二项展开式
二项式展开公式：（a+b)^n=a^n+C(n，1)a^(n-1)b+C(n，2)a^(n-2)b^2+...+C(n，n-1)ab^(n-1)+b^n。
二项展开式是依据二项式定理对（a+b)n进行展开得到的式子，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出。二项展开式是高考的一个重要考点。在二项式展开式中，二项式系数是一些特殊的组合数，与术语“系数”是有区别的。二项式系数最大的项是中间项，而系数最大的项却不一定是中间项。
相关内容：
二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。
此图即为直到六次幂的二项式系数表，但是，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。
绛旓細浜岄」灞曞紑寮鐨勯氶」鍏紡鏄疶锛坮+1锛=C锛坣锛宺)a^(n-r)b^r T锛坮+1锛夎〃绀轰簩椤瑰睍寮寮忕殑绗瑀+1椤癸紝C锛坣锛宺)琛ㄧずn涓暟涓彇r涓暟鐨勭粍鍚坁琛ㄧず娆℃柟锛岃〃绀哄悗闈㈢殑鏁版槸鍓嶉潰鐨勬暟鐨勪笂鏍囨鏂圭殑鎰忔濄備簩椤瑰睍寮寮忔槸渚濇嵁浜岄」寮忓畾鐞嗗(a+b)n杩涜灞曞紑寰楀埌鐨勫紡瀛愶紝鐢辫壘钀ㄥ厠路鐗涢】浜1664-1665骞撮棿鎻愬嚭銆備簩椤...
绛旓細灞曞紑寮忕殑閫氶」鍏紡涓猴細T(r+1)=C(r,n)a^nb^(n-r)銆浜岄」灞曞紑寮鏄緷鎹簩椤瑰紡瀹氱悊瀵(a+b)^n杩涜灞曞紑寰楀埌鐨勫紡瀛愩傚湪浜岄」寮忓睍寮寮忎腑锛屼簩椤瑰紡绯绘暟鏄竴浜涚壒娈婄殑缁勫悎鏁般傚鏋滄暟鍒梴an}鐨勭n椤筧n涓巒涔嬮棿鐨勫叧绯诲彲浠ョ敤涓涓叕寮忔潵琛ㄧず锛岃繖涓叕寮忓彨鍋氭暟鍒楃殑閫氶」鍏紡銆傚埄鐢ㄩ氶」鍏紡锛屽緢瀹规槗灏卞彲浠ユ眰鍑烘煇涓...
绛旓細浜岄」寮忓畾鐞灞曞紑寮鍏紡涓猴細^n = a^n + Ca^b + Ca^b^2 + ... + Ca^b^i + ... + b^n銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鏄敤鏉ュ睍寮褰㈠^n鐨勫紡瀛愶紝鎻ず浜嗚寮忓瓙涓浜岄」绯绘暟涔嬮棿鐨勫瘑鍒囪仈绯汇傚畾鐞嗙殑灞曞紑寮忔竻妤氬湴琛ㄦ槑浜嗗浣曚粠鍗曢」寮忔瀯寤哄椤瑰紡鐨勬墍鏈夊彲鑳芥柟寮忋傚叿浣撳埌姣忎竴涓」鏉ヨ锛屽畠浠敱绯绘暟鍜宎銆乥鐨勫箓娆＄浉涔樺緱...
绛旓細n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n.浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鍙堢О鐗涢】浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鐢辫壘钀ㄥ厠路鐗涢】浜1664-1665骞存彁鍑恒傚叕寮忎负:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n 寮忎腑,C(n,i)琛ㄧず浠巒涓厓绱犱腑浠诲彇i涓殑缁勫悎鏁=n!/(n-i)!i!
