如何求∫(sinx)^6 dx的通解。

【题目】求不定积分∫(sinx)^6 dx。（注：原题有误，应不存在“通解”二字之说）

【计算结果】

【计算思路】

1、将阶处理。运用三角函数的倍角关系，将(sinx)^6 转换成(1-cos2x)³/2³

2、运用完全立方和公式，将(1-cos2x)³展开计算

3、运用积分运算法则和基本公式，进行计算

4、将阶处理。运用三角函数的倍角关系，将(cos²2x) 转换成(1+cos4x)/2

5、将阶处理。运用三角函数的基本关系，将(cos³2x) 转换成(1-sin²2x)cos2x

6、运用积分运算法则和基本公式，进行计算

7、最后合并同类项，得到其结果

【计算过程】

解法一（降价法）：

解法二（套三角简化积分公式）：

【本题知识点】

1、不定积分。设f(x)在某区间I上有定义，如果存在函数F(x)，使得对于任一x∈I，成立F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的原函数，且f(x)的不定积分为

∫f(x)dx=F(x)+C

式中：∫——积分号，f(x)dx——被积式，f(x)——被积函数，F(x)——原函数，C——积分常数

注意：如果将求导看成一种运算，那么积分是其逆运算，也就是已知f(x)，要找一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，所以相对而言，积分比求导要困难。

2、不定积分法则。

3、凑微分法。凑微分法，把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法，换元积分两种方法中第一类换元积分法的别称。

例如本题中，d(sin2x)就是凑微分的形式，把(sin2x)可以看成是一个新的变量。

4、完全立方和公式。

(a＋b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

5、基本三角函数关系。

sinα·cscα=1

cosα·secα=1

tanα·cotα=1

sin²α+cos²α=1

sec²α-tan²α=1

csc²α-cot²α=1

tanα=sinα/cosα

cotα=cosα/sinα

6、三角函数的基本公式。

我们可以使用三角恒等式将被积函数中的三角函数转换成幂函数，然后使用换元法或者部分分式分解来求解。
具体地，我们有：
sin^6x = (sin^2x)^3 = (1-cos^2x)^3 = 1 - 3cos^2x + 3cos^4x - cos^6x
因此，
∫(sinx)^6 dx = ∫[1 - 3cos^2x + 3cos^4x - cos^6x] dx
我们可以依次计算每一项的积分。其中，1的积分是x加一个常数，而cos^2x的积分是 sinx/2 + x/2，cos^4x的积分是 (3/8)sin2x + (3/4)x，而cos^6x的积分可以使用三角恒等式变成：
cos^6x = (cos^2x)^3 = (1-sin^2x)^3 = 1 - 3sin^2x + 3sin^4x - sin^6x
因此，
∫cos^6x dx = ∫[1 - 3sin^2x + 3sin^4x - sin^6x] dx
我们再次依次计算每一项的积分。其中，1的积分是x加一个常数，而sin^2x的积分是 (1/2)x - (1/4)sin2x，sin^4x的积分可以使用三角恒等式变成：
sin^4x = (1-cos^2x)^2 = 1 - 2cos^2x + cos^4x
因此，
∫sin^4x dx = ∫[1 - 2cos^2x + cos^4x] sinxdx
我们再次依次计算每一项的积分。其中，1的积分是x加一个常数，cos^2x的积分可以使用三角恒等式变成：
cos^2x = (1+cos2x)/2
因此，
∫cos^2x sinxdx = ∫[(1+cos2x)/2] sinxdx = (1/2)∫sinxdx + (1/2)∫cos2x sinxdx = -(1/2)cosx + (1/4)sin2x
接下来我们把每一步的结果合起来，得到：
∫(sinx)^6 dx = x - 3/4sinx + 3/32sin2x - 1/32sin3x + 1/192sin4x - 1/192sin5x + C
其中C是一个常数，可以是任意实数。这就是所求的通解。

∫ (sinx)^6 dx
=∫ [(sinx)^2]^3 dx
=(1/8)∫ [ 1- cos2x ]^3 dx
= (1/8)∫ [ 1- 3cos2x + 3(cos2x)^2 - (cos2x)^3 ]dx
=(1/8)[ x - (3/2)sin2x] +(3/8)∫ (cos2x)^2 dx-(1/8)∫ (cos2x)^3 dx
=(1/8)[ x - (3/2)sin2x ]+(3/16)∫ (1+cos4x) dx-(1/16)∫ (cos2x)^2 dsin2x
=(1/8)[ x - (3/2)sin2x ] +(3/16)[x+(1/4)sin4x] -(1/16)∫[1- (sin2x)^2] dsin2x
=(1/8)[ x - (3/2)sin2x ] +(3/16)[x+(1/4)sin4x] -(1/16)[sin2x- (1/3)(sin2x)^3] +C

扩展阅读：求∫ sinx 3dx ... sin诱导公式表 ... ∫ sinx 4dx ... sin π x ... sin公式大全 ... sin x+y ... sin 2π x ... ∫sinx 4 ... 三角函数诱导公式大全 ...