求几道高中数学竞赛题
\u6c42\u52a9\u51e0\u9053\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u7684\u9898\uff01\u7b2c\u4e00\u30013\u9053\u9898\uff0c\u53ef\u4ee5\u8003\u8651\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\uff1b
\u7b2c5\u9898\uff0c\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u4e8c\u9636\u9012\u63a8\u6570\u5217\uff0c\u7528\u7279\u5f81\u65b9\u7a0b\u6cd5\u6216\u8005Z\u53d8\u6362\u53ef\u4ee5\u6c42\u51fa\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u3002
\u6211\u505a\u51fa\u6765\u4e863-5\u9898\uff0c\u81f3\u4e8e1\u30012\u9898\uff0c\u60f3\u51fa\u6765\u4e86\u518d\u8865\u5145\uff0c\u5bf9\u4e86\uff0c\u4f60\u7b2c\u4e00\u9898\u7684\u9898\u610f\u4f3c\u4e4e\u6709\u4e9b\u4e0d\u660e\uff0c\u80fd\u4e0d\u80fd\u518d\u5199\u6e05\u695a\u4e00\u70b9\u3002
3.\u663e\u7136m\u22610,1,2,3(mod4)\uff0c\u4e0b\u9762\u4f9d\u6b21\u8ba8\u8bba\u3002
\u82e5m\u22610(mod4)\uff0c\u90a3\u4e48A[1]\u2261m^5+487\u2261487\u22613(mod4)\uff0cA[2]\u2261A[1]^5+487\u2261(-1)^5+487\u22612(mod4)\uff0cA[3]\u2261A[2]^5+487\u22613(mod4)\uff0c\u8fd9\u6837\u6613\u5f97A[4]\u22612(mod4)\uff0cA[5]\u22613(mod4)\uff0c\u2026\u2026\uff0c\u8fd9\u6837\u4f9d\u6b21\u5faa\u73af\u3002\u800c\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\u5bf94\u53d6\u6a21\u5e94\u4f590\u62161\uff0c\u8fd9\u6837A[n]\u4e2d\u81f3\u591a\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570(A[0])\u3002
\u82e5m\u22611(mod4)\uff0c\u90a3\u4e48\u6613\u77e5A[1]\u22610(mod4)\uff0cA[2]\u22613(mod4)\uff0cA[3]\u22612(mod4)\uff0cA[4]\u22613(mod4)\uff0c\u2026\u2026\uff0c\u6b64\u65f6\u81f3\u591a\u67092\u4e2a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570(A[0]\u548cA[1])\u3002
\u540c\u6837\u7684\u5206\u6790\uff0c\u82e5m\u22612\u62163(mod4)\uff0c\u90a3\u4e48A[n]\u4e2d\u4e0d\u53ef\u80fd\u6709\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\u3002
\u7531\u4e0a\u77e5A[n]\u4e2d\u81f3\u591a\u67092\u4e2a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\uff0c\u4e14\u53ea\u53ef\u80fd\u4e3aA[0]\u548cA[1]\uff0c\u4e0b\u9762\u6c42m\u7684\u503c\u4f7fA[0]\u548cA[1]\u90fd\u4e3a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\u3002
\u8bbeA[0]=m=k²\uff0c\u90a3\u4e48\u8bbeA[1]=m^5+487=k^10+487=n²\uff0c\u2234487=n²-k^10=(n-k^5)(n+k^5)\u3002\u6ce8\u610f\u5230487\u662f\u8d28\u6570\uff0c\u90a3\u4e48n-k^5=1\uff0cn+k^5=487\uff0c\u89e3\u5f97k=3\uff0c\u2234m=9\u3002\u7ecf\u68c0\u9a8c\uff0cm=9\u65f6A[0]\u548cA[1]\u5747\u4e3a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\uff0c\u2234\u6240\u6c42m\u5373\u4e3a9\u3002
4.a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=p^n\uff0c\u663e\u7136a+b>1\uff0c\u90a3\u4e48p|a+b
\u5047\u5982p=3\uff0c\u90a3\u4e48a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=3^n\u3002\u8bbea²+b²-ab=3^i
