求函数f（x）＝（1-x）/（1+x）在x＝0处带拉格朗日型余项的n阶泰勒展开式 求函数f（x）=1?x1+x在x=0点处带拉格朗日型余项的n...
\u6c42\u51fd\u6570f\uff08x\uff09= 1−x 1+x \u5728x=0\u70b9\u5904\u5e26\u62c9\u683c\u6717\u65e5\u578b\u4f59\u9879\u7684n\u9636\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u5f0f\uff0e1/(1+x) = 1-x+x^2+....
|x| <1
\u51fd\u6570f\uff08x\uff09\u5728x=0\u70b9\u5904\u4ee3\u62c9\u683c\u6717\u65e5\u578b\u4f59\u9879n\u9636\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u5f0f\u4e3a\uff1af(x)\uff1df(0)+f\u2032(0)x+12!f\u2033(0)x2+\u2026+1n!f(n)(0)xn+1(n+1)!f(n+1)(\u03b8x)xn+1\uff0ef(x)\uff1d1?x1+x\uff1d?1+21+x\uff0c\u56e0\u4e3a(11+x)(n)\uff1d(?1)nn!(1+x)n+1\uff0c\u6240\u4ee5\uff0cf(x)\uff1d?1+2\u00d711+x=-1+2\u00d7[1-x+x2-x3+\u2026+\uff08-1\uff09nxn+(?1)n+11(1+\u03b8x)n+2xn+1]=1?2x+2x2?2x3+\u2026+(?1)n2xn+(?1)n+12xn+1(1+\u03b8x)n+2\uff0c0\uff1c\u03b8\uff1c1\uff0e
过程如下：
令t=x-1，则有x=t+1，展开为x0=1处的泰勒公式即相当于展开为t的公式：
f(x)=1/x
=1/(1+t)
=1-t+t^2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ R(n)t^(n+1)
f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)
f^(ζ)=(-1)^n*n!/(1+ζ)^(n+1)
R(n)=(-1)^n/(1+ζ)^(n+1)
扩展资料：
泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
1、佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项：
其中θ∈（0,1），p为任意正整数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）
3、拉格朗日（Lagrange）余项：
其中θ∈（0,1）。
4、柯西（Cauchy）余项：
其中θ∈（0,1）。
5、积分余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
令t=x-1,则有x=t+1,展开为x0=1处的泰勒公式即相当于展开为t的公式：
f(x)=1/x=1/(1+t)=1-t+t^2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ R(n)t^(n+1)
f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)
f^(ζ)=(-1)^n*n!/(1+ζ)^(n+1)
R(n)=(-1)^n/(1+ζ)^(n+1)
扩展资料
泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：
1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。
2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。
3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。
4、证明不等式。
5、求待定式的极限。
令t=x-1,则有x=t+1,展开为x0=1处的泰勒公式即相当于展开为t的公式：
f(x)=1/x=1/(1+t)=1-t+t^2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ R(n)t^(n+1)
f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)
f^(ζ)=(-1)^n*n!/(1+ζ)^(n+1)
R(n)=(-1)^n/(1+ζ)^(n+1)
绛旓細杩囩▼濡備笅锛氫护t=x-1锛屽垯鏈墄=t+1锛屽睍寮涓簒0=1澶勭殑娉板嫆鍏紡鍗崇浉褰撲簬灞曞紑涓簍鐨勫叕寮忥細f(x)=1/x =1/(1+t)=1-t+t^2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ R(n)t^(n+1)f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)f^(味)=(-1)^n*n!/(1+味)^(n+1)R(n)=(-1)^n/(1...
绛旓細瑙ｄ綘濂鍑芥暟鏄f(x)=锛1-x锛/锛1+x锛夊垯f锛1锛=锛1-1锛/锛1+1锛=0/2=0 f锛4锛=锛1-4锛/(1+4)=-3/5 f(-5)=(1-(-5))/(1+(-4))=6/(-3)=-2 f(a+3)=(1-(a+3))/(1+a+3)=(-a-2)/(a+4).
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绛旓細f(1-x)=f(1+x)锛宖(2-x)=f(2+x)f(x)=f[1-(1-x)]=f[1+(1-x)]=f(2-x)=f(2+x)f(-x)=f[1-(1+x)]=f[1+(1+x)]=f(2+x)f(x)=f(-x)鍑芥暟鏄伓鍑芥暟銆
绛旓細瑙ｏ細锛1锛夌敱浜1锛峹鏄湡鏁帮紝鎵浠1锛峹锛0锛岃В寰梮锛1锛涒埓f锛坸锛夛紳ln锛1锛峹锛鐨勫畾涔夊煙鏄紙锛嶁垶锛1锛夛紱锛2锛塮锛坸锛夛紳ln锛1锛峹锛夆埓f锛囷紙x锛夛紳1锛忥紙x锛1锛夊綋x锛1鏃讹紝f锛囷紙x锛夛紳1锛忥紙x锛1锛夛紲0锛屸埓f锛坸锛夛紳ln锛1锛峹锛夊湪x鈭堬紙锛嶁垶锛1锛変笂鏄崟璋冨噺鍑芥暟锛沠锛坸锛夛紳ln锛1锛峹锛...
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