如何理解傅里叶变换公式
\u5982\u4f55\u7406\u89e3\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u516c\u5f0f1\u3001\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u516c\u5f0f
\u516c\u5f0f\u63cf\u8ff0\uff1a\u516c\u5f0f\u4e2dF(\u03c9)\u4e3af(t)\u7684\u50cf\u51fd\u6570\uff0cf(t)\u4e3aF(\u03c9)\u7684\u50cf\u539f\u51fd\u6570\u3002
2\u3001\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\uff0c\u8868\u793a\u80fd\u5c06\u6ee1\u8db3\u4e00\u5b9a\u6761\u4ef6\u7684\u67d0\u4e2a\u51fd\u6570\u8868\u793a\u6210\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\uff08\u6b63\u5f26\u548c/\u6216\u4f59\u5f26\u51fd\u6570\uff09\u6216\u8005\u5b83\u4eec\u7684\u79ef\u5206\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u3002\u5728\u4e0d\u540c\u7684\u7814\u7a76\u9886\u57df\uff0c\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u5177\u6709\u591a\u79cd\u4e0d\u540c\u7684\u53d8\u4f53\u5f62\u5f0f\uff0c\u5982\u8fde\u7eed\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u548c\u79bb\u6563\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u3002\u6700\u521d\u5085\u7acb\u53f6\u5206\u6790\u662f\u4f5c\u4e3a\u70ed\u8fc7\u7a0b\u7684\u89e3\u6790\u5206\u6790\u7684\u5de5\u5177\u88ab\u63d0\u51fa\u7684\u3002
3\u3001\u76f8\u5173
\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u5c5e\u4e8e\u8c10\u6ce2\u5206\u6790\u3002
\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7684\u9006\u53d8\u6362\u5bb9\u6613\u6c42\u51fa\uff0c\u800c\u4e14\u5f62\u5f0f\u4e0e\u6b63\u53d8\u6362\u975e\u5e38\u7c7b\u4f3c;
\u6b63\u5f26\u57fa\u51fd\u6570\u662f\u5fae\u5206\u8fd0\u7b97\u7684\u672c\u5f81\u51fd\u6570\uff0c\u4ece\u800c\u4f7f\u5f97\u7ebf\u6027\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3\u53ef\u4ee5\u8f6c\u5316\u4e3a\u5e38\u7cfb\u6570\u7684\u4ee3\u6570\u65b9\u7a0b\u7684\u6c42\u89e3.\u5728\u7ebf\u6027\u65f6\u4e0d\u53d8\u7684\u7269\u7406\u7cfb\u7edf\u5185\uff0c\u9891\u7387\u662f\u4e2a\u4e0d\u53d8\u7684\u6027\u8d28\uff0c\u4ece\u800c\u7cfb\u7edf\u5bf9\u4e8e\u590d\u6742\u6fc0\u52b1\u7684\u54cd\u5e94\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u7ec4\u5408\u5176\u5bf9\u4e0d\u540c\u9891\u7387\u6b63\u5f26\u4fe1\u53f7\u7684\u54cd\u5e94\u6765\u83b7\u53d6\uff1b
\u5377\u79ef\u5b9a\u7406\u6307\u51fa\uff1a\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u53ef\u4ee5\u5316\u590d\u6742\u7684\u5377\u79ef\u8fd0\u7b97\u4e3a\u7b80\u5355\u7684\u4e58\u79ef\u8fd0\u7b97\uff0c\u4ece\u800c\u63d0\u4f9b\u4e86\u8ba1\u7b97\u5377\u79ef\u7684\u4e00\u79cd\u7b80\u5355\u624b\u6bb5\uff1b
\u79bb\u6563\u5f62\u5f0f\u7684\u5085\u7acb\u53f6\u53d8\u6362\u53ef\u4ee5\u5229\u7528\u6570\u5b57\u8ba1\u7b97\u673a\u5feb\u901f\u5730\u7b97\u51fa\uff08\u5176\u7b97\u6cd5\u79f0\u4e3a\u5feb\u901f\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u7b97\u6cd5\uff08FFT))\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6839\u636e\u539f\u4fe1\u53f7\u7684\u4e0d\u540c\u7c7b\u578b\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\u5206\u4e3a\u56db\u79cd\u7c7b\u522b\uff1a