\u5982\u679ci\u22641\uff0c\u5f53i=0\u65f6a²+b²-ab=1\uff0c\u90a3\u4e481=a²+b²-ab\u2265ab\uff0c\u2234a=b=1\uff0c\u5f973^n=2\uff0c\u77db\u76fe\uff01\uff1b\u5f53i=1\u65f63=a²+b²-ab\u2265ab\uff0c\u2234a,b\u4e2d\u81f3\u5c11\u6709\u4e00\u4e2a\u4e3a1\uff0c\u53c83|a+b\uff0c\u2234\u53e6\u4e00\u4e2a\u4e3a2\uff0c\u6b64\u65f63^n=9\uff0c\u2234n=2\uff0c\u7531\u6b64\u5f97\u5230\u4e24\u7ec4\u89e3(1,2,3,2),(2,1,3,2)
\u5982\u679cn\u22642\uff0c\u6613\u77e5n\u22600\uff0c\u5f53n=1\u65f6(a+b)(a²+b²-ab)=3\uff0c\u90a3\u4e48a+b=3\uff0ca²+b²-ab=1\u2265ab\uff0c\u77db\u76fe\uff01\u5f53n=2\u65f6\uff0c\u6b64\u65f6a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=3^2\uff0c\u2234a+b=a²+b²-ab=3\uff0c\u5f97a,b\u4e00\u4e2a\u4e3a1\uff0c\u4e00\u4e2a\u4e3a2\u3002\u5373\u5f97\u5230\u5148\u524d\u6c42\u5f97\u7684\u4e24\u7ec4\u89e3(1,2,3,2),(2,1,3,2)
\u5373\u5f53i\u22641\u6216n\u22642\u65f6\u6709\u4e24\u7ec4\u89e3(1,2,3,2),(2,1,3,2)\uff0c
\u5982\u679ci\u22652(\u5373a²+b²-ab\u22659)\u4e14n\u22653\uff0c\u90a3\u4e483|a+b\uff0c\u4e143²|a²+b²-ab=(a+b)²-3ab\uff0c\u22343²|3ab\uff0c\u53733|ab\uff0c\u22343|a\u4e143|b\uff0c\u8fd9\u6837(a/3)³+(b/3)³=(a/3+b/3)((a/3)²+(b/3)²-(a/3)(b/3))=3^(n-3)\uff0c\u82e5\u6b64\u65f6\u4ecd\u6709(a/3)²+(b/3)²-(a/3)(b/3)\u22659\u4e14n-3\u22653\uff0c\u90a3\u4e48\u91cd\u590d\u4ee5\u4e0a\u6b65\u9aa4\uff0c\u91cd\u590dk\u6b21\u4ee5\u540e(a/3^k)³+(b/3^k)³=(a/3^k+b/3^k)((a/3^k)²+(b/3^k)²-(a/3^k)(b/3^k))=3^(n-3k)\uff0c\u6b64\u65f6\u6709(a/3^k)²+(b/3^k)²-(a/3^k)(b/3^k)\u22643\u6216n-3k\u22642\uff0c\u5982\u4e0a\u5206\u6790\u6709a/3^k=1\uff0cb/3^k=2\uff0cn-3k=2\u6216a/3^k=2\uff0cb/3^k=1\uff0cn-3k=2\uff0c\u5373(a,b,p,n)=(3^k,2\u00b73^k,3,3k+2)\u6216(2\u00b73^k,3^k,3,3k+2)(k\u2208N)\u3002\u8fd9\u91cc(1,2,3,2)\u4e0e(2,1,3,2)\u8fd9\u4e24\u7ec4\u89e3\u4e5f\u53ef\u6982\u62ec\u8fdb\u6765\u3002\u7ecf\u68c0\u9a8c(3^k,2\u00b73^k,3,3k+2)\u4e0e(2\u00b73^k,3^k,3,3k+2)(k\u2208N)\u5747\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
\u5047\u5982p\u22603
\u5982\u679cn\u22642\uff0c\u6613\u77e5n\u22600\uff0c\u5f53n=1\u65f6a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=p\uff0c\u2234a²+b²-ab=1\u2265ab\uff0ca+b=p\uff0c\u2234a=b=1\uff0cp=2\uff0c\u6b64\u65f6\u5f97\u5230\u4e00\u7ec4\u89e3(1,1,2,1)\u3002\u5982\u679cn=2\uff0c\u6b64\u65f6a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=p^2\uff0c\u2234a+b=p^2\uff0ca²+b²-ab=1\u6216p=a+b=a²+b²-ab\u3002\u82e5\u662f\u524d\u8005\u5219a=b=1\uff0cp^2=2\uff0c\u77db\u76fe!\u6545p=a+b=a²+b²-ab\u2265ab\uff0c\u2234a\u2265b(a-1)\u3002\u82e5a,b\u90fd\u4e0d\u5c0f\u4e8e2\uff0c\u90a3\u4e48a\u2265b(a-1)\u22652(a-1)\uff0c\u5f97a\u22642\uff0c\u2234a=2\uff0c\u90a3\u4e48b²+4-2b=b+2\uff0c\u5f97b=1\u62162\uff0c\u2234p=3\u62164\uff0c\u77db\u76fe!\uff0c\u2234a,b\u81f3\u5c11\u6709\u4e00\u4e2a\u4e3a1\uff0c\u5f53a=1\u65f6\uff0cb²+1-b=b+1\uff0c\u5f97b=2\uff0c\u540c\u7406b=1\u65f6a=2\uff0c\u6b64\u65f6p=3\uff0c\u77db\u76fe!
