韩信点兵问题:3人一排余2，5人一排余3，7人一排余2.算出1073人，怎样算的？ 韩信点兵:一排3个人,剩两个,一排5个人,剩3个,一排7个人...
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\u4e3a\u4e86\u6c42\u51fa\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75283\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u770b\u770b5\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f\u5426\u5408\u4e4e\u8981\u6c42\u30025\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f5\u00d77=35\uff0c35\u9664\u4ee53\u4f592\uff0c35\u76842\u500d\u9664\u4ee53\u4f592\uff0c35\u76842\u500d\u9664\u4ee53\u5c31\u80fd\u4f591\u4e86\uff0c\u4e8e\u662f\u6211\u4eec\u5f97\u5230\u4e86"\u4e09\u4eba\u540c\u884c\u4e03\u5341\u7a00"\u3002
\u4e3a\u4e86\u6c42\u51fa\u662f3\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75285\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u770b\u770b3\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f\u5426\u5408\u4e4e\u8981\u6c42\u30023\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f3\u00d77=21\uff0c21\u9664\u4ee55\u6070\u597d\u4f591\uff0c\u4e8e\u662f\u6211\u4eec\u5f97\u5230\u4e86"\u4e94\u6811\u6885\u82b1\u7518\u4e00\u679d"\u3002
\u4e3a\u4e86\u6c42\u51fa\u662f3\u4e0e5\u7684\u500d\u6570\u800c\u75287\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff0c\u6211\u4eec\u770b\u770b3\u4e0e5\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f\u5426\u5408\u4e4e\u8981\u6c42\u30023\u4e0e5\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f3\u00d75=15\uff0c15\u9664\u4ee57\u6070\u597d\u4f591\uff0c\u56e0\u800c\u6211\u4eec\u5f97\u5230\u4e86"\u4e03\u5b50\u56e2\u5706\u6b63\u534a\u6708"\u3002
3\u30015\u30017\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f105\uff0c\u6240\u4ee5"\u9664\u767e\u96f6\u4e94\u4fbf\u5f97\u77e5"\u3002
\u4f8b\u5982\uff1a\u8bd5\u6c42\u4e00\u6570\uff0c\u4f7f\u4e4b\u75284\u9664\u4f593\uff0c\u75285\u9664\u4f592\uff0c\u75287\u9664\u4f595\u3002
\u89e3\uff1a\u6211\u4eec\u5148\u6c42\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75284\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff1b5\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f5\u00d77=35\uff0c35\u9664\u4ee54\u4f593\uff0c3\u00d73\u9664\u4ee54\u4f591\uff0c\u56e0\u800c35\u00d73=105\u9664\u4ee54\u4f591\uff0c105\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75284\u9664\u4f591\u7684\u6570\u3002
\u6211\u4eec\u518d\u6c424\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75285\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff1b4\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f4\u00d77=28\uff0c28\u9664\u4ee55\u4f593\uff0c3\u00d77\u9664\u4ee55\u4f591\uff0c\u56e0\u800c28\u00d77=196\u9664\u4f595\u4f591\uff0c\u6240\u4ee5196\u662f4\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u800c\u75285\u9664\u4f591\u7684\u6570\u3002
