求全国初中数学联赛决赛2005至2009年试题 求2006年全国初中数学竞赛决赛的试题和详细答案
\u6c422005-2007\u5e74\u7684\u5168\u56fd\u521d\u4e2d\u6570\u5b66\u8054\u8d5b\u8bd5\u9898http://math.zhongkao.cn/
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1\uff0e\u5728\u9ad8\u901f\u516c\u8def\u4e0a\uff0c\u4ece3\u5343\u7c73\u5904\u5f00\u59cb\uff0c\u6bcf\u96944\u5343\u7c73\u7ecf\u8fc7\u4e00\u4e2a\u9650\u901f\u6807\u5fd7\u724c\uff1b\u5e76\u4e14\u4ece10\u5343\u7c73\u5904\u5f00\u59cb\uff0c\u6bcf\u96949\u5343\u7c73\u7ecf\u8fc7\u4e00\u4e2a\u901f\u5ea6\u76d1\u63a7\u4eea\uff0e\u521a\u597d\u572819\u5343\u7c73\u5904\u7b2c\u4e00\u6b21\u540c\u65f6\u7ecf\u8fc7\u8fd9\u4e24\u79cd\u8bbe\u65bd\uff0c\u90a3\u4e48\u7b2c\u4e8c\u6b21\u540c\u65f6\u7ecf\u8fc7\u8fd9\u4e24\u79cd\u8bbe\u65bd\u7684\u5343\u7c73\u6570\u662f\uff08 \uff09.
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\uff0c
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\uff0c
\uff0c
\uff0c
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\u8fde\u7ed3DO\uff0c\u7531\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff0c\u5f97 \uff0c
\u5373 \uff0c
\u89e3\u5f97 \uff0e
\u6240\u4ee5\uff0c \uff0e
\u6545\u9009D\uff0e
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\u7b54\uff1a5013\uff0e
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\u56e0\u4e3a \uff0b \uff1d2006\uff0c \uff1c \uff0c \u4e3a\u6574\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\uff0c \u7684\u6700\u5927\u503c\u4e3a1002\uff0e
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\u7b54\uff1a \uff0e
\u89e3\uff1a\u8bbe\u6b63\u65b9\u5f62DEFG\u7684\u8fb9\u957f\u4e3ax\uff0c\u6b63\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u7684\u8fb9\u957f\u4e3am\uff0c\u5219 \uff0e\u7531\u25b3ADG \u223d \u25b3ABC\uff0c\u53ef\u5f97 \uff0c
\u89e3\u5f97 \uff0e\u4e8e\u662f \uff0c
\u7531\u9898\u610f\uff0ca\uff1d28\uff0cb\uff1d3,c\uff1d48\uff0c\u6240\u4ee5 .
8\uff0e\u6b63\u4e94\u8fb9\u5f62\u5e7f\u573aABCDE\u7684\u5468\u957f\u4e3a2000\u7c73\uff0e\u7532\u3001\u4e59\u4e24\u4eba\u5206\u522b\u4eceA\uff0cC\u4e24\u70b9\u540c\u65f6\u51fa\u53d1\uff0c\u6cbfA\u2192B\u2192C\u2192D\u2192E\u2192A\u2192\u2026\u65b9\u5411\u7ed5\u5e7f\u573a\u884c\u8d70\uff0c\u7532\u7684\u901f\u5ea6\u4e3a50\u7c73\u2215\u5206\uff0c\u4e59\u7684\u901f\u5ea6\u4e3a46\u7c73\u2215\u5206. \u90a3\u4e48\uff0c\u51fa\u53d1\u540e\u7ecf\u8fc7 \u5206\u949f\uff0c\u7532\u3001\u4e59\u4e24\u4eba\u7b2c\u4e00\u6b21\u5f00\u59cb\u884c\u8d70\u5728\u540c\u4e00\u6761\u8fb9\u4e0a\uff0e
\u7b54\uff1a104\uff0e
\u89e3\uff1a\u8bbe\u7532\u8d70\u5b8cx\u6761\u8fb9\u65f6\uff0c\u7532\u3001\u4e59\u4e24\u4eba\u7b2c\u4e00\u6b21\u5f00\u59cb\u884c\u8d70\u5728\u540c\u4e00\u6761\u8fb9\u4e0a\uff0c\u6b64\u65f6\u7532\u8d70\u4e86400x\u7c73\uff0c\u4e59\u8d70\u4e86 \u7c73\uff0e\u4e8e\u662f \uff0c
\u4e14 \u2264 \uff0c
\u6240\u4ee5\uff0c \u2264 \uff1c \uff0e
