高数，敛散性问题。判断是绝对收敛还是条件收敛 判断函数是绝对收敛还是条件收敛
\u9ad8\u6570\uff0c\u5224\u65ad\u655b\u6563\u6027\uff0c\u8fd9\u9898\u4e0d\u4f1a\u5982\u4f55\u5224\u65ad\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u8fd8\u662f\u6761\u4ef6\u6536\u655b\uff1f\u53d6\u7edd\u5bf9\u503c\u540e\u5316\u4e3a\u6b63\u9879\u7ea7\u6570
\u91c7\u7528\u6b63\u9879\u7ea7\u6570\u7684\u6bd4\u8f83\u5224\u522b\u6cd5\u5c31\u53ef\u4ee5\u5224\u522b\u51fa\u6765
\u5224\u65ad\u51fd\u6570\u662f\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u8fd8\u662f\u6761\u4ef6\u6536\u655b\u65b9\u6cd5\u5982\u4e0b\uff1a
\u5982\u679c\u7ea7\u6570\u03a3u\u5404\u9879\u7684\u7edd\u5bf9\u503c\u6240\u6784\u6210\u7684\u6b63\u9879\u7ea7\u6570\u03a3\u2223un\u2223\u6536\u655b\uff0c\u5219\u79f0\u7ea7\u6570\u03a3un\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u3002\u5982\u679c\u7ea7\u6570\u03a3un\u6536\u655b\uff0c\u800c\u03a3\u2223un\u2223\u53d1\u6563\uff0c\u5219\u79f0\u7ea7\u6570\u03a3un\u6761\u4ef6\u6536\u655b\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u4e00\u822c\u7528\u6765\u63cf\u8ff0\u65e0\u7a77\u7ea7\u6570\u6216\u65e0\u7a77\u79ef\u5206\u7684\u6536\u655b\u60c5\u51b5\u3002\u5982\u679c\u7ea7\u6570\u03a3Un\u5404\u9879\u7684\u7edd\u5bf9\u503c\u6240\u6784\u6210\u7684\u7ea7\u6570\u03a3|Un|\u6536\u655b\uff0c\u5219\u79f0\u7ea7\u6570\u03a3Un\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\uff0c\u7ea7\u6570\u03a3Un\u79f0\u4e3a\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u3002\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u4e00\u5b9a\u6536\u655b\u3002
\u82e5\u51fd\u6570f(x)\u5728[a,b]\u4e0a\u53ef\u79ef\uff0c\u4e14|f(x)|\u7684\u65e0\u7a77\u79ef\u5206\uff08\u4ecea\u5230+\u221e\uff09\u4e0a\u6536\u655b\uff0c\u5219\u79f0 f(x) \u7684\u65e0\u7a77\u79ef\u5206\uff08\u4ecea\u5230+\u221e\uff09\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u3002\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u4e00\u5b9a\u6536\u655b\u3002
\u7ecf\u6d4e\u5b66\u4e2d\u7684\u6536\u655b\uff0c\u5206\u4e3a\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u548c\u6761\u4ef6\u6536\u655b\u3002
1\u3001\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\uff08Absolute Convergence\uff09\uff0c\u6307\u7684\u662f\uff0c\u4e0d\u8bba\u6761\u4ef6\u5982\u4f55\uff0c\u7a77\u56fd\u6bd4\u5bcc\u56fd\u6536\u655b\u66f4\u5feb\u3002
2\u3001\u6761\u4ef6\u6536\u655b\uff08Conditional Convergence\uff09\uff0c\u6307\u7684\u662f\u6280\u672f\u7ed9\u5b9a\uff0c\u5176\u4ed6\u6761\u4ef6\u4e00\u6837\u7684\u8bdd\uff0c\u4eba\u5747\u4ea7\u51fa\u4f4e\u7684\u56fd\u5bb6\uff0c\u76f8\u5bf9\u4e8e\u4eba\u5747\u4ea7\u51fa\u9ad8\u7684\u56fd\u5bb6\uff0c\u6709\u7740\u8f83\u9ad8\u7684\u4eba\u5747\u4ea7\u51fa\u589e\u957f\u7387\uff0c\u4e00\u4e2a\u56fd\u5bb6\u7684\u7ecf\u6d4e\u5728\u8fdc\u79bb\u5747\u8861\u72b6\u6001\u65f6\uff0c\u6bd4\u63a5\u8fd1\u5747\u8861\u72b6\u6001\u65f6\uff0c\u589e\u957f\u901f\u5ea6\u5feb\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u6536\u655b
对任意x∈(0,π),由积化和差公式,
2sinx*(sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx)
=(cos0-cos2x)+(cosx-cos3x)+(cos2x-cos4x)+...+(cos(n-1)x-cos(n+1)x)
=cos0+cosx-cosnx-cos(n+1)x
再由和差化积公式,
cos0+cosx-cosnx-cos(n+1)x
=2cos(x/2)cos(-x/2)-2cos[(2n+1)x/2]cos(-x/2)
=2cos(x/2)*{cos(x/2)-cos[(2n+1)x/2]}
也就有2sinx*(sinx+sin2x+sin3x+...+sinnx)=2cos(x/2)*{cos(x/2)-cos[(2n+1)x/2]}
而sinx=2sin(x/2)cos(x/2),整理得到
2sin(x/2)*(sinx+sin2x+...+sinnx)=cos(x/2)-cos[(2n+1)x/2]
等式右边显然有界,而等式左边的2sin(x/2)也有界,可得∑(i=1→n)sinix有界
数列{1/n}单调趋於0,由狄利克雷判别法,原级数收敛
但由於|sinnx|≤1,在不等式两边同时乘以|sinnx|,有|sinnx|²=(sinnx)²≤|sinnx|,
所以|sinnx/n|≥(sinnx)²/n=1/2n*(1-cos2nx)=1/2n-cos2xn/2n
级数∑cos2xn/2n同理可证是收敛的,但级数∑1/2n发散,所以由比较审敛法,∑|sinnx/n|发散,即原级数条件收敛
绛旓細(伪-n+1)/n!|an/a(n+1)|=|(n+1)/(伪-n)| =|(n+1)/(n-伪)| =|1+(伪+1)/(n-伪)| =|1+(伪+1)/n-(伪+1)/n+(伪+1)/(n-伪)| =|1+(伪+1)/n+伪(伪+1)/n(n-伪)| =1+(伪+1)/n+o(1/n)鏍规嵁鎷夋瘮鍒ゅ埆娉曪紝褰撐+1>1锛屽嵆伪>0鏃讹紝鍘熺骇鏁缁濆鏀舵暃 ...