\u6700\u540e\u6c42\u7684\u662f4\u4e0e5\u7684\u500d\u6570\u800c\u75287\u9664\u4f591\u7684\u6570\uff1a4\u4e0e5\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f4\u00d75=20\uff0c20\u9664\u4ee57\u4f596\uff0c6\u00d76\u9664\u4ee57\u4f591\uff0c\u56e0\u800c20\u00d76=120\u9664\u4ee57\u4f591\uff0c\u6240\u4ee5120\u662f4\u4e0e5\u7684\u500d\u6570\u800c\u75287\u9664\u4f591\u7684\u6570\u3002
\u5229\u7528105\u3001196\u3001120\u8fd9\u4e09\u4e2a\u6570\u53ef\u4ee5\u6c42\u51fa\u7b26\u5408\u9898\u76ee\u8981\u6c42\u7684\u89e3\uff1a
105\u00d73+196\u00d72+120\u00d75=1307\u3002
\u7531\u4e8e4\u30015\u30017\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u6570\u662f4\u00d75\u00d77=140\uff0c1307\u5927\u4e8e140\uff0c\u6240\u4ee51307\u4e0d\u662f\u5408\u4e4e\u9898\u76ee\u8981\u6c42\u7684\u6700\u5c0f\u7684\u89e3\u3002\u75281037\u9664\u4ee5140\u5f97\u5230\u7684\u4f59\u6570\u662f47\uff0c47\u662f\u5408\u4e4e\u9898\u76ee\u7684\u6700\u5c0f\u7684\u6b63\u6574\u6570\u89e3\u3002
\u4e00\u822c\u5730\uff0c
105m+196n+120k (1\u2264m\uff1c4,1\u2264n\uff1c5,1\u2264k\uff1c7)
\u662f\u75284\u9664\u4f59m,\u75285\u9664\u4f59n,\u75287\u9664\u4f59k\u7684\u6570(105m+196n+120k)\u9664\u4ee5140\u6240\u5f97\u7684\u4f59\u6570\u662f\u6ee1\u8db3\u4e0a\u9762\u4e09\u4e2a\u6761\u4ef6\u7684\u6700\u5c0f\u7684\u6b63\u6570\u3002
\u4e0a\u9762\u6211\u4eec\u662f\u4e3a\u4e86\u5199\u51fa105m+196n+120k\u8fd9\u4e2a\u4e00\u822c\u8868\u8fbe\u5f0f\u624d\u6c42\u51fa\u4e86105\u8fd9\u4e2a\u7279\u5f81\u6570\u3002\u5982\u679c\u53ea\u662f\u4e3a\u4e86\u89e3\u7b54\u6211\u4eec\u8fd9\u4e2a\u5177\u4f53\u7684\u4f8b\u9898\uff0c\u7531\u4e8e5\u00d77=35\u65e2\u662f5\u4e0e7\u7684\u500d\u6570\u9664\u4ee54\u53c8\u4f593\uff0c\u5c31\u4e0d\u5fc5\u6c42\u51fa105\u518d\u4e58\u4ee53\u4e86\u3002
35+196\u00d72+120\u00d75=1027
\u5c31\u662f\u7b26\u5408\u9898\u610f\u7684\u6570\u3002
1027=7\u00d7140+47\uff0c
\u7531\u6b64\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5f97\u51fa\u7b26\u5408\u9898\u610f\u7684\u6700\u5c0f\u6b63\u6574\u6570\u89e347\u3002
\u300a\u7b97\u6cd5\u7edf\u5b97\u300b\u4e2d\u628a\u5728\u4ee53\u30015\u30017\u4e3a\u9664\u6570"\u7269\u4e0d\u77e5\u5176\u6570"\u95ee\u9898\u4e2d\u8d77\u91cd\u8981\u4f5c\u7528\u768470\u300121\u300115\u8fd9\u51e0\u4e2a\u7279\u5f81\u6570\u7528\u51e0\u53e5\u53e3\u8bc0\u8868\u8fbe\u51fa\u6765\u4e86\uff0c\u6211\u4eec\u4e5f\u53ef\u4ee5\u628a\u5728\u4ee54\u30015\u30017\u4e3a\u9664\u6570\u7684\u95ee\u9898\u4e2d\u8d77\u91cd\u8981\u4f5c\u7528\u7684105\u3001196\u3001120\u8fd9\u51e0\u4e2a\u7279\u5f81\u6570\u7f16\u4e3a\u53e3\u8bc0\u3002\u7559\u7ed9\u8bfb\u8005\u81ea\u5df1\u53bb\u7f16\u5427\u3002
\u51e1\u662f\u4e09\u4e2a\u9664\u6570\u4e24\u4e24\u4e92\u8d28\u7684\u60c5\u51b5\uff0c\u90fd\u53ef\u4ee5\u7528\u4e0a\u9762\u7684\u65b9\u6cd5\u6c42\u89e3\u3002
\u4e0a\u9762\u7684\u65b9\u6cd5\u6240\u4f9d\u636e\u7684\u7406\u8bba\uff0c\u5728\u4e2d\u56fd\u79f0\u4e4b\u4e3a\u5b59\u5b50\u5b9a\u7406\uff0c\u56fd\u5916\u7684\u4e66\u7c4d\u79f0\u4e4b\u4e3a\u4e2d\u56fd\u5269\u4f59\u5b9a\u7406\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u5c11\u5e74\u767e\u79d1