\u6545x=13\uff0c\u6b64\u65f6 \uff0e
9\uff0e\u5df2\u77e5 \uff0c\u4e14\u6ee1\u8db3 \uff08 \u8868\u793a\u4e0d\u8d85\u8fc7x\u7684\u6700\u5927\u6574\u6570\uff09\uff0c\u5219 \u7684\u503c\u7b49\u4e8e \uff0e
\u7b54\uff1a6\uff0e
\u89e3\uff1a\u56e0\u4e3a \uff0c\u6240\u4ee5 \uff0c \uff0c\u2026\uff0c \u7b49\u4e8e0\u6216\u80051\uff0e\u7531\u9898\u8bbe\u77e5\uff0c\u5176\u4e2d\u670918\u4e2a\u7b49\u4e8e1\uff0c\u6240\u4ee5
\uff1d \uff1d\u2026\uff1d \uff1d0\uff0c
\uff1d \uff1d\u2026\uff1d \uff1d1\uff0c
\u6240\u4ee5 \uff0c
\u2264 \uff1c \uff0e
\u6545 \u2264 \uff1c \uff0c\u4e8e\u662f \u2264 \uff1c \uff0c\u6240\u4ee5 6\uff0e
10\uff0e\u5c0f\u660e\u5bb6\u7535\u8bdd\u53f7\u7801\u539f\u4e3a\u516d\u4f4d\u6570\uff0c\u7b2c\u4e00\u6b21\u5347\u4f4d\u662f\u5728\u9996\u4f4d\u53f7\u7801\u548c\u7b2c\u4e8c\u4f4d\u53f7\u7801\u4e4b\u95f4\u52a0\u4e0a\u6570\u5b578\uff0c\u6210\u4e3a\u4e00\u4e2a\u4e03\u4f4d\u6570\u7684\u7535\u8bdd\u53f7\u7801\uff1b\u7b2c\u4e8c\u6b21\u5347\u4f4d\u662f\u5728\u9996\u4f4d\u53f7\u7801\u524d\u52a0\u4e0a\u6570\u5b572\uff0c\u6210\u4e3a\u4e00\u4e2a\u516b\u4f4d\u6570\u7684\u7535\u8bdd\u53f7\u7801\uff0e\u5c0f\u660e\u53d1\u73b0\uff0c\u4ed6\u5bb6\u4e24\u6b21\u5347\u4f4d\u540e\u7684\u7535\u8bdd\u53f7\u7801\u7684\u516b\u4f4d\u6570\uff0c\u6070\u662f\u539f\u6765\u7535\u8bdd\u53f7\u7801\u7684\u516d\u4f4d\u6570\u768481\u500d\uff0c\u5219\u5c0f\u660e\u5bb6\u539f\u6765\u7684\u7535\u8bdd\u53f7\u7801\u662f \uff0e
\u7b54\uff1a282500\uff0e
\u89e3\uff1a\u8bbe\u539f\u6765\u7535\u8bdd\u53f7\u7801\u7684\u516d\u4f4d\u6570\u4e3a \uff0c\u5219\u7ecf\u8fc7\u4e24\u6b21\u5347\u4f4d\u540e\u7535\u8bdd\u53f7\u7801\u7684\u516b\u4f4d\u6570\u4e3a \uff0e
\u6839\u636e\u9898\u610f\uff0c\u670981\u00d7 \uff1d \uff0e
\u8bb0 \uff0c\u4e8e\u662f
\uff0c
\u89e3\u5f97 \uff0e
\u56e0\u4e3a \u2264 \u2264 \uff0c\u6240\u4ee5 \u2264 \uff1c \uff0c
\u6545 \uff1c \u2264 \uff0e
\u56e0\u4e3a \u4e3a\u6574\u6570\uff0c\u6240\u4ee5 \uff1d2\uff0e\u4e8e\u662f
\uff0e
\u6240\u4ee5\uff0c\u5c0f\u660e\u5bb6\u539f\u6765\u7684\u7535\u8bdd\u53f7\u7801\u4e3a282500\uff0e
\u4e09\u3001\u89e3\u7b54\u9898\uff08\u51714\u9898\uff0c\u6bcf\u5c0f\u989815\u5206\uff0c\u6ee1\u520660\u5206\uff09
11\uff0e\u5df2\u77e5 \uff0c , \u4e3a\u4e92\u8d28\u7684\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u4e14 \u2264 \uff0c \uff0e
\uff081\uff09\u8bd5\u5199\u51fa\u4e00\u4e2a\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\u7684x\uff1b
\uff082\uff09\u6c42\u6240\u6709\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\u7684 \uff0e
\u89e3\uff1a\uff081\uff09 \u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\uff0e \u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u20265\u5206
\uff082\uff09\u56e0\u4e3a \uff0c , \u4e3a\u4e92\u8d28\u7684\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u4e14 \u2264 \uff0c\u6240\u4ee5
