勾股数有哪些 常见的勾股数有哪些
\u5e38\u7528\u7684\u52fe\u80a1\u6570\u6709\u54ea\u4e9b\u5e38\u7528\u7684\u52fe\u80a1\u6570\u6709\uff1a3\u30014\u30015\uff1b5\u300112\u300113\uff1b7\u300124\u300125\uff1b8\u300115\u300117\uff1b9\u300140\u300141\u7b49\u7b49\u3002
\u52fe\u80a1\u6570\uff0c\u53c8\u540d\u6bd5\u6c0f\u4e09\u5143\u6570 \u3002\u52fe\u80a1\u6570\u5c31\u662f\u53ef\u4ee5\u6784\u6210\u4e00\u4e2a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9\u7684\u4e00\u7ec4\u6b63\u6574\u6570\u3002\u52fe\u80a1\u6570\u7684\u4f9d\u636e\u662f\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u3002\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u662f\u4eba\u7c7b\u65e9\u671f\u53d1\u73b0\u5e76\u8bc1\u660e\u7684\u91cd\u8981\u6570\u5b66\u5b9a\u7406\u4e4b\u4e00\u3002
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u8bf4\u660e\uff0c\u5e73\u9762\u4e0a\u7684\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u4e24\u6761\u76f4\u89d2\u8fb9\u7684\u957f\u5ea6\uff08\u53e4\u79f0\u52fe\u957f\u3001\u80a1\u957f\uff09\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u7b49\u4e8e\u659c\u8fb9\u957f\uff08\u53e4\u79f0\u5f26\u957f\uff09\u7684\u5e73\u65b9\u3002\u53cd\u4e4b\uff0c\u82e5\u5e73\u9762\u4e0a\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\u4e24\u8fb9\u957f\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u7b49\u4e8e\u7b2c\u4e09\u8fb9\u8fb9\u957f\u7684\u5e73\u65b9\uff0c\u5219\u5b83\u662f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff08\u76f4\u89d2\u6240\u5bf9\u7684\u8fb9\u662f\u7b2c\u4e09\u8fb9\uff09\u3002
\u636e\u300a\u5468\u9ac0\u7b97\u7ecf\u300b\u4e2d\u8bb0\u8ff0\uff0c\u516c\u5143\u524d\u4e00\u5343\u591a\u5e74\u5468\u516c\u4e0e\u5546\u9ad8\u8bba\u6570\u7684\u5bf9\u8bdd\u4e2d\uff0c\u5546\u9ad8\u5c31\u4ee5\u4e09\u56db\u4e943\u4e2a\u7279\u5b9a\u6570\u4e3a\u4f8b\u8be6\u7ec6\u89e3\u91ca\u4e86\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u8981\u7d20\u3002
\u53e4\u57c3\u53ca\u5728\u516c\u5143\u524d2600\u5e74\u7684\u7eb8\u838e\u8349\u5c31\u6709\uff083,4,5\uff09\u8fd9\u4e00\u7ec4\u52fe\u80a1\u6570\uff0c\u800c\u53e4\u5df4\u6bd4\u4f26\u6ce5\u677f\u6d89\u53ca\u7684\u6700\u5927\u7684\u4e00\u4e2a\u52fe\u80a1\u6570\u7ec4\u662f\uff0812709\uff0c13500\uff0c18541\uff09\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u8bc1\u660e
\u4e00\u3001\u8d75\u723d\u52fe\u80a1\u5706\u65b9\u56fe\u8bc1\u660e\u6cd5
\u4e2d\u56fd\u4e09\u56fd\u65f6\u671f\u8d75\u723d\u4e3a\u8bc1\u660e\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u4f5c\u201c\u52fe\u80a1\u5706\u65b9\u56fe\u201d\u5373\u201c\u5f26\u56fe\u201d\uff0c\u6309\u5176\u8bc1\u660e\u601d\u8def\uff0c\u5176\u6cd5\u53ef\u6db5\u76d6\u6240\u6709\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u4e3a\u4e1c\u65b9\u7279\u8272\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u65e0\u5b57\u8bc1\u660e\u6cd5\u30022002\u5e74\u7b2c24\u5c4a\u56fd\u9645\u6570\u5b66\u5bb6\u5927\u4f1a\uff08ICM\uff09\u5728\u5317\u4eac\u53ec\u5f00\u3002\u4e2d\u56fd\u90ae\u653f\u53d1\u884c\u4e00\u679a\u90ae\u8d44\u660e\u4fe1\u7247\uff0c\u90ae\u8d44\u56fe\u5c31\u662f\u8fd9\u6b21\u5927\u4f1a\u7684\u4f1a\u6807\u2014\u4e2d\u56fd\u53e4\u4ee3\u8bc1\u660e\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u7684\u8d75\u723d\u5f26\u56fe\u3002