\u95ee\u9898\u51fa\u81ea\u4e00\u5343\u516d\u767e\u5e74\u524d\u6211\u56fd\u53e4\u4ee3\u6570\u5b66\u540d\u8457\u300a\u5b59\u5b50\u7b97\u7ecf\u300b\u3002\u539f\u9898\u4e3a\uff1a"\u4eca\u6709\u7269\u4e0d\u77e5\u5176\u6570\uff0c\u4e09\u4e09\u6570\u4e4b\u4e8c\uff0c\u4e94\u4e94\u6570\u4e4b\u4e09\uff0c\u4e03\u4e03\u6570\u4e4b\u4e8c\uff0c\u95ee\u7269\u51e0\u4f55\uff1f"
\u8fd9\u9053\u9898\u7684\u610f\u601d\u662f\uff1a\u6709\u4e00\u6279\u7269\u54c1\uff0c\u4e0d\u77e5\u9053\u6709\u51e0\u4ef6\u3002\u5982\u679c\u4e09\u4ef6\u4e09\u4ef6\u5730\u6570\uff0c\u5c31\u4f1a\u5269\u4e0b\u4e24\u4ef6\uff1b\u5982\u679c\u4e94\u4ef6\u4e94\u4ef6\u5730\u6570\uff0c\u5c31\u4f1a\u5269\u4e0b\u4e09\u4ef6\uff1b\u5982\u679c\u4e03\u4ef6\u4e03\u4ef6\u5730\u6570\uff0c\u4e5f\u4f1a\u5269\u4e0b\u4e24\u4ef6\u3002\u95ee\uff1a\u8fd9\u6279\u7269\u54c1\u5171\u6709\u591a\u5c11\u4ef6\uff1f
\u53d8\u6210\u4e00\u4e2a\u7eaf\u7cb9\u7684\u6570\u5b66\u95ee\u9898\u5c31\u662f\uff1a\u6709\u4e00\u4e2a\u6570\uff0c\u75283\u9664\u4f592\uff0c\u75285\u9664\u4f593\uff0c\u75287\u9664\u4f592\u3002\u6c42\u8fd9\u4e2a\u6570\u3002
\u8fd9\u4e2a\u95ee\u9898\u5f88\u7b80\u5355\uff1a\u75283\u9664\u4f592\uff0c\u75287\u9664\u4e5f\u4f592\uff0c\u6240\u4ee5\u75283\u4e0e7\u7684\u6700\u5c0f\u516c\u500d\u657021\u9664\u4e5f\u4f592\uff0c\u800c\u752821\u9664\u4f592\u7684\u6570\u6211\u4eec\u9996\u5148\u5c31\u4f1a\u60f3\u523023\uff1b23\u6070\u597d\u88ab5\u9664\u4f593\uff0c\u6240\u4ee523\u5c31\u662f\u672c\u9898\u7684\u4e00\u4e2a\u7b54\u6848\u3002
民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：
“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.
这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.
① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
解：除以3余2的数有：
2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….
它们除以12的余数是：
2，5，8，11，2，5，8，11，….
除以4余1的数有：
1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….
它们除以12的余数是：
1， 5， 9， 1， 5， 9，….
一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.
如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是 5＋12×整数，
整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.
②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.
解：先列出除以3余2的数：
2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，
再列出除以5余3的数：
3， 8， 13， 18， 23， 28，….
这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30，…，
就得出符合题目条件的最小数是23.
事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.
那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是105×10+23=1073人
首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。
所求数被3除余2，则取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。
所求数被5除余3，则取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。
所求数被7除余2，则取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。
又，140＋63＋30=233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。
而3、5、7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数，这意味着人数不超过100，所以用233减去105的2倍得23即是所求。
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