向量线性无关的定义 向量线性无关的条件
\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u4e2d\u5173\u4e8e\u201c\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u201d\u5b9a\u4e49\u95ee\u9898\u5fc5\u987b\u5199\u201c\u5fc5\u6709\u201d\uff0c\u56e0\u4e3a\u4ed6\u8981\u5f97\u5230\u7684\u6548\u679c\u662f\uff0c\u8981\u8ba9\u524d\u9762\u90a3\u4e2a\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\uff0c\u6709\u4e14\u53ea\u6709\u8fd9\u4e48\u4e00\u79cd\u60c5\u51b5\uff0c\u5c31\u662f\u6240\u6709\u7684k\u90fd\u7b49\u4e8e0\u3002\u6bd4\u5982\u6765\u770b\u4e24\u4e2a\u4e8c\u7ef4\u5411\u91cf(1, 2)\u548c(2, 4)\uff0c\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5411\u91cf\u662f\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u7684\uff0c\u56e0\u4e3a\u8981\u4f7f\u5f97\uff1a
k1 * (1, 2) + k2 (2, 4) = (0, 0)
\u8fd9\u4e2a\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\uff0c\u9664\u4e86k1 = k2 = 0\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u8fd8\u53ef\u4ee5\u662f k1 = 2, k2 = -1\uff0c\u56e0\u6b64\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5411\u91cf\u5c31\u4e0d\u7b26\u5408\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u4e8b\u5b9e\u4e0a\u4f60\u53ef\u4ee5\u627e\u51fa\u65e0\u8bf4\u591a\u4e2ak\u7684\u7ec4\u5408\u6765\u8ba9\u524d\u9762\u7684\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\u3002
\u518d\u770b(1, 2)\u548c(1, 3)\uff0c\u7b49\u5f0f
k1 * (1, 2) + k2 (1, 3) = (0, 0)
\u8981\u6210\u7acb\uff0c\u6bd4\u987b k1 = k2 = 0\uff0c\u4e0d\u5b58\u5728\u5176\u4ed6\u7684\u53ef\u80fd\u6027\uff0c\u6240\u4ee5\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5411\u91cf\u662f\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u7684\u3002
\u5982\u679c\u4f60\u5149\u8bf4"\u6709"\uff0c\u5c31\u53d8\u6210\u5e9f\u8bdd\u4e86\uff0c\u56e0\u4e3ak1 = k2 = ... = kn = 0\u5fc5\u7136\u4f1a\u8ba9\u524d\u9762\u90a3\u4e2a\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\u3002
\u4e0a\u9762\u6240\u6709\u7684\u62ec\u53f7\u8868\u793a\u5411\u91cf\uff0c\u5411\u91cf\u7684\u5143\u7d20\u7528\u9017\u53f7\u5206\u5f00\u3002
\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\uff0c\u65e0\u5173\u7684\u6982\u5ff5\u6700\u65e9\u662f\u6765\u6e90\u4e8e\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u7684\uff0c\u4f60\u770b\u56fe\u7684\u65b9\u7a0b\u7ec4\u5c31\u662f\u8fd9\u4e24\u4e2a\u4f8b\u5b50\u7684\u7ffb\u7248\uff1a
\u4e24\u4e2a\u5411\u91cf\u7684\u8bdd\u5c31\u662f\u4e24\u8005\u4e0d\u6210\u6bd4\u4f8b\u3002
\u591a\u4e2a\u5411\u91cf\u7684\u8bdd\uff0c\u901a\u4fd7\u4e00\u70b9\uff0c\u5c31\u662f\u4e0d\u5b58\u5728\u5176\u4e2d\u67d0\u4e2a\u5411\u91cf\u80fd\u88ab\u5176\u4ed6\u5411\u91cf\u7ebf\u6027\u8868\u51fa\u3002
\u7528\u6570\u5b66\u4e0a\u51c6\u786e\u7684\u5b9a\u4e49\u5c31\u662f\uff1a\u4e00\u7ec4\u5411\u91cfa1 ,a2 ,\u2026\u2026\uff0can\u7ebf\u6027\u65e0\u5173 \u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53k1*a1+k2*a2+\u2026\u2026+kn*an=0\u53ea\u6709\u5728k1=k2=\u2026\u2026=kn=0\u65f6\u6210\u7acb