绛旓細鏉′欢鏀舵暃銆備氦閿欑骇鏁板彲浠ュ埄鐢ㄨ幈甯冨凹鍏鍒ゅ埆娉曘1/(ln(n锛1))鍗曡皟閫掑噺瓒嬩簬闆躲傛晠鏉′欢鏀舵暃銆傚姞缁濆鍊煎悗姹傚拰椤 1/(ln(n锛1))锛1/(n锛1)锛岃岀骇鏁扳垜_{n=1}^{鈭瀩1/(n锛1)鍙戞暎(璋冨拰绾ф暟)銆
绛旓細瀵逛簬浜ら敊绾ф暟锛屽彧鏈変袱绉嶆儏褰㈠彲浠ョ敤鍒版瘮鍊鍒ゅ埆娉曞拰鏍瑰煎垽鍒硶锛1锛夊彲浠ョ敤姣斿煎垽鍒硶鎴栨牴鍊煎垽鍒硶鏉ヨ瘉鏄庡叾缁濆鏀舵暃锛2锛夊綋鐢ㄦ瘮鍊煎垽鍒硶鎴栨牴鍊煎垽鍒硶鍒ゅ埆绾ф暟闈炵粷瀵规敹鏁涙椂鍘熺骇鏁颁篃蹇呮槸鍙戞暎鐨勩
绛旓細绾ф暟A:缁濆鍊肩骇鏁拔1/(n^1/2)鍙戞暎锛屼絾鍘熺骇鏁颁负浜ら敊绾ф暟涓旈氶」瓒嬩簬闆讹紝鎵浠ョ骇鏁癆鏉′欢鏀舵暃;绾ф暟B:缁濆鍊肩骇鏁拔1/2^n涓烘瘮渚嬬骇鏁颁笖q<1锛屽洜姝ょ粷瀵瑰肩骇鏁版敹鏁涳紝涓嶆槸鏉′欢鏀舵暃;绾ф暟C:缁濆鍊肩骇鏁拔1/n²涓簆绾ф暟涓攑>1锛屽洜姝ょ粷瀵瑰肩骇鏁版敹鏁涳紝涓嶆槸鏉′欢鏀舵暃;绾ф暟D:绾ф暟閫氶」n/(n+1)瓒嬩簬1涓嶈秼浜...
绛旓細| u(n+1) / u(n) | = 1/2 * (2n+3)^2 / (2n+1)^2 ---> 1/2 < 1锛屾墍浠缁濆鏀舵暃銆
绛旓細浜屻佸彉鍙风骇鏁鏁涙暎鎬鐨勫垽瀹 1銆佷氦閿欑骇鏁 浜ら敊绾ф暟鍗虫璐熼」浜ゆ浛鍑虹幇鐨勭骇鏁帮紝鍏舵敹鏁涙у垽瀹棣栭夋柟娉曚负鑾卞竷灏煎吂鍒ゅ埆娉曪紝鍗充笉鍖呭惈绗﹀彿鐨勯氶」鍗曡皟閫掑噺瓒嬩簬0锛屽垯绾ф暟鏀舵暃.2銆佷竴鑸彉鍙风骇鏁 涓鑸骇鏁伴」鍔犱笂缁濆鍊煎悗鏋勬垚鐨勭粷瀵瑰肩骇鏁版敹鏁涳紝鍒欏師绾ф暟鏀舵暃锛屽苟涓旂О鍘熺骇鏁扮粷瀵规敹鏁涳紝鍗崇粷瀵规敹鏁涗竴瀹氭敹鏁涳紱缁濆鍊肩骇鏁板彂鏁...
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