二次项定理展开式公式 二次项展开式公式
\u4e8c\u6b21\u9879\u5b9a\u7406\u516c\u5f0f\u662f\u4ec0\u4e48\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\uff0c\u53c8\u79f0\u4e3a\u725b\u987f\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u3002\u5b83\u662f\u7531\u827e\u8428\u514b\u00b7\u725b\u987f\uff08Newton\uff0cIsaac\uff0c1642-1727)\u4e8e1665\u5e74\u53d1\u73b0\u7684\u3002 (a+b)^n\uff1dCn^0*an+Cn^1*an-1b1+\u2026+Cn^r*an-rbr+\u2026+Cn^n*bn(n\u2208N*) \u8fd9\u4e2a\u516c\u5f0f\u53eb\u505a\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\uff0c\u53f3\u8fb9\u7684\u591a\u9879\u5f0f\u53eb\u505a(a+b)n\u7684\u4e8c\u6b21\u5c55\u5f00\u5f0f\uff0c\u5176\u4e2d\u7684\u7cfb\u6570Cnr(r\uff1d0,1,\u2026\u2026n)\u53eb\u505a\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\uff0c\u5f0f\u4e2d\u7684Cnran-rbr.\u53eb\u505a\u4e8c\u9879\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u901a\u9879\uff0c\u7528Tr+1\u8868\u793a\uff0c\u5373\u901a\u9879\u4e3a\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u7b2cr+1\u9879\uff1aTr+1\uff1dCnran-rbr. \u8bf4\u660e \u2460Tr+1\uff1dcn^r*a^n-r*b^r\u662f(a+b)n\u7684\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u7b2cr+1\u9879.r\uff1d0,1,2,\u2026\u2026n.\u5b83\u548c(b+a)n\u7684\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u7b2cr+1\u9879Cnrbn-rar\u662f\u6709\u533a\u522b\u7684. \u2461Tr+1\u4ec5\u6307(a+b)n\u8fd9\u79cd\u6807\u51c6\u5f62\u5f0f\u800c\u8a00\u7684\uff0c(a-b)n\u7684\u4e8c\u9879\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u662fTr+1\uff1d(-1)rCn^r*a^n-r*b^r. \u2462\u7cfb\u6570Cnr\u53eb\u505a\u5c55\u5f00\u5f0f\u7b2cr+1\u6b21\u7684\u4e8c\u9879\u5f0f\u7cfb\u6570\uff0c\u5b83\u4e0e\u7b2cr+1\u9879\u5173\u4e8e\u67d0\u4e00\u4e2a(\u6216\u51e0\u4e2a)\u5b57\u6bcd\u7684\u7cfb\u6570\u5e94\u533a\u522b\u5f00\u6765. \u7279\u522b\u5730\uff0c\u5728\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u4e2d\uff0c\u5982\u679c\u8bbea\uff1d1,b\uff1dx\uff0c\u5219\u5f97\u5230\u516c\u5f0f\uff1a (1+x)n\uff1d1+cn1x+Cn2x2+\u2026+Cnrxa+\u2026+xn. \u5f53\u9047\u5230n\u662f\u8f83\u5c0f\u7684\u6b63\u6574\u6570\u65f6\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u7528\u6768\u8f89\u4e09\u89d2\u53bb\u5199\u51fa\u76f8\u5e94\u7684\u7cfb\u6570.
\u4e8c\u6b21\u9879\u5b9a\u7406
(a+b)n\uff1dCn0an+Cn1an-1b1+\u2026+Cnran-rbr+\u2026+Cnnbn(n\u2208N*)
\u8fd9\u4e2a\u516c\u5f0f\u53eb\u505a\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406,\u53f3\u8fb9\u7684\u591a\u9879\u5f0f\u53eb\u505a(a+b)n\u7684\u4e8c\u6b21\u5c55\u5f00\u5f0f,\u5176\u4e2d\u7684\u7cfb\u6570Cnr(r\uff1d0,1,\u2026\u2026n)\u53eb\u505a\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570,\u5f0f\u4e2d\u7684Cnran-rbr.\u53eb\u505a\u4e8c\u9879\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u901a\u9879,\u7528Tr+1\u8868\u793a,\u5373\u901a\u9879\u4e3a\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u7b2cr+1\u9879\uff1aTr+1\uff1dCnraa-rbr.