\uff0c
\u5373
\uff0e
\u5f53a\uff1d1\u65f6\uff0c \uff0c\u8fd9\u6837\u7684\u6b63\u6574\u6570b\u4e0d\u5b58\u5728\uff0e
\u5f53a\uff1d2\u65f6\uff0c \uff0c\u6545b\uff1d1\uff0c\u6b64\u65f6 \uff0e
\u5f53a\uff1d3\u65f6\uff0c \uff0c\u6545b\uff1d2\uff0c\u6b64\u65f6 \uff0e
\u5f53a\uff1d4\u65f6\uff0c \uff0c\u4e0e \u4e92\u8d28\u7684\u6b63\u6574\u6570b\u4e0d\u5b58\u5728\uff0e
\u5f53a\uff1d5\u65f6\uff0c \uff0c\u6545b\uff1d3\uff0c\u6b64\u65f6 \uff0e
\u5f53a\uff1d6\u65f6\uff0c \uff0c\u4e0e \u4e92\u8d28\u7684\u6b63\u6574\u6570b\u4e0d\u5b58\u5728\uff0e
\u5f53a\uff1d7\u65f6\uff0c \uff0c\u6545b\uff1d3\uff0c4\uff0c5\uff0c\u6b64\u65f6 \uff0c \uff0c \uff0e
\u5f53a\uff1d8\u65f6\uff0c \uff0c\u6545b\uff1d5\uff0c\u6b64\u65f6 \uff0e
\u6240\u4ee5\uff0c\u6ee1\u8db3\u6761\u4ef6\u7684\u6240\u6709\u5206\u6570\u4e3a \uff0c \uff0c \uff0c \uff0c \uff0c \uff0c \uff0e
\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u202615\u5206
12\uff0e\u8bbe \uff0c \uff0c \u4e3a\u4e92\u4e0d\u76f8\u7b49\u7684\u5b9e\u6570\uff0c\u4e14\u6ee1\u8db3\u5173\u7cfb\u5f0f
\u2460
\u53ca \uff0c \u2461
\u6c42 \u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\uff0e
\u89e3\u6cd51\uff1a\u7531\u2460\uff0d2\u00d7\u2461\u5f97
\uff0c
\u6240\u4ee5 \uff0e
\u5f53 \u65f6\uff0c
\uff0e
\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u202610\u5206
\u53c8\u5f53 \uff1d \u65f6\uff0c\u7531\u2460\uff0c\u2461\u5f97
\uff0c \u2462
\uff0c \u2463
\u5c06\u2463\u4e24\u8fb9\u5e73\u65b9\uff0c\u7ed3\u5408\u2462\u5f97
\uff0c
\u5316\u7b80\u5f97
\uff0c
\u6545 \uff0c
\u89e3\u5f97 \uff0c\u6216 \uff0e
\u6240\u4ee5\uff0c \u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u4e3a \u4e14 \uff0c \uff0e
\u2026\u2026\u2026\u2026\u202615\u5206
\u89e3\u6cd52\uff1a\u56e0\u4e3a \uff0c \uff0c\u6240\u4ee5
\uff1d \uff1d \uff0c
\u6240\u4ee5 \uff0e
\u53c8 \uff0c\u6240\u4ee5 \uff0c \u4e3a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b
\u2464
\u7684\u4e24\u4e2a\u4e0d\u76f8\u7b49\u5b9e\u6570\u6839\uff0c\u6545
\uff0c
\u6240\u4ee5 \uff0e
\u5f53 \u65f6\uff0c
\uff0e
\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u202610\u5206
\u53e6\u5916\uff0c\u5f53 \uff1d \u65f6\uff0c\u7531\u2464\u5f0f\u6709
\uff0c
\u5373
\uff0c\u6216 \uff0c
\u89e3\u5f97 \uff0c\u6216 \uff0e
\u6240\u4ee5\uff0c \u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u4e3a \u4e14 \uff0c \uff0e
\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u202615\u5206
13\uff0e\u5982\u56fe\uff0c\u70b9P\u4e3a\u2299O\u5916\u4e00\u70b9\uff0c\u8fc7\u70b9P\u4f5c\u2299O\u7684\u4e24\u6761\u5207\u7ebf\uff0c\u5207\u70b9\u5206\u522b\u4e3aA\uff0cB\uff0e\u8fc7\u70b9A\u4f5cPB\u7684\u5e73\u884c\u7ebf\uff0c\u4ea4\u2299O\u4e8e\u70b9C\uff0e\u8fde\u7ed3PC\uff0c\u4ea4\u2299O\u4e8e\u70b9E\uff1b\u8fde\u7ed3AE\uff0c\u5e76\u5ef6\u957fAE\u4ea4PB\u4e8e\u70b9K\uff0e \u6c42\u8bc1\uff1a \uff0e
