6c42\u5206\u6bcd\u4e0d\u80fd\u4e3a0\uff09
\u2461\u6052\u7b49\u53d8\u5f62
\u5f53\u5206\u6bcd\u7b49\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u5c31\u4e0d\u80fd\u5c06\u8d8b\u5411\u503c\u76f4\u63a5\u4ee3\u5165\u5206\u6bcd\uff0c\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u4e0b\u9762\u51e0\u4e2a\u5c0f\u65b9\u6cd5\u89e3\u51b3\uff1a
\u7b2c\u4e00\uff1a\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff0c\u901a\u8fc7\u7ea6\u5206\u4f7f\u5206\u6bcd\u4e0d\u4f1a\u4e3a\u96f6\u3002
\u7b2c\u4e8c\uff1a\u82e5\u5206\u6bcd\u51fa\u73b0\u6839\u53f7\uff0c\u53ef\u4ee5\u914d\u4e00\u4e2a\u56e0\u5b50\u662f\u6839\u53f7\u53bb\u9664\u3002
\u7b2c\u4e09\uff1a\u4ee5\u4e0a\u6211\u6240\u8bf4\u7684\u89e3\u6cd5\u90fd\u662f\u5728\u8d8b\u5411\u503c\u662f\u4e00\u4e2a\u56fa\u5b9a\u503c\u7684\u65f6\u5019\u8fdb\u884c\u7684\uff0c\u5982\u679c\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77\uff0c\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u53ef\u4ee5\u540c\u65f6\u9664\u4ee5\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u6700\u9ad8\u6b21\u65b9\u3002\uff08\u901a\u5e38\u4f1a\u7528\u5230\u8fd9\u4e2a\u5b9a\u7406\uff1a\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\uff09
\u5f53\u7136\u8fd8\u4f1a\u6709\u5176\u4ed6\u7684\u53d8\u5f62\u65b9\u5f0f\uff0c\u9700\u8981\u901a\u8fc7\u7ec3\u4e60\u6765\u719f\u7ec3\u3002
\u2462\u901a\u8fc7\u5df2\u77e5\u6781\u9650
1、结果若是无穷小，无穷小就用0代入，0也是极限。
2、若是分子的极限是无穷小，分母的极限不是无穷小，答案就是0，整体的极限存在。
3、如果分子的极限不是无穷小，而分母的极限是无穷小，答案不是正无穷大，就是负无穷大，整体的极限不存在。
4、若分子分母各自的极限都是无穷小，那就必须用罗毕达方法确定最后的结果。
扩展资料：
极限存在准则：
1、夹逼定理：
（1）当x∈U(Xo,r)(这是Xo的去心邻域，有个符号打不出）时，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立。
（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那么，f(x)极限存在，且等于A。不但能证明极限存在，还可以求极限，主要用放缩法。
2、单调有界准则：单调增加（减少）有上（下)界的数列必定收敛。
在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数，并且要满足极限是趋于同一方向，从而证明或求得函数的极限值。
3、柯西准则：
数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。
.极限存在的充分必要条件是左极限和右极限存在且相等
.可导的充分必要条件是左极限=右极限，且该极限值=f（x)在该点的函数值
.故可导则极限一定存在
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