1\u3001\u975e\u5468\u671f\u6027\u8fde\u7eed\u4fe1\u53f7\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff08Fourier Transform\uff09
2\u3001\u5468\u671f\u6027\u8fde\u7eed\u4fe1\u53f7\u5085\u91cc\u53f6\u7ea7\u6570(Fourier Series)
3\u3001\u975e\u5468\u671f\u6027\u79bb\u6563\u4fe1\u53f7\u79bb\u6563\u65f6\u57df\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362\uff08Discrete Time Fourier Transform\uff09
4\u3001\u5468\u671f\u6027\u79bb\u6563\u4fe1\u53f7\u79bb\u6563\u5085\u91cc\u53f6\u53d8\u6362(Discrete Fourier Transform)
\u8981\u60f3\u8bc1\u660e lim \uff082x-1\uff09=1\uff0c\u5f53x\u21921, \u76f8\u5f53\u4e8e\u8981\u8bc1\u660e lim [ \uff082x-1\uff09-1] =0, x\u21921\u3002
\u8fd9\u65f6\u5019\uff0c\u7531\u4e8e\u53d6\u7684\u662f\u6781\u9650\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u8fd8\u6ca1\u771f\u7684\u628ax\u53d6\u52301\uff0c\u6240\u4ee5 [ \uff082x-1\uff09-1] \u5c06\u4f1a\u5c0f\u4e8e\u4e00\u4e2a\u4efb\u610f\u5c0f\u7684\u6570\u3002\u4f46\u6709\u53ef\u80fd\u662f\u975e\u5e38\u5c0f\u7684\u8d1f\u6570\uff0c\u4e5f\u53ef\u80fd\u662f\u975e\u5e38\u5c0f\u7684\u6b63\u6570\uff0c\u603b\u4e4b\u53ef\u4ee5\u5c06\u4e0a\u5f0f\u7b49\u4ef7\u53d8\u6210|\uff082x-1\uff09-1|<\u03b5\uff0c\u8fd9\u91cc\u6709\u53e5\u6f5c\u53f0\u8bcd\u6ca1\u5199\u51fa\u6765\uff0c\u5c31\u662f\u03b5\u4e3a\u4efb\u610f\u6b63\u6570\uff0c\u4e14\u03b5\u53ef\u4ee5\u975e\u5e38\u975e\u5e38\u5c0f\u3002\u6b64\u65f6\uff0c|\uff082x-1\uff09-1|<\u03b5\u53ef\u4ee5\u53d8\u578b\u5f97\u5230 |x-1|<\u03b5/2\u3002\u56e0\u4e3a\u6f5c\u53f0\u8bcd\u8bf4\u4e86\uff0c\u03b5\u4e3a\u4efb\u610f\u6b63\u6570\uff0c\u4e14\u03b5\u53ef\u4ee5\u975e\u5e38\u975e\u5e38\u5c0f\uff0c\u6240\u4ee5\u03b5/2\u5c31\u662f\u4e00\u4e2a\u975e\u5e38\u5c0f\uff0c\u4f46\u53c8\u5927\u4e8e0\u7684\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\u5c31\u4f1a\u6709\u53e6\u4e00\u4e2a\u6f5c\u53f0\u8bcd\u51fa\u73b0\uff0c\u5c31\u662f0< |x-1|<\u03b4\uff0c\u4e0d\u7528\u60f3\uff0c\u03b4\u4e5f\u662f\u4efb\u610f\u6b63\u6570\uff0c\u4e14\u03b4\u53ef\u4ee5\u975e\u5e38\u975e\u5e38\u5c0f\u3002
\u6240\u4ee5\uff0c\u5f53x\u6ee1\u8db3\u4e860< |x-1|<\u03b4\u8fd9\u4e2a\u6761\u4ef6\u65f6\uff0c\u4e5f\u5c31\u662fx\u21921\u65f6\uff0c \u56de\u5230\u6700\u521d\u7684\u6e90\u5934\uff0clim \uff082x-1\uff09=1\uff0c\u5c31\u6210\u7acb\u4e86\u3002
向左转|向右转
公式描述：公式中F(ω)为f(t)的像函数，f(t)为F(ω)的像原函数。
2、傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
3、相关
* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;
* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；
*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；
* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。
绛旓細f锛坸锛=anxn+an-1xn-1+鈥+a1x+a0=锛坅nxn-1+an-1xn-2+鈥+a1锛墄+a0 =锛堬紙anxn-2+an-1xn-3+鈥+a2锛墄+a1锛墄+a0 =鈥=锛堚︼紙锛坅nx+an-1锛墄+an-2锛墄+鈥+a1锛墄+a0锛庢眰澶氶」寮忕殑鍊兼椂锛岄鍏堣绠楁渶鍐呭眰鎷彿鍐呬竴娆″椤瑰紡鐨勫硷紝鍗 v1=anx+an-1 鐒跺悗鐢卞唴鍚戝閫愬眰璁＄畻涓娆″椤瑰紡鐨...
