数学中三角函数和差化积公式是哪些？ 三角函数中和差化积公式有哪些

\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u516c\u5f0f\u6709\u54ea\u51e0\u4e2a\uff1f\u53ea\u8981\u8fd9\u51e0\u4e2a\u516c\u5f0f\uff0c\u5176\u4ed6\u7684\u4e0d\u8981\u3002

\u5dee\u5316\u79ef\u516c\u5f0f
sin(a)+sin(b)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)sin(b)=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
cos(a)+cos(b)=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570
\u6b63\u5f26\u51fd\u6570 sin\u03b8=y/r
\u4f59\u5f26\u51fd\u6570 cos\u03b8=x/r
\u6b63\u5207\u51fd\u6570 tan\u03b8=y/x
\u4f59\u5207\u51fd\u6570 cot\u03b8=x/y
\u6b63\u5272\u51fd\u6570 sec\u03b8=r/x
\u4f59\u5272\u51fd\u6570 csc\u03b8=r/y

\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u516c\u5f0f\uff1a\u3000\u3000sin\u03b8+sin\u03c6=2sin[(\u03b8+\u03c6)/2]cos[(\u03b8-\u03c6)/2] \u3000\u3000sin\u03b8-sin\u03c6=2cos[(\u03b8+\u03c6)/2]sin[(\u03b8-\u03c6)/2] \u3000\u3000cos\u03b8+cos\u03c6=2cos[(\u03b8+\u03c6)/2]cos[(\u03b8-\u03c6)/2] \u3000\u3000cos\u03b8-cos\u03c6=-2sin[(\u03b8+\u03c6)/2]sin[(\u03b8-\u03c6)/2] [\u7f16\u8f91\u672c\u6bb5]\u63a8\u5bfc\u8fc7\u7a0b\u3000\u3000\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u516c\u5f0f\u7531\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u516c\u5f0f\u53d8\u5f62\u5f97\u5230\uff0c\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u516c\u5f0f\u662f\u7531\u6b63\u5f26\u6216\u4f59\u5f26\u7684\u548c\u89d2\u516c\u5f0f\u4e0e\u5dee\u89d2\u516c\u5f0f\u901a\u8fc7\u52a0\u51cf\u8fd0\u7b97\u63a8\u5bfc\u800c\u5f97\u3002\u3000\u3000\u63a8\u5bfc\u8fc7\u7a0b\uff1a\u3000\u3000sin(\u03b1+\u03b2)=sin\u03b1cos\u03b2+cos\u03b1sin\u03b2\uff0csin(\u03b1-\u03b2)=sin\u03b1cos\u03b2-cos\u03b1sin\u03b2 \u3000\u3000\u628a\u4e24\u5f0f\u76f8\u52a0\u5f97\u5230\uff1asin(\u03b1+\u03b2)+sin(\u03b1-\u03b2)=2sin\u03b1cos\u03b2 \u3000\u3000\u6240\u4ee5\uff0csin\u03b1cos\u03b2=[sin(\u03b1+\u03b2)+sin(\u03b1-\u03b2)]/2 \u3000\u3000\u540c\u7406\uff0c\u628a\u4e24\u5f0f\u76f8\u51cf\uff0c\u5f97\u5230\uff1acos\u03b1sin\u03b2=[sin(\u03b1+\u03b2)-sin(\u03b1-\u03b2)]/2 \u3000\u3000cos(\u03b1+\u03b2)=cos\u03b1cos\u03b2-sin\u03b1sin\u03b2\uff0ccos(\u03b1-\u03b2)=cos\u03b1cos\u03b2+sin\u03b1sin\u03b2 \u3000\u3000\u628a\u4e24\u5f0f\u76f8\u52a0\uff0c\u5f97\u5230\uff1acos(\u03b1+\u03b2)+cos(\u03b1-\u03b2)=2cos\u03b1cos\u03b2 \u3000\u3000\u6240\u4ee5\uff0ccos\u03b1cos\u03b2=[cos(\u03b1+\u03b2)+cos(\u03b1-\u03b2)]/2 \u3000\u3000\u540c\u7406\uff0c\u4e24\u5f0f\u76f8\u51cf\uff0c\u5f97\u5230sin\u03b1sin\u03b2=-[cos(\u03b1+\u03b2)-cos(\u03b1-\u03b2)]/2 \u3000\u3000\u8fd9\u6837\uff0c\u5f97\u5230\u4e86\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f: \u3000\u3000sin\u03b1cos\u03b2=[sin(\u03b1+\u03b2)+sin(\u03b1-\u03b2)]/2 \u3000\u3000cos\u03b1sin\u03b2=[sin(\u03b1+\u03b2)-sin(\u03b1-\u03b2)]/2 \u3000\u3000cos\u03b1cos\u03b2=[cos(\u03b1+\u03b2)+cos(\u03b1-\u03b2)]/2 \u3000\u3000sin\u03b1sin\u03b2=-[cos(\u03b1+\u03b2)-cos(\u03b1-\u03b2)]/2 \u3000\u3000\u6709\u4e86\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f\u4ee5\u540e,\u6211\u4eec\u53ea\u9700\u4e00\u4e2a\u53d8\u5f62,\u5c31\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f.\u6211\u4eec\u628a\u4e0a\u8ff0\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f\u4e2d\u7684\u03b1+\u03b2\u8bbe\u4e3a\u03b8,\u03b1-\u03b2\u8bbe\u4e3a\u03c6, \u3000\u3000\u90a3\u4e48\u03b1=(\u03b8+\u03c6)/2,\u03b2=(\u03b8-\u03c6)/2 \u3000\u3000\u628a\u03b1,\u03b2\u5206\u522b\u7528\u03b8,\u03c6\u8868\u793a\u5c31\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f: \u3000\u3000sin\u03b8+sin\u03c6=2sin[(\u03b8+\u03c6)/2]cos[(\u03b8-\u03c6)/2] \u3000\u3000sin\u03b8-sin\u03c6=2cos[(\u03b8+\u03c6)/2]sin[(\u03b8-\u03c6)/2] \u3000\u3000cos\u03b8+cos\u03c6=2cos[(\u03b8+\u03c6)/2]cos[(\u03b8-\u03c6)/2] \u3000\u3000cos\u03b8-cos\u03c6=-2sin[(\u03b8+\u03c6)/2]sin[(\u03b8-\u03c6)/2]