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5728\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u91cc\uff0c\u77e2\u91cf\u7a7a\u95f4\u7684\u4e00\u7ec4\u5143\u7d20\u4e2d\uff0c\u82e5\u6ca1\u6709\u77e2\u91cf\u53ef\u7528\u6709\u9650\u4e2a\u5176\u4ed6\u77e2\u91cf\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u6240\u8868\u793a\uff0c\u5219\u79f0\u4e3a\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\u6216\u7ebf\u6027\u72ec\u7acb(linearly independent)\uff0c\u53cd\u4e4b\u79f0\u4e3a\u7ebf\u6027\u76f8\u5173(linearly dependent)\u3002
\u4f8b\u5982\u5728\u4e09\u7ef4\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u7a7a\u95f4R\u7684\u4e09\u4e2a\u77e2\u91cf(1, 0, 0)\uff0c(0, 1, 0)\u548c(0, 0, 1)\u7ebf\u6027\u65e0\u5173\uff1b\u4f46(2, −1, 1)\uff0c(1, 0, 1)\u548c(3, −1, 2)\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\uff0c\u56e0\u4e3a\u7b2c\u4e09\u4e2a\u662f\u524d\u4e24\u4e2a\u7684\u548c\u3002
\u5b9a\u7406\uff1a
1\u3001\u5411\u91cfa1,a2, \u00b7\u00b7\u00b7,an(n\u22672)\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662f\u8fd9n\u4e2a\u5411\u91cf\u4e2d\u7684\u4e00\u4e2a\u4e3a\u5176\u4f59(n-1)\u4e2a\u5411\u91cf\u7684\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u3002
2\u3001\u4e00\u4e2a\u5411\u91cf\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u7684\u5145\u5206\u6761\u4ef6\u662f\u5b83\u662f\u4e00\u4e2a\u96f6\u5411\u91cf\u3002
3\u3001\u4e24\u4e2a\u5411\u91cfa\u3001b\u5171\u7ebf\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662fa\u3001b\u7ebf\u6027\u76f8\u5173 \u3002
4\u3001\u4e09\u4e2a\u5411\u91cfa\u3001b\u3001c\u5171\u9762\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u662fa\u3001b\u3001c\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u3002
5\u3001n+1\u4e2an\u7ef4\u5411\u91cf\u603b\u662f\u7ebf\u6027\u76f8\u5173\u3002\u3010\u4e2a\u6570\u5927\u4e8e\u7ef4\u6570\u5fc5\u76f8\u5173\u3011
\u5728\u6570\u5b66\u4e2d\uff0c\u5411\u91cf\uff08\u4e5f\u79f0\u4e3a\u6b27\u51e0\u91cc\u5f97\u5411\u91cf\u3001\u51e0\u4f55\u5411\u91cf\u3001\u77e2\u91cf\uff09\uff0c\u6307\u5177\u6709\u5927\u5c0f\uff08magnitude\uff09\u548c\u65b9\u5411\u7684\u91cf\u3002\u5b83\u53ef\u4ee5\u5f62\u8c61\u5316\u5730\u8868\u793a\u4e3a\u5e26\u7bad\u5934\u7684\u7ebf\u6bb5\u3002\u7bad\u5934\u6240\u6307\uff1a\u4ee3\u8868\u5411\u91cf\u7684\u65b9\u5411\uff1b\u7ebf\u6bb5\u957f\u5ea6\uff1a\u4ee3\u8868\u5411\u91cf\u7684\u5927\u5c0f\u3002\u4e0e\u5411\u91cf\u5bf9\u5e94\u7684\u53ea\u6709\u5927\u5c0f\uff0c\u6ca1\u6709\u65b9\u5411\u7684\u91cf\u53eb\u505a\u6570\u91cf\uff08\u7269\u7406\u5b66\u4e2d\u79f0\u6807\u91cf\uff09\u3002