绛旓細鍌呴噷鍙剁Н鍒鍏紡濡備笅锛氾紙1锛夊湪浠讳竴鏈夐檺鍖洪棿閮借繛缁垨鍙湁鏈夐檺涓涓绫婚棿鏂偣锛屽苟涓斿彧鏈夋湁闄愪釜鏋佸笺傦紙2锛夊湪(-鈭烇紝+鈭)涓婄粷瀵瑰彲绉紝鍗虫湁闄愶紱鍒欏畾涔塠f(x)鈫扖(蠅)]銆備负f(x)鐨勶紙澶嶏級鍌呴噷鍙跺彉鎹锛涜C(蠅)=F[f(x)]=f(蠅)锛岀ОC(蠅)涓猴紙澶嶏級鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠儚鍑芥暟銆傚倕閲屽彾绯绘暟鐢盕ourier ...
绛旓細2銆佹寚鏁板嚱鏁帮紙鍗曡竟锛塮(t)=e-atu(t) F(w)=1锛屽疄闄呬笂鏄竴涓綆閫氭护娉㈠櫒a+jw銆3銆佸崟浣嶅啿婵鍑芥暟F锛坵锛=1锛岄甯︽棤闄愬锛屾槸涓涓潎鍖璋便4銆佸父鏁1 甯告暟1鏄竴涓洿娴佷俊鍙凤紝鎵浠ュ畠鐨勯璋卞綋鐒跺彧鏈夊湪w=0鐨勬椂鍊欐墠鏈夊硷紝浣撶幇涓猴紙w)銆侳(w)=2(w) 鍙互鐢鍌呴噷鍙跺彉鎹鐨勫绉版у緱鍒般5銆佹寮﹀嚱鏁癋(ejw...
绛旓細鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠叕寮鏄竴绉嶅己澶х殑宸ュ叿锛屽畠鎻ず浜嗗嚱鏁颁笌鍛ㄦ湡鎬у彉鎹箣闂寸殑娣卞埢鑱旂郴銆侳(蠅)锛屽嵆鍑芥暟f(t)鐨勫儚鍑芥暟锛屽彲浠ラ氳繃鍏跺儚鍘熷嚱鏁癴(t)鏉ヨ〃绀猴紝杩欐槸涓绉嶅皢闈炲懆鏈熸у嚱鏁拌浆鍖栦负涓夎鍑芥暟锛堟寮﹀拰浣欏鸡锛夋垨鍏剁Н鍒嗙殑绾挎х粍鍚堢殑杞寲鏂瑰紡銆傚倕绔嬪彾鍙樻崲鐨勬牳蹇冪壒鎬у湪浜庡叾闆舵垨瀹堟亽鎬ц川锛屽畠骞挎硾搴旂敤浜庡悇涓爺绌堕鍩燂紝濡...
绛旓細闃惰穬鍑芥暟鏄竴绉嶅父瑙佺殑淇″彿鍑芥暟锛岀敤绗﹀彿u(t)琛ㄧず锛屽畠鍦╰=0澶勪粠0璺宠穬鍒1銆傞樁璺冨嚱鏁扮殑鍌呴噷鍙跺彉鎹鍙互閫氳繃鍌呴噷鍙跺彉鎹㈢殑瀹氫箟鍜屾ц川鏉ヨ〃绀恒傛牴鎹倕閲屽彾鍙樻崲鐨勫畾涔夛紝瀵逛簬闃惰穬鍑芥暟u(t)锛屽叾鍌呴噷鍙跺彉鎹(蠅)瀹氫箟涓猴細U(蠅) = 鈭玔0,鈭) u(t) * exp(-j蠅t) dt 鏍规嵁闃惰穬鍑芥暟鐨勫畾涔夛紝鍦╰=0涔嬪墠u(...