\u7efc\u4e0an\u22642\u65f6\u6709\u4e00\u7ec4\u89e3(1,1,2,1)\u3002
\u5982\u679cn\u22653\uff0c\u90a3\u4e48(a/p)³+(b/p)³=p^(n-3)\uff0c\u6b64\u65f6\u82e5\u4ecd\u6709n-3\u22653\uff0c\u5219\u7ee7\u7eed\u91cd\u590d\uff0ck\u6b21\u540e(a/p^k)³+(b/p^k)³=p^(n-3k)\u3002\u8bbe\u6b64\u65f6\u521a\u597d\u4f7fn-3k\u22642\uff0c\u5982\u4e0a\u5206\u6790\uff0c\u6b64\u65f6a/p^k=b/p^k=1,p=2,n-3k=1\uff0c\u5f97a=b=2^k\uff0cp=2\uff0cn=3k+1\uff0c\u5373(a,b,p,n)=(2^k,2^k,2,3k+1)(k\u2208N)\uff0c(1,1,2,1)\u4e5f\u53ef\u5f52\u7eb3\u8fdb\u53bb\uff0c\u7ecf\u68c0\u9a8c(2^k,2^k,2,3k+1)(k\u2208N)\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3
\u7efc\u4e0a\u6240\u8ff0\uff0c(a,b,p,n)=(3^k,2\u00b73^k,3,3k+2)\u6216(2\u00b73^k,3^k,3,3k+2)\u6216(2^k,2^k,2,3k+1)(k\u2208N)
5.\u5047\u8bbe\u5b58\u5728\u8fd9\u6837\u7684n
\u56e0\u4e3an\u65e0\u5e73\u65b9\u56e0\u5b50\u4e14\u6070\u597d\u88ab2011\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u8d28\u6570\u6574\u9664\uff0c\u53ef\u8bben=p[1]p[2]...p[2011]\uff0c\u8fd9\u91ccp[1],p[2],...,p[2011]\u4e3a\u4e92\u4e0d\u76f8\u540c\u7684\u5947\u8d28\u6570(\u663e\u7136n\u4e3a\u5947\u6570)\u4e14p[1]<p[2]<...<p[2011]\u3002
\u2235n|2^n+1\uff0c\u2234p[1]|2^n+1\uff0c2^n\u2261-1(modp[1])\uff0c\u22342^(2n)\u22611(modp[1])\uff0c\u53c8\u6613\u77e5(p[1],2)=1\uff0c\u7531\u8d39\u9a6c\u5c0f\u5b9a\u7406\u5f972^(p[1]-1)\u22611(modp[1])\uff0c\u22342^(2n,p[1]-1)\u22611(modp[1])\u3002\u6613\u77e5n\u4e0ep[1]-1\u4e92\u8d28(\u5426\u5219n\u6709\u5c0f\u4e8ep[1]\u5927\u4e8e1\u7684\u56e0\u6570)\uff0c\u2234(2n,p[1]-1)=2\uff0c\u22342^2\u22611(modp[1])\uff0c\u5373p[1]|3\uff0cp[1]=3
\u8bbek=p[2]p[3]...p[2011]\uff0c\u90a3\u4e48p[2]|2^(3k)+1=8^k+1\uff0c\u22348^k\u2261-1(modp[2])\uff0c\u22348^(2k)\u22611(modp[2])\uff0c\u800c8^(p[2]-1)\u22611(modp[2])\uff0c\u22348^(2k,p[2]-1)\u22611(modp[2])\u3002\u53738^2\u22611(modp[2])\uff0c\u5f97p[2]|63\uff0c\u53c8p[2]\uff1e3\uff0c\u90a3\u4e48p[2]=7
\u22347|8^k+1\uff0c\u4f468^k+1\u22611^k+1\u22612(mod7)\uff0c\u77db\u76fe\uff01
\u2234\u8fd9\u6837\u7684n\u4e0d\u5b58\u5728
1.设实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，则a、b、c、d四个数( ).