\u5411\u91cf\u7684\u8bb0\u6cd5\uff1a\u5370\u5237\u4f53\u8bb0\u4f5c\u7c97\u4f53\u7684\u5b57\u6bcd\uff08\u5982a\u3001b\u3001u\u3001v\uff09\uff0c\u4e66\u5199\u65f6\u5728\u5b57\u6bcd\u9876\u4e0a\u52a0\u4e00\u5c0f\u7bad\u5934\u201c\u2192\u201d\u3002 \u5982\u679c\u7ed9\u5b9a\u5411\u91cf\u7684\u8d77\u70b9\uff08A\uff09\u548c\u7ec8\u70b9\uff08B\uff09\uff0c\u53ef\u5c06\u5411\u91cf\u8bb0\u4f5cAB\uff08\u5e76\u4e8e\u9876\u4e0a\u52a0\u2192\uff09\u3002\u5728\u7a7a\u95f4\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\uff0c\u4e5f\u80fd\u628a\u5411\u91cf\u4ee5\u6570\u5bf9\u5f62\u5f0f\u8868\u793a\uff0c\u4f8b\u5982Oxy\u5e73\u9762\u4e2d(2,3)\u662f\u4e00\u5411\u91cf\u3002
\u5728\u7269\u7406\u5b66\u548c\u5de5\u7a0b\u5b66\u4e2d\uff0c\u51e0\u4f55\u5411\u91cf\u66f4\u5e38\u88ab\u79f0\u4e3a\u77e2\u91cf\u3002\u8bb8\u591a\u7269\u7406\u91cf\u90fd\u662f\u77e2\u91cf\uff0c\u6bd4\u5982\u4e00\u4e2a\u7269\u4f53\u7684\u4f4d\u79fb\uff0c\u7403\u649e\u5411\u5899\u800c\u5bf9\u5176\u65bd\u52a0\u7684\u529b\u7b49\u7b49\u3002\u4e0e\u4e4b\u76f8\u5bf9\u7684\u662f\u6807\u91cf\uff0c\u5373\u53ea\u6709\u5927\u5c0f\u800c\u6ca1\u6709\u65b9\u5411\u7684\u91cf\u3002\u4e00\u4e9b\u4e0e\u5411\u91cf\u6709\u5173\u7684\u5b9a\u4e49\u4ea6\u4e0e\u7269\u7406\u6982\u5ff5\u6709\u5bc6\u5207\u7684\u8054\u7cfb\uff0c\u4f8b\u5982\u5411\u91cf\u52bf\u5bf9\u5e94\u4e8e\u7269\u7406\u4e2d\u7684\u52bf\u80fd\u3002
\u51e0\u4f55\u5411\u91cf\u7684\u6982\u5ff5\u5728\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u4e2d\u7ecf\u7531\u62bd\u8c61\u5316\uff0c\u5f97\u5230\u66f4\u4e00\u822c\u7684\u5411\u91cf\u6982\u5ff5\u3002\u6b64\u5904\u5411\u91cf\u5b9a\u4e49\u4e3a\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u7684\u5143\u7d20\uff0c\u8981\u6ce8\u610f\u8fd9\u4e9b\u62bd\u8c61\u610f\u4e49\u4e0a\u7684\u5411\u91cf\u4e0d\u4e00\u5b9a\u4ee5\u6570\u5bf9\u8868\u793a\uff0c\u5927\u5c0f\u548c\u65b9\u5411\u7684\u6982\u5ff5\u4ea6\u4e0d\u4e00\u5b9a\u9002\u7528\u3002\u56e0\u6b64\uff0c\u5e73\u65e5\u9605\u8bfb\u65f6\u9700\u6309\u7167\u8bed\u5883\u6765\u533a\u5206\u6587\u4e2d\u6240\u8bf4\u7684"\u5411\u91cf"\u662f\u54ea\u4e00\u79cd\u6982\u5ff5\u3002
\u4e0d\u8fc7\uff0c\u4f9d\u7136\u53ef\u4ee5\u627e\u51fa\u4e00\u4e2a\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u7684\u57fa\u6765\u8bbe\u7f6e\u5750\u6807\u7cfb\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u900f\u8fc7\u9009\u53d6\u6070\u5f53\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u5728\u5411\u91cf\u7a7a\u95f4\u4e0a\u4ecb\u5b9a\u8303\u6570\u548c\u5185\u79ef\uff0c\u8fd9\u5141\u8bb8\u6211\u4eec\u628a\u62bd\u8c61\u610f\u4e49\u4e0a\u7684\u5411\u91cf\u7c7b\u6bd4\u4e3a\u5177\u4f53\u7684\u51e0\u4f55\u5411\u91cf\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u7ebf\u6027\u76f8\u5173
线性无关，就是在一组数据中没有一个量可以被其余量表示。在线性代数里，向量空间的一组元素称为线性无关（或称线性无关），如果其中没有向量可表示成有限个其他向量的线性组合，反之称为线性相关。
用式子表示，如果一个量（通常是向量、矩阵或者其它形式）可以表达为其它已知量的线性组合的话，可以写成X=A1X1+A2X2+A3X3+……+ANXN的话，那这个量就与其它已知量之间就是线性相关的，反之就是线性无关的。例如在三维欧几里得空间R3的三个向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
在线性代数中，一般来说，在N维的空间中，线性无关的最大数是N，第N+1个向量肯定能用前N个向量的线性方程来表示的。
如果n个向量，当且仅当n个系数全部=0时，才会满足向量组的数量积的和才＝0，则表示这n个向量线性无关，否则线性相关
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