绛旓細鍌呴噷鍙跺彉鎹㈠叕寮锛氾紙w浠ｈ〃棰戠巼锛宼浠ｈ〃鏃堕棿锛宔^-iwt涓哄鍙樺嚱鏁帮級鍌呴噷鍙跺彉鎹㈣涓轰竴涓懆鏈熷嚱鏁(淇″彿)鍖呭惈澶氫釜棰戠巼鍒嗛噺锛屼换鎰忓嚱鏁帮紙淇″彿锛塮(t)鍙氳繃澶氫釜鍛ㄦ湡鍑芥暟锛堝熀鍑芥暟锛夌浉鍔犺屽悎鎴愩備粠鐗╃悊瑙掑害鐞嗚В鍌呴噷鍙跺彉鎹鏄互涓缁勭壒娈婄殑鍑芥暟锛堜笁瑙掑嚱鏁帮級涓烘浜ゅ熀锛屽鍘熷嚱鏁拌繘琛岀嚎鎬у彉鎹紝鐗╃悊鎰忎箟渚挎槸鍘熷嚱鏁板湪鍚勭粍...
绛旓細鍥炵瓟锛鍌呯珛鍙跺彉鎹,琛ㄧず鑳藉皢婊¤冻涓瀹氭潯浠剁殑鏌愪釜鍑芥暟琛ㄧず鎴愪笁瑙掑嚱鏁版垨鑰呭畠浠殑绉垎鐨勭嚎鎬х粍鍚,缁濆ぇ澶氭暟澶у鐢熼兘瑕佸涔犻珮鏁,璇存槑鍦ㄥ井绉垎涓琚倕閲屽彾缁熸不,涓嶄粎浠呮槸鍥犱负鍌呴噷鍙跺彉鎹寰堥噸瑕,鏇撮噸瑕佺殑鍘熷洜鏄お闅,澶у涓嶆兂鎸傜涓嶅緱涓嶅,浣嗘槸鍙堝涓嶆噦,鎵浠ュ彲浠ョ敤寰堟祦琛岀殑涓鍙ヨ瘽鏉ユ荤粨,鏁板铏愭垜鍗冪櫨閬,鎴戝嵈寰...
绛旓細锛坰inh x)'=cosh x锛坈osh x)'=sinh x锛坱anh x)'=sech2x=1-tanh2 x锛坈oth x)'=-csch2x锛坰ech x)'=-sech x*tanh x锛坈sch x)'=-cschx*coth x
绛旓細鎴戣寰鍌呴噷鍙跺彉鎹鏄媺鏅媺鏂殑瀛愰泦,鍓嶈呮槸0+bj鍐呭彉鎹,鍚庤呮槸鍦ㄦ暣涓鍩焌+bj鍐呭彉鎹.鍗曠函鏁板鍏紡涓庡畾涔夋潵鐞嗚В杩欎釜鍙樻崲姣旇緝鎶借薄.鑳借繘琛屽倕閲屽彾鍙樻崲鐨勫嚱鏁癴(t)閮藉彲浠ユ湁鏃犻檺涓繛缁鐜噉鐨勬锛堣礋锛夊鸡鍑芥暟A(n)cos(nwt)鍙犲姞鑰屾垚銆傚倕閲屽彾鍦ㄧ嚎鎬х郴缁熼噷闈㈡湁瀵瑰簲鐨勭墿鐞嗙幇璞＄殑锛屽氨鏄椂鍩燂紙t锛夊埌棰戝煙锛坣w锛夌殑...
绛旓細鏃跺煙鍜岄鍩熺殑杞崲鍏紡鏄鍌呴噷鍙跺彉鎹銆傝缁瑙ｉ噴锛1. 鍌呴噷鍙跺彉鎹㈢殑鍩烘湰姒傚康 鍌呴噷鍙跺彉鎹㈡槸涓绉嶅湪鏁板銆佺墿鐞嗗拰宸ョ▼棰嗗煙骞挎硾搴旂敤鐨勫伐鍏凤紝瀹冭兘澶熷皢鏃跺煙淇″彿杞崲涓洪鍩熶俊鍙凤紝鎴栬呭皢棰戝煙淇″彿杞崲涓烘椂鍩熶俊鍙枫傛椂鍩熸弿杩扮殑鏄俊鍙烽殢鏃堕棿鍙樺寲鐨勬儏鍐碉紝鑰岄鍩熸弿杩扮殑鏄俊鍙风殑棰戠巼缁勬垚銆2. 鍌呴噷鍙跺彉鎹㈢殑鍏紡 瀵逛簬杩炵画鏃堕棿...