A.必全为正实数
B.至少有一个负数
C.有且只有一个负数
D.以上都不对
2.已知△ABC三内角的弧度数为A、B、C，对应边长为a、b、c，记，则( ).
A.
B.
C.
D.
3.三个正实数a、b、c满足a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，下列说法正确的是( ).
A.以a、b、c为边长的三角形必为钝角三角形
B.以a、b、c为边长的三角形必为直角三角形
C.以a、b、c为边长的三角形必为锐角三角形
D.不存在以a、b、c为边长的三角形
4.由不全相等的正数xi(i=1，2，…，n)形成n个数：，，…，，，关于这n个数，下列说法正确的是( ).
A.这n个数都不大于2
B.这n个数都不小于2
C.至多有n-1个数不小于2
D.至多有n-1个数不大于2
5.已知三个正实数a、b、c满足a2+b2=c2·n是大于1的正整数，记当m＞n(m为正整数)时，有( ).
A.f(m)＞f(n)
B.f(m)＜f(n)
C.f(m)=f(n)
D.f(m)≥f(n)
6.设a、b、c、d都是正实数，下列三个不等式：
a+b＜c+d， ①
(a+b)(c+d)＜ab+cd， ②
(a+b)cd＜ab(c+d). ③
其中能同时成立的不等式至多有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题
7.已知f(x)=x2+bx+c.若|f(1)|＜.|f(2)|＜，则f(3)的取值范围为_____________.
8.实数a、b、c、d同时满足下列三个条件.
①d＞c；②a+b=c+d；③a+d＜b+c.
则a、b、c、d的大小顺序为_____________.
9.已知x、y、z均为实数，且，则|xyz|的最小值为__________.
10.已知a、b、c是某三角形三边的长.记p=(a2+b2+c2)2，q=2(a4+b4+c4)，则p与q的大小关系为________________.
11.用max{a，b，c}表示a、b、c三数中的最大者.若，，，其中x、y为正实数，，则max{a，b，c}=___________.
12.设△ABC三边长为a、b、c，且a+b+c=2，则a2+b2+c2+2abc与2的大小关系为________.
三、解答题
13.已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，三个正数p、q、r满足p+q+r=1，三个实数x1、x2、x3互不相等.求证：
pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)＞f(px1+qx2+rx3).
14.已知x，y，z∈R，且x+y+z=0.
求证：6(x3+y3+z3)2≤(x2+y2+z2)3.
15.记p=λ(a4+b4+c4)+μ(a2b2+b2c2+c2a2)，当a=b=c＞0或a=b＞0，c=0时，都有p≥0.
求证：当a、b、c为任意三角形三边长时，有p≥0.
参考答案
一、选择题
1.由a+b=c+d=1，得1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc，
∴ad+bc=1-(ac+bd)＜0.
故a、b、c、d中至少有一个负数，当a=-1，b=2，c=-2，d=3时满足题意，故选B.
2.由a＜b+c，得2a＜a+b+c.
∴
同理，.
∴
又
∴故选B.
3.由题设得
∴
∴，
∴c＞a.
而，
∴a+b＞c.故a、b、c是某一三角形三边的长.
，故选A.
4.∵，
∴这n个数之和可写成
由于xi(i=1，2，…，n)不全相等，
因此故A错.
取xi=i(i=1，2，…，n)知B错，
取xi=i+1(i=1，2，…，n)知C错.故应选D.
