错排公式的简化公式 错排公式，讲解
\u9519\u6392\u516c\u5f0f\u662f\u4ec0\u4e48\u9012\u63a8\u7684\u65b9\u6cd5\u63a8\u5bfc\u9519\u6392\u516c\u5f0f\u3000\u3000\u5f53n\u4e2a\u7f16\u53f7\u5143\u7d20\u653e\u5728n\u4e2a\u7f16\u53f7\u4f4d\u7f6e,\u5143\u7d20\u7f16\u53f7\u4e0e\u4f4d\u7f6e\u7f16\u53f7\u5404\u4e0d\u5bf9\u5e94\u7684\u65b9\u6cd5\u6570\u7528M(n)\u8868\u793a,\u90a3\u4e48M(n-1)\u5c31\u8868\u793an-1\u4e2a\u7f16\u53f7\u5143\u7d20\u653e\u5728n-1\u4e2a\u7f16\u53f7\u4f4d\u7f6e,\u5404\u4e0d\u5bf9\u5e94\u7684\u65b9\u6cd5\u6570,\u5176\u5b83\u7c7b\u63a8.
\u3000\u3000\u7b2c\u4e00\u6b65,\u628a\u7b2cn\u4e2a\u5143\u7d20\u653e\u5728\u4e00\u4e2a\u4f4d\u7f6e,\u6bd4\u5982\u4f4d\u7f6ek,\u4e00\u5171\u6709n-1\u79cd\u65b9\u6cd5;
\u3000\u3000\u7b2c\u4e8c\u6b65,\u653e\u7f16\u53f7\u4e3ak\u7684\u5143\u7d20,\u8fd9\u65f6\u6709\u4e24\u79cd\u60c5\u51b5.1,\u628a\u5b83\u653e\u5230\u4f4d\u7f6en,\u90a3\u4e48,\u5bf9\u4e8e\u5269\u4e0b\u7684n-2\u4e2a\u5143\u7d20,\u5c31\u6709M(n-2)\u79cd\u65b9\u6cd5;2,\u4e0d\u628a\u5b83\u653e\u5230\u4f4d\u7f6en,\u8fd9\u65f6,\u5bf9\u4e8e\u8fd9n-2\u4e2a\u5143\u7d20,\u6709M(n-1)\u79cd\u65b9\u6cd5;
\u3000\u3000\u7efc\u4e0a\u5f97\u5230
\u3000\u3000M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
\u3000\u3000\u7279\u6b8a\u5730,M(1)=0,M(2)=1
\u3000\u3000\u4e0b\u9762\u901a\u8fc7\u8fd9\u4e2a\u9012\u63a8\u5173\u7cfb\u63a8\u5bfc\u901a\u9879\u516c\u5f0f:
\u3000\u3000\u4e3a\u65b9\u4fbf\u8d77\u89c1,\u8bbeM(k)=k!N(k), (k=1,2,\u2026,n)
\u3000\u3000\u5219N(1)=0,N(2)=1/2
\u3000\u3000n>=3\u65f6,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)
\u3000\u3000\u5373 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)
\u3000\u3000\u4e8e\u662f\u6709N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]\u2026(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n!
\u3000\u3000\u56e0\u6b64
\u3000\u3000N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
\u3000\u3000N(2)-N(1)=(-1)^2/2!
\u3000\u3000\u76f8\u52a0,\u53ef\u5f97
\u3000\u3000N(n)=(-1)^2/2!+\u2026+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
\u3000\u3000\u56e0\u6b64
\u3000\u3000M(n)=n![(-1)^2/2!+\u2026+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
\u3000\u3000\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230
\u3000\u3000\u9519\u6392\u516c\u5f0f\u4e3aM(n)=n!(1/2!-1/3!+\u2026..+(-1)^n/n!)
