有限个无穷小乘积是无穷小 证明过程？ 有限个无穷小的乘积是无穷小。怎么证明

\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e58\u79ef\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u8bc1\u660e\u8fc7\u7a0b\uff1f\uff1f

\u7528\u5b9a\u4e49\u8bc1\u660e\u554a\uff0c\u6211\u4e3e\u4e2a\u7b80\u5355\u7684\u4f8b\u5b50\uff0c\u8bbean->0\uff0cbn->0\uff0c\u5219anbn->0\u3002
\u8bc1\u660e\uff1a\u5bf9\u4efb\u610fe>0\uff0c\u6211\u4eec\u9700\u8bc1\u660e\u5b58\u5728N\uff0c\u4f7f\u5f97n>N\u6709|anbn|0\uff0cbn->0\uff0c\u5219\u6211\u4eec\u77e5\u9053\u5b58\u5728N1\u4f7f\u5f97|an|N1\u6210\u7acb\uff0c\u5b58\u5728N2\u4f7f\u5f97|bn|N2\u6210\u7acb\u3002\u6240\u4ee5\u5f53n>max(N1,N2)\u65f6\uff0c\u6709|anbn|<=(|an|^2+|bn|^2)/2<e^2\u3002\u6545\u53ea\u9700\u53d6N=max(N1,N2)\u5373\u53ef\u3002

\u53ea\u8981\u8fd9\u4e2a\u4e58\u79ef\u80fd\u5c0f\u4e8e\u4efb\u4f55\u7ed9\u5b9a\u7684\u65e0\u8bba\u591a\u5c0f\u7684\u6570\uff0c\u5c31\u8bc1\u660e\u4e2d\u56fd\u4e58\u79ef\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002

首先需要二项式定理：
（a+b）^n=∑ C（i=0 –> i=n）n i a^(n-i) * b^i （式一）

用数学归纳法证此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1  a+b 
故此，n=1时，式一成立。
设n1为任一自然数，假设n=n1时，（式一）成立
即（a+b）^n1=∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i （式二）
则当n=n1+1时，式二两端同乘（a+b）
[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b) => (a+b)^(n1+1)= ∑ C（i=0 –> i=(n1+1)）(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)
因此二项式定理（即式一成立）

下面用二项式定理计算这一极限：
（1+1/n）^n （式一）
用二项式展开得： （1+1/n）^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与（1/n）的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与（1/n）的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n -> +∞,得0。
因此总的结果是当n -> +∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与（1/n）的相应项的次方相约，得1。余下分母。
于是式一化为：
（1+1/n）^n =1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+ … + 1/n！ （式二）
当n -> +∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。
补充： 将式二和公比为1/2的等比数列比较，其每一项都小于此等比数列，而此等比数列收敛，因此，式二必定收敛于一固定数值。

先证明两个的乘积是（用定义）再类推到三个到多个

lim a=0,lim b=0
lim ab=(lim a)*(lim b)=0*0=0
以此类推即得证

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