随机变量X和Y的联合密度函数如何求?
以二维情形为例,设(X,Y)是二维随机变量,x,y是任意实数,二元函数:
F(x,y)=P({X≤x∩Y≤y})=P(X≤x,Y≤y),被称二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为X和Y的联合分布函数。
将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标,分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在如图以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。
深度解析:
根据联合密度函数,求协方差 根据联合密度函数,求协方差 E(XY)=∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)xy(x+y)dxdy=∫(0,1)∫(0,1)xy(x+y)dxdy=∫(0,1)[(1/3)y+(1/2)y^2]dy=1/3.E(X)=∫(-。
设(X,Y)的联合密度函数f(x,y)= (1)由联合密度函数可求得X、Y的边际密度函数,fX(x)=∫104xydy=2x,0≤x≤10,其它;fY(y)=∫104xydx=2y,0≤y≤10,其它由于对任意的实数x,y均有fX,Y(x,y)=fX(x)fY(y)。
绛旓細F(x,y)=P({X鈮鈭℡鈮})=P(X鈮,Y鈮)锛岃绉颁簩缁闅忔満鍙橀噺(X锛孻)鐨勫垎甯鍑芥暟锛屾垨绉颁负X鍜孻鐨勮仈鍚鍒嗗竷鍑芥暟銆傚皢浜岀淮闅忔満鍙橀噺锛圶锛孻锛夌湅鎴愭槸骞抽潰涓婇殢鏈虹偣鐨勫潗鏍囷紝鍒嗗竷鍑芥暟F锛坸锛寉锛夊湪锛坸锛寉锛夊鐨勫嚱鏁板煎氨鏄殢鏈虹偣锛圶锛孻锛夎惤鍦ㄥ鍥句互锛坸锛寉锛変负椤剁偣鑰屼綅浜庤鐐瑰乏涓嬫柟鐨勬棤绌风煩褰㈠尯鍩熷唴...
绛旓細闅忔満鍙橀噺X涓嶻鐩镐簰鐙珛锛屼笖D(X)=1锛孌(Y)=2 鍒橠(2X-3Y)=2^2D(X)+3^2D(Y)=4x1+9x2 =4+18 =22 鐢变簬闅忔満鍙橀噺X鐨勫彇鍊 鍙彇鍐充簬姒傜巼瀵嗗害鍑芥暟鐨勭Н鍒嗭紝鎵浠ユ鐜囧瘑搴﹀嚱鏁板湪涓埆鐐逛笂鐨勫彇鍊煎苟涓嶄細褰卞搷闅忔満鍙橀噺鐨勮〃鐜般傚鏋滀竴涓鍑芥暟鍜X鐨勬鐜囧瘑搴﹀嚱鏁板彇鍊间笉鍚岀殑鐐瑰彧鏈夋湁闄愪釜銆佸彲鏁版棤闄愪釜鎴栬呯浉瀵...
绛旓細璁X鍜孻鐨勮仈鍚堝瘑搴﹀嚱鏁涓篺(x,y)銆傚垯X+Y鐨勫瘑搴﹀嚱鏁癴Z(z)鍙互閫氳繃濡備笅鍏紡姹傚緱锛歠Z(z) = 鈭玣(x, z-x)dx 鍏朵腑锛岀Н鍒嗗尯闂翠负浣縡(x, z-x)鈮0鏃剁殑x鍖洪棿锛屽嵆X+Y鐨勫彇鍊艰寖鍥淬傝繖閲岄渶瑕佹敞鎰忕殑鏄紝鐢变簬X鍜孻鏄繛缁瀷闅忔満鍙橀噺锛屽叾瀵嗗害鍑芥暟鍙兘鍦ㄦ煇浜涚偣涓0锛屽洜姝ら渶瑕佹眰鍑轰娇f(x, z-x)鈮0鐨勫尯...
绛旓細濡傛灉涓ら殢鏈哄彉閲忕浉浜掔嫭绔嬶紝鍒欒仈鍚堝瘑搴﹀嚱鏁扮瓑浜庤竟缂樺瘑搴﹀嚱鏁扮殑涔樼Н锛屽嵆f(x,y)=f(x)f(y)銆傚鏋滀袱闅忔満鍙橀噺鏄笉鐙珛鐨勶紝閭f槸鏃犳硶姹傜殑銆傝竟缂樺瘑搴﹀嚱鏁版槸鎸囪竟缂樺垎甯冨嚱鏁帮紝瀹氫箟鏄細濡傛灉浜岀淮闅忔満鍙橀噺X,Y鐨勫垎甯冨嚱鏁癋{x锛寉}涓哄凡鐭ワ紝閭d箞闅忔満鍙橀噺x锛寉鐨勫垎甯冨嚱鏁癋x{x}鍜孎y{y}鍒嗗埆鐢盕{x锛寉}姹傚緱銆傚垯Fx{x...
