设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：方程2x=1+∫0xf(t)dt在[0，1]上只有一个实根
【答案】：构造函数F(x)=2x-1-∫0xf(t)dtx∈[0，1]，显然F(x)在[0，1]上连续且可导．i)先证根的存在性．
F(0)=-1＜0，F(1)=1-∫01f(t)dt．因为f(x)＜1，且f(x)在[0，1]上连续，故f(t)df＜1，进而F(1)=1-∫01f(t)dt＞0，故由零点定理，至少存在一点c∈(0，1)，使得F(c)=0，即方程2x=1+∫01f(t)dt在[0，1]上至少有一个实根．
ii)再证根的唯一性．
方法1：F'(x)=2-f(x)＞0，故F(x)在[0，1]上单调增加，故由i)，ii)，方程2x=1+∫0xf(t)dt在[0，1]上只有一个实根．
方法2：(用反证法)假设方程F(x)=0在[0，1]上有两个实根x1，x2，(不,妨设x1＜x2)，则F(x1)=F(x2)=0，则由罗尔定理：存在一点ξ∈(x1，x2)，使得F'(ξ)=0，又F'(x)=2-f(x)，从而2-f(ξ)=0，即f(ξ)=2，这与已知条件f(x)＜1矛盾，故假设不成立．所以方程2x=1+∫0xf(t)dt在[0，1]上只有一个实根．判断方程根的存在性问题一般可以考虑“零点定理”和“罗尔定理”，而判断根的唯一性可以用反证法或者函数的单调性．当然首先必须构造出恰当的函数．
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