绛旓細浜岄」灞曞紑寮鏄緷鎹簩椤瑰紡瀹氱悊瀵(a+b)?杩涜灞曞紑寰楀埌鐨勫紡瀛愩傚湪浜岄」寮忓睍寮寮忎腑锛屼簩椤瑰紡绯绘暟鏄竴浜涚壒娈婄殑缁勫悎鏁帮紝涓庢湳璇滅郴鏁扳濇槸鏈夊尯鍒殑銆備簩椤瑰紡绯绘暟鏈澶х殑椤规槸涓棿椤癸紝鑰岀郴鏁版渶澶х殑椤瑰嵈涓嶄竴瀹氭槸涓棿椤广
绛旓細鍚嶈瘝瑙ｉ噴锛浜岄」寮忓畾鐞嗭紙鑻辫锛歜inomial theorem锛夛紝鍙堢О鐗涢】浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鐢辫壘钀ㄥ厠路鐗涢】浜1664骞淬1665骞撮棿鎻愬嚭銆傝瀹氱悊缁欏嚭涓や釜鏁颁箣鍜岀殑鏁存暟娆″箓璇稿灞曞紑涓虹被浼奸」涔嬪拰鐨勬亽绛夊紡銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忓疄鏁版骞傦紝鍗冲箍涔変簩椤瑰紡瀹氱悊銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鏈鍒濈敤浜庡紑楂樻鏂广傚湪涓浗锛屾垚涔︿簬1涓栫邯鐨勩婁節绔犵畻鏈嬫彁鍑...
绛旓細浜岄」寮忓畾鐞嗭紙鑻辫锛欱inomial theorem锛夛紝鍙堢О鐗涢】浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鐢辫壘钀ㄥ厠路鐗涢】浜1664骞淬1665骞撮棿鎻愬嚭銆傝瀹氱悊缁欏嚭涓や釜鏁颁箣鍜岀殑鏁存暟娆″箓璇稿灞曞紑涓虹被浼奸」涔嬪拰鐨勬亽绛夊紡銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忓疄鏁版骞傦紝鍗冲箍涔変簩椤瑰紡瀹氱悊銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鐢ㄤ互涓嬪叕寮忚〃绀猴細鍏朵腑锛屽張鏈 绛夎娉曪紝绉颁负浜岄」寮忕郴鏁(binomial ...
绛旓細浜岄」灞曞紑寮鐨勯氶」鍏紡鏄疶锛坮+1锛=C锛坣锛宺)a^(n-r)b^rT锛坮+1锛夈備簩椤瑰睍寮寮忕殑鎬ц川锛岄」鏁帮細n+1椤广佺k+1椤圭殑浜岄」寮忕郴鏁版槸C銆佸湪浜岄」灞曞紑寮忎腑锛屼笌棣栨湯涓ょ绛夎窛绂荤殑涓ら」鐨勪簩椤瑰紡绯绘暟鐩哥瓑銆佸鏋滀簩椤瑰紡鐨勫箓鎸囨暟鏄伓鏁帮紝涓棿鐨勪竴椤圭殑浜岄」寮忕郴鏁版渶澶с傚鏋滀簩椤瑰紡鐨勫箓鎸囨暟鏄鏁帮紝涓棿涓ら」鐨勭殑...
绛旓細浜屾椤瑰畾鐞嗗睍寮寮忎负锛氾紙a+b锛塣n=Cn^0*a^n+Cn^1*a^n-1b^1+鈥+Cn^r*a^n-rb^r+鈥+Cn^n*b^n锛坣鈭圢*锛夈傚彸杈圭殑澶氶」寮忓彨鍋氾紙a+b锛塶鐨勪簩娆″睍寮寮忥紝鍏朵腑鐨勭郴鏁癈n^r锛坮=0锛1锛屸︹锛夊彨鍋氫簩娆￠」绯绘暟锛屽紡涓殑Cn^r*a^n-rb^r鍙仛浜岄」灞曞紑寮鐨勯氶」锛岀敤Tr+1琛ㄧず锛屽嵆閫氶」涓...
绛旓細浜岄」寮忓畾鐞嗗叕寮弔k+1=Cnkan-kbk銆浜岄」灞曞紑寮鐨勭壒鐐 1銆侀」鏁板睍寮寮忔湁鍏眓+1椤癸紱绯绘暟锛氶兘鏄粍鍚堟暟锛屼緷娆′负Cn掳锛孋n锛孋n2锛孋n3绛夛紝鎸囨暟鐨勭壒鐐癸細a鐨勬寚鏁扮敱n涓0锛堥檷骞傦級锛沚鐨勬寚鏁扮敱0涓n锛堝崌骞傦級锛沘鍜宐鐨勬寚鏁板拰涓簄锛涘埄鐢ㄤ簩椤瑰紡瀹氱悊鍜屽睍寮寮忕殑閫氶」鍏紡鍙互姹傛煇浜涚壒娈婇」锛屽鍚煇涓箓鐨勯」銆佸父鏁伴」銆佹湁...