事实上，取，x2=x3=…=xn=1，满足D.
5.由a2+b2=c2设a=ccosθ，b=csinθ，
则，
∴
先比较f(n)与f(n+1)的大小；
∵[f(n)]n(n+1)-[f(n+1)]n(n+1)
=(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinn+1θ+cosn+1θ)n＞(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinnθ+cosnθ)n
=(sinnθ+cosnθ)n(sinθ+cosθ-1)
，
(∵，∴)，
∴f(n)＞f(n+1).
∴f(n)＞f(n+1)＞f(n+2)＞…＞f(m)，
故选B.
6.当cd≤ab时，
若①成立，则，
即③成立.
假设此时②成立，则有
(a+b)2＜(a+b)(c+d)＜ab+cd≤2ab.
∴，矛盾.
故①、③成立时，②一定不成立.
当cd＞ab时，
若③成立，则，∴①成立.
假定此时②成立，由③得
∴
∴，矛盾.
即③成立时，②必不成立.
综上，①、②、③中至多有2个成立，故选C.
二、填空题
7.
∴f(3)=9+3b+c=(1+b+c)+2b+8.
=f(1)+2f(2)-2f(1)+2
=2f(2)-f(1)+2.
由，
8.由③得0＜d-c＜b-a，∴a＜b.
由②得2a＜a+b=c+d＜2d，∴a＜d.
由
由③得b-d=c-a＞0，∴b＞d.
∴a、b、c、d四数的大小顺序为a＜c＜d＜b.
9.设，，，则a+b+c=1，且，，
∴，
当且仅当x2=y2=z2=2时，取“=”号.
∴，即|xyz|的最小值为
10.q-p=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2
=(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2
=(a2+b2-c2)2-(2ab)2
=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)＜0.
∴q＜p.
11.
同理
设，当0＜t1＜t2时，
∴f(t1)＜f(t2)，
即f(t)在(0，+∞)上为增函数.
由知1＜tanθ＜tan2θ，
∴f(1)＜f(tanθ)＜f(tan2θ)，
即a＜b＜c.
∴max{a，b，c}=c.
12.a2+b2+c2+2abc-2
=(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca+2abc-2
=2(1-ab-bc-ca+abc).
∵∴0＜a＜1.
同理，0＜b＜1，0＜c＜1，
∴(1-a)(1-b)(1-c)＞0.
∴a2+b2+c2+2abc＜2.
三、解答题
13.pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)
，
∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)-f(px1+qx2+rx3)
=apq(x1-x2)2+apr(x1-x3)2+aqr(x2-x3)2＞0.
∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)＞f(px1+qx2+rx3).
14.设x=rcosθ，y=rsinθ，
则z=-r(cosθ+sinθ).
当r=0时，原不等式显然成立；
当r≠0时，原不等式等价于证明
6[cos3θ+sin3θ-(cosθ+sinθ)3]2≤[cos2θ+sin2θ+(sinθ+cosθ)2]3，
即证25sin32θ+15sin22θ-24sin2θ-16≤0，
即证(sin2θ-1)(5sin2θ+4)2≤0.
此不等式显然成立，∴原不等式得证.
15.当a=b=c＞0时，；
当a=b＞0，c=0时，
(1)当λ≥0时，
p=λ(a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2)+(λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2)
；
(2)当λ＜0时，
p=λ(a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2)+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2)
=λ[(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2]+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2)
=λ(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)+(2λ+μ)(a2b2+b2c2+c2a2).
∴p≥0.
3、不等式>0的解集是 ( )
A．[2，3] B。（2，3） C。[2，4] D。（2，4）
[答案]C
你去买一套《天利38套》的单元专项训练，上面都是各个省份的卷子，算是好题。
或者《十年高考》，全是高考题，这上面的都是一些相当经典的方法，就连我们的老师都自愧不如，
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要题，这里有的是！听好了！已知X1+X2+X3+...Xn=1,求证X1平方/（X1+X2)+X2平方/（X2+X3）+...+Xn平方/（Xn+X1)大于或等于二分之一（Xn>0)题2求（X+Y+Z)五次-X5-Y5-Z5大于或等于（X+Y）x(Y+Z)x(Z+X)x(XY+YZ+ZX)x10
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