\u8bc1\u660e\uff1a\u56e0\u4e3aAC\u2016PB\uff0c\u6240\u4ee5 \uff0e\u53c8PA\u662f\u2299O\u7684\u5207\u7ebf\uff0c\u6240\u4ee5 \uff0e\u6545 \uff0c\u4e8e\u662f
\u25b3KPE\u223d\u25b3KAP\uff0c
\u6240\u4ee5 \uff0c
\u5373 \uff0e
\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u20265\u5206
\u7531\u5207\u5272\u7ebf\u5b9a\u7406\u5f97
\uff0c
\u6240\u4ee5\uff0c KP\uff1dKB\uff0e
\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u202610\u5206
\u56e0\u4e3aAC\u2016PB\uff0c\u6240\u4ee5\uff0c\u25b3KPE\u223d\u25b3ACE\uff0c\u4e8e\u662f
\uff0c
\u6545 \uff0c
\u5373 \uff0e
\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u202615\u5206
14\uff0e2006\u4e2a\u90fd\u4e0d\u7b49\u4e8e119\u7684\u6b63\u6574\u6570 \u6392\u5217\u6210\u4e00\u884c\u6570\uff0c\u5176\u4e2d\u4efb\u610f\u8fde\u7eed\u82e5\u5e72\u9879\u4e4b\u548c\u90fd\u4e0d\u7b49\u4e8e119\uff0c\u6c42 \u7684\u6700\u5c0f\u503c\uff0e
\u89e3\uff1a\u9996\u5148\u8bc1\u660e\u547d\u9898\uff1a\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f119\u4e2a\u6b63\u6574\u6570 \uff0c\u5176\u4e2d\u4e00\u5b9a\u5b58\u5728\u82e5\u5e72\u4e2a\uff08\u81f3\u5c11\u4e00\u4e2a\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u662f\u5168\u90e8\uff09\u7684\u548c\u662f119\u7684\u500d\u6570\uff0e
\u4e8b\u5b9e\u4e0a\uff0c\u8003\u8651\u5982\u4e0b119\u4e2a\u6b63\u6574\u6570
\uff0c \uff0c\u2026\uff0c \uff0c \u2460
\u82e5\u2460\u4e2d\u6709\u4e00\u4e2a\u662f119\u7684\u500d\u6570\uff0c\u5219\u7ed3\u8bba\u6210\u7acb\uff0e
\u82e5\u2460\u4e2d\u6ca1\u6709\u4e00\u4e2a\u662f119\u7684\u500d\u6570\uff0c\u5219\u5b83\u4eec\u9664\u4ee5119\u6240\u5f97\u7684\u4f59\u6570\u53ea\u80fd\u4e3a1\uff0c2\uff0c\u2026\uff0c118\u8fd9118\u79cd\u60c5\u51b5\uff0e\u6240\u4ee5\uff0c\u5176\u4e2d\u4e00\u5b9a\u6709\u4e24\u4e2a\u9664\u4ee5119\u7684\u4f59\u6570\u76f8\u540c\uff0c\u4e0d\u59a8\u8bbe\u4e3a \u548c \uff08 \u2264 \uff1c \u2264 \uff09\uff0c\u4e8e\u662f
\uff0c
\u4ece\u800c\u6b64\u547d\u9898\u5f97\u8bc1\uff0e
\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u20265\u5206
\u5bf9\u4e8e \u4e2d\u7684\u4efb\u610f119\u4e2a\u6570\uff0c\u7531\u4e0a\u8ff0\u7ed3\u8bba\u53ef\u77e5\uff0c\u5176\u4e2d\u4e00\u5b9a\u6709\u82e5\u5e72\u4e2a\u6570\u7684\u548c\u662f119\u7684\u500d\u6570\uff0c\u53c8\u7531\u9898\u8bbe\u77e5\uff0c\u5b83\u4e0d\u7b49\u4e8e119\uff0c\u6240\u4ee5\uff0c\u5b83\u5927\u4e8e\u6216\u7b49\u4e8e2\u00d7119\uff0c\u53c8\u56e0\u4e3a \uff0c\u6240\u4ee5
\u2265 \uff0e \u2461
\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u202610\u5206
\u53d6 \uff0c\u5176\u4f59\u7684\u6570\u90fd\u4e3a1\u65f6\uff0c\u2461\u5f0f\u7b49\u53f7\u6210\u7acb\uff0e
\u6240\u4ee5\uff0c \u7684\u6700\u5c0f\u503c\u4e3a3910\uff0e
\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u2026\u202615\u5206
2005年全国初中数学联赛决赛试卷
一、选择题：(每题7分，共42分)
1、化简： 的结果是＿＿。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