三角函数 和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

和差化积公式，包括正弦、余弦和正切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式。
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
tanα±tanβ=sin（α±β）/(cosα·cosβ）
除了和差化积公式还有公式：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tan^2α+tan^2β)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tan^2α-tan^2β)/(1+tanα·tanβ)
注意事项：

注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然。

三角函数考法;
本节知识在中考是必考内容，多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。在高考中，多以解答题的形式和三角函数的概念、简单的三角恒等变换、解三角形联合考查三角函数的最值、单调区间、对称性等，属于难题。

三角函数公式大全
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A = 2tanA/(1-tan² A)
Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A = Cos^2 A--Sin² A
=2Cos² A—1
=1—2sin^2 A
三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)³;
cos3A = 4(cosA)³ -3cosA
tan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)
半角公式
sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}
cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}
tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}
cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ?
tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
和差化积
sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差
sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]
诱导公式
sin(-a) = -sin(a)
cos(-a) = cos(a)
sin(π/2-a) = cos(a)
cos(π/2-a) = sin(a)
sin(π/2+a) = cos(a)
cos(π/2+a) = -sin(a)
sin(π-a) = sin(a)
cos(π-a) = -cos(a)
sin(π+a) = -sin(a)
cos(π+a) = -cos(a)
tgA=tanA = sinA/cosA
万能公式
sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²}
cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²}
tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}
其它公式
a•sin(a)+b•cos(a) = [√(a²+b²)]*sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]
a•sin(a)-b•cos(a) = [√(a²+b²)]*cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]
1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]²;
1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]²;
其他非重点三角函数
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
双曲函数
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα
cos（2kπ＋α）= cosα
tan（2kπ＋α）= tanα
cot（2kπ＋α）= cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）= -sinα
cos（π＋α）= -cosα
tan（π＋α）= tanα
cot（π＋α）= cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）= cosα
cos（π/2+α）= -sinα
tan（π/2+α）= -cotα
cot（π/2+α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2+α）= -cosα
cos（3π/2+α）= sinα
tan（3π/2+α）= -cotα
cot（3π/2+α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα

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