求助。线性代数。初等方阵AX=B。 为什么图中所示。这道题X=图二的答案。是怎么推出来的 求解线性代数 矩阵方程 AX=B+X
\u4e00\u9053\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u9898\u8bf7\u95ee\uff0c\u8fd9\u4e2a\u56fe\u4e2d\u7684AX=B\u4e2d\uff0c\u6c64\u8001\u5e08\u8bb2\u7684\u662f\uff0cA\u4e0d\u662f\u65b9\u9635\uff0cx\u4e5f\u4e0d\u662f\u65b9\u9635\uff0c\u4e24\u8fb9\u4e58\u4ee5A^-1\u9006\u77e9\u9635\u7684\u6982\u5ff5\u662f\u9488\u5bf9\u65b9\u9635\u800c\u8a00\u7684\uff0c\u4e0d\u662f\u65b9\u9635\u5c31\u6ca1\u6709\u9006\u77e9\u9635\u7684\u8bf4\u6cd5\u3002
\u6b63\u786e\u7684\uff0c\u53ea\u8981\u6c42\u9006\u7684\u90a3\u4e2a\u77e9\u9635\u662f\u53ef\u9006\u7684\u65b9\u9635\u5c31\u53ef\u4ee5
很简单，AX=B
则X=A⁻¹B=A\B
对增广矩阵A|B
同时施行初等行变换，
相当于对矩阵A、B同时左乘一个可逆矩阵（实际上是A⁻¹）
得到A⁻¹A|A⁻¹B
即I|A⁻¹B
1 2 3 2 5
2 2 1 3 1
3 4 3 4 3
第2行,第3行, 加上第1行×-2,-3
1 2 3 2 5
0 -2 -5 -1 -9
0 -2 -6 -2 -12
第1行,第2行, 加上第3行×1,-1
1 0 -3 0 -7
0 0 1 1 3
0 -2 -6 -2 -12
第1行,第3行, 加上第2行×3,6
1 0 0 3 2
0 0 1 1 3
0 -2 0 4 6
第3行, 提取公因子-2
1 0 0 3 2
0 0 1 1 3
0 1 0 -2 -3
第2行交换第3行
1 0 0 3 2
0 1 0 -2 -3
0 0 1 1 3
得到变换矩阵A左除B A\B
3 2
-2 -3
1 3
绛旓細寰堢畝鍗曪紝AX=B 鍒橷=A⁻¹B=A\B 瀵瑰骞跨煩闃礎|B 鍚屾椂鏂借鍒濈瓑琛屽彉鎹紝鐩稿綋浜庡鐭╅樀A銆丅鍚屾椂宸︿箻涓涓彲閫嗙煩闃碉紙瀹為檯涓婃槸A⁻¹锛夊緱鍒癆⁻¹A|A⁻¹B 鍗矷|A⁻¹B 1 2 3 2 5 2 2 1 3 1 3 4 3...
绛旓細鎴戜滑鎶奫A b] 鎺掓垚杩欐牱鐨勫舰寮忥紝閭ｄ箞鍦ㄥ仛鍒濈瓑琛屽彉鎹㈢殑鏃跺欙紝A鍜宐涓璧峰仛浜嗭紝鑰屽仛涓娆″垵绛夎鍙樻崲灏辩浉褰撲簬鍦ㄧ煩闃电殑宸﹁竟涔樹笂涓涓垵绛夌煩闃碉紙杩欐槸缁撹锛"琛屽乏鍒楀彸鈥滐級姣斿璇存垜浠仛涓娆★紝灏卞彉鎴怺P1A,P1b]锛屽鏋淎鏄潪濂囧紓鐨勮瘽锛岄偅涔堜竴瀹氬湪缁忚繃鏈夐檺娆″垵绛夎鍙樻崲浠ュ悗鍙樻垚鍗曚綅鐭╅樀锛堢粨璁猴級锛屾墍浠ユ垜浠竴鐩村仛涓嬪幓...