3、设r≥4，a＝ ，b＝ ，
c＝ ，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A、 B、 C、 D、
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示， y
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。
A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定
0 1 x
6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则 的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
2、 x＝＿＿＿。
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿。
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数，ac＜0，且 ，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根。
2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，过D作BC的垂线交BE于F，交CA的延长线于P，过E作BC的垂线，交CD于G，交BA的延长线于Q，证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点。
3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
2005年全国联赛决赛试卷详解
一、选择题：(每题7分，共42分)
1、化简： 的结果是＿＿。
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数
解：
所以选D
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿。
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102
解：由题意得：
52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)
∴221－140cosα＝221＋220 cosα
∴cosα＝0
∴α＝90°
∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90
∴选C
3、设r≥4，a＝ ，b＝ ，c＝ ，则下列各式一定成立的是＿＿。
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a
解法1：用特值法，取r=4，则有
a= ，b＝ ，
c＝
∴c>b>a，选D
解法2：a＝ ，
b＝
c＝
解法3：∵r≥4 ∴ ＜1
∴
c＝
∴a<b<c，选D
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是＿＿。
A、 B、 C、 D、
解：由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积
∴
由垂径定理得公共弦为
∴选D
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|，q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|，则＿＿。
A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定
解：由题意得：a<0，b>0，c=0
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|，q＝|a＋b|＋|2a－b|
又
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a，
q＝|a＋b|＋|2a－b|= a＋b＋b-2a=2b-a
∴p<q，选C
6、若x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242，则 的未位数字是＿＿。
A、1 B、3 C、5 D、7
解：因为x1，x2，x3，x4，x5为互不相等的正奇数，所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)为互不相等的偶数
而将242分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：242＝2•(-2)•4•6•(-6)
所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)
所以(2005－x1)2＋(2005－x2)2＋(2005－x3) 2＋(2005－x4) 2＋(2005－x5) 2＝22＋(-2) 2＋42＋62＋(-6) 2＝96
展开得：
二、填空题(共28分)
1、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。
解：(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418
2、 x＝＿＿＿。
解：分子有理化得：
∵x≠0，
∴
两边平方化简得：
再平方化简得：
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿。
解法1：假设x＋y＝a，则y＝a－x
解法2：易知
化简得：
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C，用a表示A－B，B－C以及90°－A中的最小者，则a的最大值为＿＿＿。
解：
三、解答题(第1题20分，第2、3题各25分)
1、a、b、c为实数，ac＜0，且 ，证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根。
解：设
∴
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根.