\u4e8c\u3001\u5218\u5fbd\u201c\u5272\u8865\u672f\u201d\u8bc1\u660e\u6cd5
\u4e2d\u56fd\u9b4f\u664b\u65f6\u671f\u4f1f\u5927\u6570\u5b66\u5bb6\u5218\u5fbd\u4f5c\u300a\u4e5d\u7ae0\u7b97\u672f\u6ce8\u300b\u65f6\uff0c\u4f9d\u636e\u5176\u201c\u5272\u8865\u672f\u201d\u4e3a\u8bc1\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u53e6\u8f9f\u8e4a\u5f84\u800c\u4f5c\u201c\u9752\u6731\u51fa\u5165\u56fe\u201d\u3002\u5218\u5fbd\u63cf\u8ff0\u6b64\u56fe\uff0c\u201c\u52fe\u81ea\u4e58\u4e3a\u6731\u65b9\uff0c\u80a1\u81ea\u4e58\u4e3a\u9752\u65b9\uff0c\u4ee4\u51fa\u5165\u76f8\u8865\uff0c\u5404\u4ece\u5176\u7c7b\uff0c\u56e0\u5c31\u5176\u4f59\u4e0d\u52a8\u4e5f\uff0c\u5408\u6210\u5f26\u65b9\u4e4b\u5e42\u3002\u5f00\u65b9\u9664\u4e4b\uff0c\u5373\u5f26\u4e5f\u3002\u201d
\u5176\u5927\u610f\u4e3a\uff0c\u4e00\u4e2a\u4efb\u610f\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\uff0c\u4ee5\u52fe\u5bbd\u4f5c\u7ea2\u8272\u6b63\u65b9\u5f62\u5373\u6731\u65b9\uff0c\u4ee5\u80a1\u957f\u4f5c\u9752\u8272\u6b63\u65b9\u5f62\u5373\u9752\u65b9\u3002\u5c06\u6731\u65b9\u3001\u9752\u65b9\u4e24\u4e2a\u6b63\u65b9\u5f62\u5bf9\u9f50\u5e95\u8fb9\u6392\u5217\uff0c\u518d\u8fdb\u884c\u5272\u8865\u2014\u4ee5\u76c8\u8865\u865a\uff0c\u5206\u5272\u7ebf\u5185\u4e0d\u52a8\uff0c\u7ebf\u5916\u5219\u201c\u5404\u4ece\u5176\u7c7b\u201d\uff0c\u4ee5\u5408\u6210\u5f26\u7684\u6b63\u65b9\u5f62\u5373\u5f26\u65b9\uff0c\u5f26\u65b9\u5f00\u65b9\u5373\u4e3a\u5f26\u957f\u3002
1\u3001\u5e38\u89c1\u7ec4\u5408\uff1a
3\uff0c4\uff0c5 \uff1a \u52fe\u4e09\u80a1\u56db\u5f26\u4e94
5\uff0c12\uff0c13 \uff1a 5\u00b721\uff0812\uff09\u8bb0\u4e00\u751f\uff0813\uff09
6\uff0c8\uff0c10\uff1a \u8fde\u7eed\u7684\u5076\u6570
2\u3001\u7279\u6b8a\u7ec4\u5408\uff1a
\u8fde\u7eed\u7684\u52fe\u80a1\u6570\u53ea\u67093\uff0c4\uff0c5
\u8fde\u7eed\u7684\u5076\u6570\u52fe\u80a1\u6570\u53ea\u67096\uff0c8\uff0c10
\u52fe\u80a1\u6570\uff0c\u53c8\u540d\u6bd5\u6c0f\u4e09\u5143\u6570 \u3002\u52fe\u80a1\u6570\u5c31\u662f\u53ef\u4ee5\u6784\u6210\u4e00\u4e2a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u4e09\u8fb9\u7684\u4e00\u7ec4\u6b63\u6574\u6570\u3002\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff1a\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u4e24\u6761\u76f4\u89d2\u8fb9a\u3001b\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u7b49\u4e8e\u659c\u8fb9c\u7684\u5e73\u65b9\uff08a²+b²=c²\uff09\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4e00\u3001\u516c\u5f0f
a=m\uff0cb=(m^2 / k - k) / 2\uff0cc=(m^2 / k + k) / 2 \u2460
\u5176\u4e2dm \u22653
1\u3001\u5f53m\u786e\u5b9a\u4e3a\u4efb\u610f\u4e00\u4e2a \u22653\u7684\u5947\u6570\u65f6\uff0ck={1\uff0cm^2\u7684\u6240\u6709\u5c0f\u4e8em\u7684\u56e0\u5b50}
