高一函数的性质知识点归纳
我相信,人类发现的知识只会流向需要它的人,从某种方面说,人只是知识的载体,知识是一种既能生产,又能消费的特殊能量。下面给大家分享一些关于高一函数的性质知识点归纳,希望对大家有所帮助。
一次函数
1.一次函数定义与定义式:
自变量x和因变量y有如下关系:
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
即:y=kx(k为常数,k≠0)
2.一次函数的性质:
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
3.一次函数的图像及性质:
(1)作法与图形:通过如下3个步骤
a 列表;
b 描点;
c 连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
(2)性质:
a 在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
b 一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
(3)k,b与函数图像所在象限:
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线通过原点
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
4.确定一次函数的表达式:
已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
5.一次函数在生活中的应用:
(1)当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
(2)当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
6.常用公式:
(1)求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
(2)求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
(3)求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
(4)求任意线段的长:√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
二次函数
1.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax’2+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
2.二次函数的三种表达式
一般式:y=ax’2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)’2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a
3.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
4.抛物线的性质
(1)抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
(2)抛物线有一个顶点P,坐标为
P(-b/2a,(4ac-b’2)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b’2-4ac=0时,P在x轴上。
(3)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
(4)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
(5)常数项c决定抛物线与y轴交点
抛物线与y轴交于(0,c)
(6)抛物线与x轴交点个数
Δ=b’2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b’2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b’2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b’2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
5.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax’2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
即ax’2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
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