2、锐角ΔABC中，AB＞AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE 与BC的延长线于交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，证明：F、G、T三点共线。
证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N，在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由射影定理得：
CE2＝CN•CB，BD2＝BM•BC
∴
又Rt△CNG ∽Rt△DCB，Rt△BMF ∽Rt△BEC，
∴
∴
在Rt△BEC 与Rt△BDC中，由面积关系得：BE•CE＝EN•BC，BD•CD＝DM•BC
∴
由(1)(2)得：
证法2：设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R
∵DM‖AR‖EN
∴
由合比定理得：
证法3：在△ABC中，直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D，由梅涅劳斯定理得：
设CD、BE相交于点H，则H为△ABC的垂心，AH⊥BC
∵DF⊥BC、EG⊥BC
∴AH ‖DF ‖EG
∴
由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.
证法4：连结FT交EN于G’，易知
为了证明F、G、T三点共线，只需证明 即可
∵
又
∴
∵CD⊥AB、BE⊥CA，∴B、D、E、C四点共圆
∴∠ABE＝∠ACD (2)
又 (3)
将(2) (3)代入（1）得： ，故F、G、T三点共线.
3、设a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。
解：显然c＞1.由题设得：(c2-a)(c2+a)=b3
若取
由大到小考察b，使 为完全平方数，易知当b＝8时，c2＝36，则c=6，从而a=28。下面说明c没有比6更小的正整数解，列表如下：
c c4 x3(x3<c4) c4-x3
2 16 1,8 17,8
3 81 1,8,27,64 80,73,54,17
4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40
5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113
显然，表中c4-x3的值均不是完全平方数。故c的最小
2006
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1 已知四边形ABCD为任意凸四边形，EFGH分别是AB,BC,CD,DA中点，用S,P分别表示四边形ABCD的面积和周长，S1,P1分别表示四边形EFGH的面积和周长，设K=S/S1，K1=P/P1。则下面关于K,K1的说法正确的是：
A K,K1均为常值 B K为常值，K1不为常值 CK1为常值，K不为常值 D K,K1均不为常值
2 已知m为实数，且sinα，cosα是关于x的方程3x^2-mx+1=0的两根，则sin4α+cos4α的值为：（sinα的4次方）
A 2/9 B 1/3 C 7/9 D 1
3 关于x的方程|x2/(x-1)|=a仅有2不等实根，则实数a的范围是：
A a>0 B a>=4 C 2<a<4 D 0<a<4
4 设b>0，a2-2ab+c2=0,bc>a^2,则实数a,b,c的大小关系是：
A b>c>a B c>a>b C a>b>c D b>a>c
5设a，b为有理数且满足等式： 下载 (2.84 KB)
2008-8-15 14:43,则a+b的值为：
A 2 B 4 C 6 D 8
6 将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数:20,40,60,80,100,104......则这列数的第158个数为：
A 2000 B 2004 C 2008 D 2012
二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1 函数y=x2-2006|x|+2008的图像与x轴交点的横坐标之和等于_______
2 在等腰直角ΔABC中，AC=BC=1,M是BC中点，CE垂直AM于E，交AB于F，则SΔMBF=_______
3 使 下载 (2.25 KB)
2008-8-15 14:43取最小值的实数x的值为______
4 在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为：O(0,0),A(100,0)B(100,100)C(0,100)。若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足SΔPOA*SΔPBC=SΔPAB*SΔPOC就称格点P为好点，则正方形内部好点个数为____