\u4e00\u6392\u4e5d\u4e2a\u5750\u4f4d\u6709\u516d\u4e2a\u4eba\u5750\uff0c\u82e5\u6bcf\u4e2a\u7a7a\u4f4d\u4e24\u8fb9\u90fd\u5750\u6709\u4eba\uff0c
\u5148\u5750\u4eba\uff0c\u5171\u67096\uff01=720\u79cd
\u518d\u5728\u4efb\u610f2\u4eba\u7684\u4e2d\u95f4\u6216\u662f\u5de6\u53f3\u7aef\u70b9\u5171\u63d2\u51653\u4e2a\u7a7a\u4f4d\uff0c\u67097\u4e2a\u4f4d\u7f6e\u53ef\u653e\u7a7a\u4f4d\u3002\u6240\u4ee5\u7a7a\u4f4d\u63d2\u6cd5\u4e3aC(7,3)=35\u79cd\u3002
\u5171\u670935*720=25200\u79cd\u65b9\u6848\u3002
\u7f16\u53f7\u4e3a1\uff0c2\uff0c3\uff0c4\uff0c5\u7684\u4e94\u4e2a\u4eba\uff0c\u5206\u522b\u5750\u5728\u7f16\u53f7\u4e3a1\uff0c2\uff0c3\uff0c4\uff0c5\u7684\u5ea7\u4f4d\u4e0a\uff0c
\u9519\u6392\u6570\u7684\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\u4e3aD(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2)\uff0c\u4e14D(1)=0,D(2)=1,D(3)=2,D(4)=9
\u5168\u9519\u7684\u5750\u6cd5\u6709D(5)=4*(2+9)=44\u79cd
\u53ea\u6709\u4e00\u4eba\u5750\u5bf9\u53f7\u7801\u7684\u67095*D(4)=5*9=45\u79cd
\u53ea\u6709\u4e8c\u4eba\u5750\u5bf9\u53f7\u7801\u7684\u6709C(5,2)*D(3)=10*2=20\u79cd
\u5219\u81f3\u591a\u6709\u4e24\u4e2a\u53f7\u7801\u4e00\u81f4\u7684\u5750\u6cd5\u79cd\u6570\u4e3a44+45+20=109\u79cd
\u5173\u4e8e\u9519\u6392\u7684\u95ee\u9898\uff0c\u8be6\u89c1\uff1ahttp://baike.baidu.com/view/668994.htm
一个供参考的简化后的公式是D(n) = [n!/e+0.5] ，其中e是自然对数的底，[x]为x的整数部分。
证明：
由于1/e = e^(-1) = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ..... + (-1)^n/n! + Rn(-1),
其中Rn(-1)是余项，等于(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)!，且u∈(-1, 0).
所以，D(n) = n! * e^(-1) - (-1)^(n+1) * e^u / (n+1), u∈(-1, 0).
而|n! Rn| = |(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)| = e^u / (n+1) ∈ (1/[e(n+1)], 1/(n+1))，可知即使在n=1时，该余项（的绝对值）也小于1/2。
因此，无论n! Rn是正是负，n! / e + 1/2的整数部分都一定与M(n)相同。
对于比较小的n，结果及简单解释是：
D(0) = 0（所有的元素都放回原位、没有摆错的情况）
D(1) = 0（只剩下一个元素，无论如何也不可能摆错）
D(2) = 1（两者互换位置）
D(3) = 2（ABC变成BCA或CAB）
D(4) = 9
D(5) = 44
D(6) = 265
D(7) = 1854
D(8) = 14833
D(9) = 133496
D(10) = 1334961
扩展资料
用容斥原理也可以推出错排公式：
正整数1, 2, 3, ……, n的全排列有 n! 种，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 种；当k分别取1, 2, 3, ……, n时，共有n*(n-1)!种排列是至少放对了一个的，由于所求的是错排的种数，所以应当减去这些排列；但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上。
在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为
D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1）^n*n!/n! = ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!,
即D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + ... + (-1)^n/n!].
其中，∑表示连加符号，k=2~n是连加的范围；0! = 1，可以和1!相消。
参考资料来源：百度百科-错排公式
错排公式的原形为D(n) = n! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ..... + (-1)^n/n!)，当n很大时计算就很不方便。一个供参考的简化后的公式是D(n) = [n!/e+0.5] ，其中e是自然对数的底，[x]为x的整数部分。
证明：
由于1/e = e^(-1) = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ..... + (-1)^n/n! + Rn(-1),
其中Rn(-1)是余项，等于(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)!，且u∈(-1, 0).
所以，D(n) = n! * e^(-1) - (-1)^(n+1) * e^u / (n+1), u∈(-1, 0).
而|n! Rn| = |(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)| = e^u / (n+1) ∈ (1/[e(n+1)], 1/(n+1))，可知即使在n=1时，该余项（的绝对值）也小于1/2。
因此，无论n! Rn是正是负，n! / e + 1/2的整数部分都一定与M(n)相同。
对于比较小的n，结果及简单解释是：
D(0) = 1（所有的元素都放回原位、没有摆错的情况）
D(1) = 0（只剩下一个元素，无论如何也不可能摆错）
D(2) = 1（两者互换位置）
D(3) = 2（ABC变成BCA或CAB）
D(4) = 9
D(5) = 44
D(6) = 265
D(7) = 1854
D(8) = 14833
D(9) = 133496
D(10) = 1334961
绛旓細閿欐帓鍏紡鐨鍘熷舰涓篋(n) = n! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ... + (-1)^n/n!)锛屽綋n寰堝ぇ鏃惰绠楀氨寰堜笉鏂逛究銆備竴涓緵鍙傝鐨勭畝鍖鍚庣殑鍏紡鏄疍(n) = [n!/e+0.5] 锛屽叾涓璭鏄嚜鐒跺鏁扮殑搴曪紝[x]涓簒鐨勬暣鏁伴儴鍒嗐傝瘉鏄庯細鐢变簬1/e = e^(-1) = 1/0! - 1/1! + 1/2!
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