\u8bf4\u660e \u2460Tr+1\uff1dcnraa-rbr\u662f(a+b)n\u7684\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u7b2cr+1\u9879.r\uff1d0,1,2,\u2026\u2026n.\u5b83\u548c(b+a)n\u7684\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u7b2cr+1\u9879Cnrbn-rar\u662f\u6709\u533a\u522b\u7684.
\u2461Tr+1\u4ec5\u6307(a+b)n\u8fd9\u79cd\u6807\u51c6\u5f62\u5f0f\u800c\u8a00\u7684,(a-b)n\u7684\u4e8c\u9879\u5c55\u5f00\u5f0f\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u662fTr+1\uff1d(-1)rCnran-rbr.
\u2462\u7cfb\u6570Cnr\u53eb\u505a\u5c55\u5f00\u5f0f\u7b2cr+1\u6b21\u7684\u4e8c\u9879\u5f0f\u7cfb\u6570,\u5b83\u4e0e\u7b2cr+1\u9879\u5173\u4e8e\u67d0\u4e00\u4e2a(\u6216\u51e0\u4e2a)\u5b57\u6bcd\u7684\u7cfb\u6570\u5e94\u533a\u522b\u5f00\u6765.
\u7279\u522b\u5730,\u5728\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u4e2d,\u5982\u679c\u8bbea\uff1d1,b\uff1dx,\u5219\u5f97\u5230\u516c\u5f0f\uff1a
(1+x)n\uff1d1+cn1x+Cn2x2+\u2026+Cnrxa+\u2026+xn.
\u5f53\u9047\u5230n\u662f\u8f83\u5c0f\u7684\u6b63\u6574\u6570\u65f6,\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u7528\u6768\u8f89\u4e09\u89d2\u53bb\u5199\u51fa\u76f8\u5e94\u7684\u7cfb\u6570.
右边的多项式叫做（a+b）n的二次展开式，其中的系数Cn^r（r=0，1，……n）叫做二次项系数，式中的Cn^r*a^n-rb^r叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr+1=Cn^r*a^n-rb^r。二次项定理，又称为牛顿二项式定理，它是由艾萨克·牛顿于1665年发现的。
绛旓細浜屾椤瑰叕寮鏄(a+b)^n=Cn^0*a^n+Cn^1*a^n-1b^1+鈥+Cn^r*a^n-rb^r+鈥+Cn^n*b^n(n鈭圢*)銆備簩娆￠」鍏紡鍙堢О鐗涢】浜岄」寮瀹氱悊锛岀敱鑹捐惃鍏嬄风墰椤夸簬1664骞淬1665骞撮棿鎻愬嚭銆傝瀹氱悊缁欏嚭涓や釜鏁颁箣鍜岀殑鏁存暟娆″箓璇稿灞曞紑涓虹被浼奸」涔嬪拰鐨勬亽绛夊紡銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忓疄鏁版骞傦紝鍗冲箍涔変簩椤瑰紡瀹氱悊...
绛旓細浜岄」寮灞曞紑鍏紡锛(a+b)^n=a^n+C(n锛1)a^(n-1)b+C(n锛2)a^(n-2)b^2+...+C(n锛宯-1)ab^(n-1)+b^n锛屼簩椤瑰紡瀹氱悊涔熷彨鍋氱墰椤夸簩椤瑰紡瀹氱悊锛屾槸鐗涢】鍦ㄥ崄涓冧笘绾叚鍗佸勾浠ｆ彁鍑虹殑锛岃瀹氱悊缁欏嚭涓や釜鏁颁箣鍜岀殑鏁存暟娆″箓璇稿灞曞紑涓虹被浼奸」涔嬪拰鐨勬亽绛夊紡銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忓疄鏁版骞傦紝鍗冲箍涔...
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绛旓細浜岄」灞曞紑寮鐨勯椤瑰叕寮(绠绉伴氶」)涓篊锛坣锛宺锛(a)^(n-r)b^r锛岀敤Tr+1琛ㄧず(鍏朵腑"r+1"涓鸿鏍)锛屽嵆閫氶」涓哄睍寮寮忕殑绗瑀+1椤(濡備笅鍥)锛屽嵆n鍙杋鐨勭粍鍚堟暟鐩傚洜姝ょ郴鏁颁害鍙〃绀轰负鏉ㄨ緣涓夎鎴栧笗鏂崱涓夎褰傜浉鍏冲唴瀹癸細浜岄」寮瀹氱悊鏈鍒濈敤浜庡紑楂樻鏂广傚湪涓浗锛屾垚涔︿簬1涓栫邯鐨勩婁節绔犵畻鏈嬫彁鍑轰簡涓栫晫涓...
