三元正定二次型的规范型怎么写
1、将三元正定二次型$Q(x)=x^TAx$的矩阵$A$对角化。由于$A$是实对称矩阵，因此可以用正交矩阵$P$将其对角化，即$P^TAP=D$，其中$D$是对角矩阵，对角线上的元素为特征值。2、将$Q(x)$中的自变量$x$用正交矩阵$P$的列向量表示，即$x=Py$。这样，原二次型$Q(x)$就变成了$Q(y)=y^T(P^TAP)y$。
3、将上式中的自变量$y$用列向量$z=D^{1/2}y$来表示。这样，规范型就变成了$z^T(P^TAP)z$，其中$P^TAP$是对角线元素为$1$的对角矩阵。
4、将$z$再次用$x$来表示，即$z=D^{1/2}y$，$y=D^{-1/2}z$，$x=Py=D^{-1/2}z$。这样，原二次型$Q(x)$的规范型就变成了$y^TD^{-1/2}P^TAPD^{-1/2}y=x^TD^{-1}Ax$。
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