2\u3001\u5f53m\u786e\u5b9a\u4e3a\u4efb\u610f\u4e00\u4e2a \u22654\u7684\u5076\u6570\u65f6\uff0ck={m^2 / 2\u7684\u6240\u6709\u5c0f\u4e8em\u7684\u5076\u6570\u56e0\u5b50}
\u4e8c\u3001\u5e38\u89c1\u7ec4\u5408\u5957\u8def
1\u3001\u5f53a\u4e3a\u5927\u4e8e1\u7684\u5947\u65702n+1\u65f6\uff0cb=2n²+2n, c=2n²+2n+1\u3002
\u5b9e\u9645\u4e0a\u5c31\u662f\u628aa\u7684\u5e73\u65b9\u6570\u62c6\u6210\u4e24\u4e2a\u8fde\u7eed\u81ea\u7136\u6570\uff0c\u4f8b\u5982\uff1a
n=1\u65f6(a,b,c)=(3,4,5)
n=2\u65f6(a,b,c)=(5,12,13)
n=3\u65f6(a,b,c)=(7,24,25)
2\u3001\u5f53a\u4e3a\u5927\u4e8e4\u7684\u5076\u65702n\u65f6\uff0cb=n²-1, c=n²+1
\u4e5f\u5c31\u662f\u628aa\u7684\u4e00\u534a\u7684\u5e73\u65b9\u5206\u522b\u51cf1\u548c\u52a01\uff0c\u4f8b\u5982\uff1a
n=3\u65f6(a,b,c)=(6,8,10)
n=4\u65f6(a,b,c)=(8,15,17)
n=5\u65f6(a,b,c)=(10,24,26)
n=6\u65f6(a,b,c)=(12,35,37)
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\uff0d\u52fe\u80a1\u6570
常见的特殊勾股数：3 4 5；5 12 13； 6 8 10；8，15，17；9 12 15；7 24 25；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35；21 72 75；22 120 122；24 32 40；24 45 51；24 70 74；25 60 65；27 36 45；28 45 53；30 40 50；30 72 78；32 60 68；33 44 55；33 56 65；35 84 91；36 48 60；36 77 85；39 52 65；39 80 89；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104；42 56 70 ； 45 60 75 ； 48 55 73 ； 48 64 80 ； 48 90 102 ； 51 68 85 ；54 72 90 ； 56 90 106 ； 57 76 95 ； 60 63 87 ； 60 80 100 ；60 91 109 ； 63 84 105 ； 65 72 97 ； 66 88 110 ； 69 92 115 ；72 96 120 ； 75 100 125 ； 80 84 116等等。
勾股数满足勾股定理。
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
常见的勾股数有：
（3 4 5 ）、（5 12 13 ）、（7 24 25）、（9 40 41 ）、（11 60 61 ）、（13 84 85 ）。
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈n
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n,
c=2*n^2+2*n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
...
...
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1,
c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
...
...
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n
(n>=2),
b=4*n^2-1,
c=4*n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
...
...
3 4 5 ）、（5 12 13 ）、（7 24 25）、（9 40 41 ）、（11 60 61 ）、（13 84 85 ）
勾股数又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。
勾股定理的日常应用：
(1)理解方向角等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决航海中距离问题。
(2)判定实际问题中两线段是否垂直的问题。以已知线段为边构造三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。
(3)解决折叠问题。正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程的思想，用代数方法解题 。
(4)圆柱侧面上两点问题。转化为将侧面展开成平面长方形，构造直角三角形，利用勾股定理解决。
(5)其它涉及直角三角形的问题。
（3 4 5 ）、（5 12 13 ）、（7 24 25）、（9 40 41 ）、（11 60 61 ）、（13 84 85 ）。 勾股数又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²）。 勾股定理的日常应用： (1)理解方向角等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决航海中距离问题。 (2)判定实际问题中两线段是否垂直的问题。以已知线段为边构造三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。 (3)解决折叠问题。正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程的思想，用代数方法解题 。 (4)圆柱侧面上两点问题。转化为将侧面展开成平面长方形，构造直角三角形，利用勾股定理解决。 (5)其它涉及直角三角形的问题。
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