绛旓細鍒ゆ柇鑱斿悎瀵嗗害鍑芥暟鏄惁鐙珛闇瑕佹鏌ュ叾涔樼Н鏄惁绛変簬杈归檯瀵嗗害鍑芥暟鐨勪箻绉傚浜庝袱涓闅忔満鍙橀噺X鍜孻鐨勮仈鍚堝瘑搴﹀嚱鏁f锛坸锛 y锛夛紝濡傛灉璇ュ嚱鏁板彲浠ヨ〃绀轰负杈归檯瀵嗗害鍑芥暟f_X锛坸锛夊拰f_Y锛坹锛夌殑涔樼Н锛屽嵆f锛坸锛 y锛 = f_X锛坸锛 * f_Y锛坹锛夛紝鍒橷鍜孻鏄嫭绔嬬殑銆傝繖鎰忓懗鐫X鐨勫彇鍊间笉鍙梇鐨勫彇鍊煎奖鍝嶏紝鍙嶄箣浜︾劧銆
绛旓細宸茬煡闅忔満鍙橀噺X锛Y鐨勮仈鍚姒傜巼瀵嗗害鍑芥暟涓猴細f(x, y) =20 * e^(-5x-4y), x > 0, y > 00, otherwise 瑕佹眰锛氭眰P(X+Y 鈮 1)姹侲(XY)瑙o細瑕佹眰P(X+Y 鈮 1)锛屽彲浠ョ敾鍑哄嚱鏁板浘鍍忥紝灏嗕笉婊¤冻鏉′欢鐨勯儴鍒嗘姇褰卞埌x杞翠笂锛屽緱鍒扮Н鍒嗗尯闂翠负[0,1]銆傛墍浠ユ湁锛歅(X+Y 鈮 1) = 鈭埆f(x, y)dxdy...
绛旓細鍦ㄦ鐜囪鐨勬鍫備腑锛岃仈鍚堟鐜囧瘑搴﹀嚱鏁板氨鍍忔槸鍙岄噸瑙嗚涓嬬殑鍜岃皭浜ゅ搷銆傞鍏堬紝鎴戜滑鏉ョ悊瑙e畠鐨勫熀鏈蹇点鑱斿悎瀵嗗害鍑芥暟锛屽氨鏄綋涓や釜闅忔満鍙橀噺X鍜孻鎼烘墜鍏辫垶鏃讹紝鎻忚堪瀹冧滑鑱斿悎鍒嗗竷鎯呭喌鐨勫叧閿伐鍏枫傛兂璞′竴涓嬶紝闅忔満鍙橀噺X鍜孻濡傚悓澶╃┖涓殑鏄熻景锛屽畠浠鐨勮仈鍚鍒嗗竷鍑芥暟F(X,Y)灏卞鍚岀粯鍒跺嚭杩欑拃鐠ㄦ槦鍥剧殑鏁板璇█銆傝繖涓嚱鏁板憡璇...
绛旓細锛X,Y锛鐨勮仈鍚姒傜巼瀵嗗害鏄痜(x,y)=1/蟺,x^2+y^2銆傛鐜囧瘑搴︾殑鐞嗚В锛氶鍏堬紝鎶奫F(x+螖x)-F(x)]锛徫x鐨瀹氫箟涓哄钩鍧囧瘑搴︼紝鐒跺悗鍏朵腑F(x)灏辨槸鍒嗗竷鍑芥暟锛孾F(x+螖搴)-F(x)]锛徫攛閭d箞灏辨槸骞冲潎鐨勬鐜囧瘑搴︿簡銆傜劧鍚庯紝鎴戜滑瀵逛笂寮忔潵鍙栨瀬闄愶紝杩欏氨鏄煇涓澶勭殑姒傜巼瀵嗗害浜嗭紝鍐嶇劧鍚巐im螖x瓒嬩簬0[F(...
绛旓細鏂瑰樊涓合僞2锛涜В绛斿涓嬶細E{ 鈭(Xi-X鎷)^2 }=nEXi^2-nEX鎷=蟽^2+n渭^2-n渭锛汦Xi^2=DXi+(EXi)^2锛汦{ 鈭(Xi-u)^2 }=蟽^2锛
绛旓細鍙鏍规嵁鍏紡 E(g(X锛孻))=鈭埆g(x锛寉)f(x锛寉)dxdy 璁$畻鍗冲彲銆傚叾涓璮(x锛寉)涓哄凡鐭鐨勮仈鍚堝瘑搴﹀嚱鏁銆俫(x锛孻)涓鸿姹傜殑鍑芥暟銆傛眰x锛y鐨鑼冨洿涓鸿礋鏃犵┓澶у埌姝f棤绌峰ぇ銆