(格点即横纵坐标皆为整数的点）
三、解答题（本题共3小题，1题20分，2，3题各25分）
1 （本题满分20分）
如图1，D为等腰三角形ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点，又已知角EDF=90°，ED=FD=1,AD=5，求BC长。
下载 (5.1 KB)
2008-8-15 13:41
2 （本题满分25分）
在平行四边形ABCD中，角A 的平分线分别与BC及DC的延长线交于E、F,点O,O1分别为三角形CEF和ABE的外心。
求证：(1)O,E,O1三点共线；
（2）若角ABC=70°，求角OBD度数。
下载 (6.43 KB)
2008-8-15 14:03
3 （本题满分25分）
设p为正整数，且p>=2.在平面直角坐标系中，连结点A（0，p），和B（p,0）的线段通过p-1个格点:C1(1,P-1)C2(2,P-2).......Ci(i，p-i），.....Cp-1（p-1,1)
证明：（1）如果p为素数，则在原点O（0，0）和点Ci（i，p-i）的连线段OCi上除端点外无其他格点。
（2）若在原点O（0，0）与点Ci（i，p-i）的连线段上无端点外的格点，则p为素数。
[ 本帖最后由 流水无惭 于 2008-8-15 14:45 编辑 ]
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帖子1171 精华3 积分13767 威望854 点 数联积分7935 分 数联币1592 个 最后登录2009-8-5 2楼 发表于 2008-8-15 13:56 | 只看该作者 如果您觉得数联天地不错，请帮忙宣传一下
2006年全国初中数学联赛决赛试题答案（部分步骤省略）
一、1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C
二、
1、0 2、1/12 3、 8/3 4、197
三、
1解：过E作EG垂直AD于G，过F作FH垂直AD于H
则角EDG=角DFH所以三角形EDG和DFH全等，设EG=x，DG=y则DH=x，FH=y且x^2+y^2=1
因为三角形AEG和三角形AFH相似，所以x/y=(5-y）/（5+x)
联立以上二式有y-x=1/5
又（x+y）^2+x-y)^2=2(x^2+y^2)知x+y=7/5
解得x=3/5,y=4/5
又有三角形AEG和三角形ACD相似，所以CD/AD=EG/AG，即CD=AD*EG/AG=5/7
所以BC=2CD=10/7
2 解：（1）连结OE,OF，O1A,O1E，
显然有OE=OF,O1A=O1E,角EOF=2倍角ABE=角AO1E
从而三角形OEF和三角形AO1E相似，角AEO1=角FEO，则O3O1共线.
（2）连结DO,CO
角CEF=角DAE=角BAF=角CFE，所以CE=CF又OE=OF=OC，所以三角形OCE全等于三角形OCF，所以角OEC=角OFC=角OCF，所以角OEB=角OCD，从而三角形OCD全等于三角形OEB，所以角ODC=角OBE，OD=OB，所以角ODC=角OBC，角OBD=角ODB，所以角OBD=角OBC+角CBD=角ODC+角BDA=角ADC-角BDO=角ABC-角OBD
所以角OBD=角ABC/2，所以角OBD=35°
3 解：（1）用P(a,b)表示三角形OAB内的格点，a,b为正整数，假设结论不成立，则P位于某线段OCi内部，过P作PE垂直
OB于E，过Ci作CiF垂直OB于F，三角形POE和三角形CiOF相似，则b/a=（p-i)/i
其中1<=i<=p-1，易知1<=a<i,1<=b<p-i从而（a+b)i=ap，从而i|ap，因为p是素数，1<i<=p-1，故p与i互素，从而i|a
故i<=a与a<i矛盾，则假设不成立，原结论成立。
（2）同理分析，假设结论不成立则p为合数，设p=ay，x，y属于N+，且2<=x,y<=p-1，因为三角形OAB内的格点横纵坐标之和可以是2到p-1间任何整数，所以一定有一格点P（a,b)满足a+b=x，于是（a+b)y=xy=p即ay+by=p因此点(ay,by)必定是Ci中的一个，于是有ya=i,by=p-i，故b/a=（p-i)/i，所以点P（a,b）在线段OCi内部，即在线段OCi上还有其他格点，与已知矛盾，所以原结论成立.
转自数联天地,本贴地址:http://www.math15.com/bbs/thread-1981-1-1.html
2007的实在找不到
2008，2009的鄙人实在是无能为力，呵呵！
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