绛旓細ax绛変簬b鏄妸寰堝涓柟绋嬬粍鍓嶉潰鐨勭郴鏁扮粍鎴愪竴涓煩闃佃涓篴锛岀劧鍚庨偅浜泋缁勬垚涓涓煩闃靛ぇx鏈鍚庣瓑鍙峰彸杈筨缁勬垚涓涓煩闃礲锛屼篃灏辨槸璇存妸寰堝涓柟绋嬬粍鐪嬫垚鏄煩闃靛拰鐭╅樀鐨勪箻绉傚笇鏈涜兘甯姪鍒版偍銆
绛旓細瀹冪殑鍙栧煎ぇ浜庣瓑浜0锛屽綋涓斾粎褰AX=0鏃讹紝||AX||=0銆傛墍浠^TAX=0鏃讹紝AX=0锛屽嵆A^TAX=0鐨勮В鏄疉X=0鐨勮В銆
绛旓細绾挎鏂圭▼缁勬槸Ax=b锛孉涓虹煩闃碉紱x锛宐涓哄悜閲忋傚鏋滄湁寰堝鐨勭嚎鎬ф柟绋嬬粍Ax1=b1锛孉x2=b2...锛屼护X=(x1 x2 x3...) 锛孊=(b1 b2 b3...)锛岀劧鍚庡氨鏄AX=B銆
绛旓細浠ｆ暟浣欏瓙寮廇ij=(-1)鈭(i+j)Mij銆備綑瀛愬紡Mij绛変簬鍘绘帀i琛屽拰j鍒楀悗鐨勬墍鏈夊厓绱犵粍鎴愮殑琛屽垪寮忕殑鍊笺備緥濡傦細AX=B 鍒檅aiX=A⁻¹B 鍙互du鐢ㄥ骞跨煩闃礎|zhiB鐨鍒濈瓑琛屽彉鎹㈡眰鍑虹瓟dao妗堬細2 5 1 3 1 3 2 4 绗2琛屼箻浠ュ唴-2锛屽姞鍒扮1琛岋紝寰楀鍒 0 -1 -3 -5 1 3 2 4 绗1琛屼箻浠3...
绛旓細鑰ax=0鏃讹紝x蹇呯劧涓洪浂銆備笉鍙嗘椂鍒欐湁闈為浂瑙ｃ傜煩闃垫柟绋嬩腑X涓嶄竴瀹氭槸涓涓垪鍚戦噺骞朵笖涓鑸儏鍐典笅A鍙(A涓嶅彲閫嗘椂楹荤儲)绾挎鏂圭▼缁AX=0 涓璛鏄敱鏈煡閲忔瀯鎴愮殑鍒楀悜閲忋侫X=0鏄疉X=B鐨勯綈娆＄嚎鎬ф柟绋嬶紝涓や釜瑙ｅ緱鍏崇郴锛孉X=0鏈夎В涓嶄竴瀹欰X=B鏈夎В锛屽弽涔嬪垯鎴愮珛銆傚嵆鏄疉X=B鏈夎В鏄疉X=0鏈夎В鐨勫厖鍒嗛潪蹇呰鏉′欢銆
绛旓細鍒濈瓑琛屽彉鎹负 [1 0 0 1 0][0 1 0 4 0][0 0 1 -2 0][0 0 0 3 1]鍙 x4 涓鸿嚜鐢辨湭鐭ラ噺锛屾柟绋嬬粍鍖栦负 x1 = -x4 x2 = -4x4 x3 = 2x4 x5 = -3x4 鍙 x4 = -1锛 寰楀熀纭瑙ｇ郴 (1, 4, -2, -1, 3)^T,鏂圭▼缁...
绛旓細A鍙嗘椂, X=BA^-1 [A; B] 缁鍒濈瓑鍒楀彉鎹㈠寲涓 [E; C] --涓婁笅涓ゅ潡 鍗冲瓨鍦ㄥ垵绛夌煩闃 P1,...,Ps 浣垮緱 [A;B]P1P2...Ps = [E;C]鎵浠 AP1...Ps = E, BP1...Ps=C 鎵浠 P1...Ps=A^-1 鎵浠 C = BA^-1 = X
绛旓細AX=B,鍒橷=BA^(-1)銆怷绛変簬B涔樹互A鐨勯嗐戝皢(A,B锛夎繘琛 琛屽彉鎹紙F,X锛夛紝浣垮緱锛圓,B锛夊乏杈归儴鍒嗗彉鎴愬崟浣嶇煩闃碉紝姝ゆ椂鐨勫彸杈瑰氨鏄疿 鍥犱负锛氭鏃禙鏄崟浣嶇煩闃碉紝F=AA^(-1) 鍗冲彉鎹㈣繃绋嬬浉褰撲簬鍙充箻浜咥鐨勯嗭紝鎵浠ヨ浆鎹箣鍚庣殑鍙宠竟鏄 BA^(-1) 鍗崇瓑浜嶺 绠鍗曟潵璇村氨鏄紙A,B锛夆啋[AA^(-1),BA^(-...
