如图所示：直线MN⊥RS于点O，点B在射线OS上，OB=2，点C在射线ON上，OC=2，点E是射线OM上一动点，连接EB，
\u5982\u56fe\u6240\u793a\uff1a\u76f4\u7ebfMN\u22a5RS\u4e8e\u70b9O\uff0c\u70b9B\u5728\u5c04\u7ebfOS\u4e0a\uff0cOB=2\uff0c\u70b9C\u5728\u5c04\u7ebfON\u4e0a\uff0cOC=2\uff0c\u70b9E\u662f\u5c04\u7ebfOM\u4e0a\u4e00\u52a8\u70b9\uff0c\u8fde\u7ed3EB\uff0c\uff081\uff09\u8bc1\u660e\uff1a\u2235\u2220OPB=\u2220CPF \u2234\u2220OPC=\u2220BPF ,\u2235\u2220EOP=\u2220EOB=90\uff0c\u2234\u2220EOP=\u2220OBP \u2234\u2220POC=\u2220PBF \u2234\u22bfPOC\u223d\u22bfPBF (2) \u89e3\u2235 \u22bfPOC\u223d\u22bfPBF\u2234OC/BF=PO/PB\u2235\u22bfOPB\u223d\u22bfEOB\u2234PO/PB=OE/OB\u2234OC/BF= OE/OB\u2234OE.BF=OC.OB=4 \u2234\u5f53OE=1\u65f6\uff0cBF=4;\u5f53OE=2\u65f6\uff0cBF=2\uff0c\u5f53OE=n\u65f6\uff0cBF="4/n." \uff083\uff09\u6839\u636e\u9898\u610f\u5f97\uff1b =2n\uff1b \uff081\uff09\u6839\u636e\u2220OPB=\u2220CPF\uff0c\u5f97\u51fa\u2220OPC=\u2220BPF\uff0c\u518d\u6839\u636e\u2220EOP=\u2220EOB=90\uff0c\u5f97\u51fa\u2220EOP=\u2220OBP\uff0c\u2220POC=\u2220PBF\uff0c\u5373\u53ef\u8bc1\u51fa\u25b3POC\u223d\u25b3PBF\uff1b \uff082\uff09\u6839\u636e\u25b3POC\u223d\u25b3PBF\uff0c\u5f97\u51faOC/BF ="PO/PB" \uff0c\u518d\u6839\u636e\u25b3OPB\u223d\u25b3EOB\uff0c\u5f97\u51faOE?BF=OC?OB=4\uff0c\u5373\u53ef\u6c42\u51faBF\u7684\u957f\uff1b\uff083\uff09\u6839\u636e\u5df2\u77e5\u6761\u4ef6\u5f53OE=1\u65f6\uff0cS \u25b3EB F=S 1 \uff1bOE=2\u65f6\uff0cS \u25b3EBF =S 2 \uff1b\u2026\uff0cOE=n\u65f6\uff0cS \u25b3EBF =S n \u5373\u53ef\u6c42\u51faS 1 +S 2 +\u2026+S n =2n
\u2460\u2235MO\u22a5NO CO\u22a5BO
\u2234\u22201+\u2220CON=\u22202+\u2220CON=90\u00b0
\u2234\u22201=\u22202
\u5728\u25b3OMC\u548c\u25b3DNB\u4e2d
\u256dOM=DN
\u2502\u22201=\u22202
\u2570OC=OD
\u2234\u25b3OMC\u5168\u7b49\u25b3ONB(SAS)
\u2234\u22203=\u22204=45\u00b0
\u2234\u2220CMB=90
\u2461\u8fde\u63a5AC
\u2235\u25b3MOC\u224c\u25b3NOB \u2234BN\uff1dCM
\u2235\u25b3COB\u4e3a\u7b49\u8170Rt\u25b3\uff0cOG\u22a5BC \u2234AB=AC
\u5728Rt\u25b3CMA\u4e2d AM^2+CM^2\uff1dAC^2
\u2234AM^2+CM^2\uff1dAB^2
2. PA^2=AE^+BF^2 S\u25b3BFN+S\u25b3AME=S\u25b3PAB
3 \u2235MN=2\u221a2 \u25b3OMN\u4e3a\u7b49\u8170Rt\u25b3
\u2234OM=ON=2
\u8bbeP\uff08-x,-y\uff09,x\uff1e0,y\uff1e0\u5219AE=ME=2-x,BF=y-2,PA=y-(2-x)
\u2235AP\uff3e2\uff1dAE\uff3e2\uff0bBF\uff3e2
\u2234xy=2 \u5373k=2
∴∠OPC=∠BPF，
∵∠EOP=∠EOB=90，
∴∠EOP=∠OBP
∴∠POC=∠PBF
∴△POC∽△PBF；
（2）根据△POC∽△PBF
∴
| OC |
| BF |
| PO |
| PB |
∵△OPB∽△EOB
∴
| PO |
| PB |
| OE |
| OB |
∴
| OC |
| BF |
| OE |
| OB |
∴OE?BF=OC?OB=4
∴当OE=1时，BF=4；
当OE=2时，BF=2，
当OE=n时，BF=
| 4 |
| n |
（3）根据题意得；
S1+S2+…+Sn=2n；
故答案为：2n．
绛旓細OB=4 鈭村綋OE=1鏃讹紝BF=4锛涘綋OE=2鏃讹紝BF=2锛屽綋OE=n鏃讹紝BF=4n锛涳紙3锛夋牴鎹鎰忓緱锛汼1+S2+鈥+Sn=2n锛涙晠绛旀涓猴細2n锛
绛旓細棣栧厛璇存槑 瑙扱ON涓庤MOP鏄椤惰 鎵浠 瑙扱ON=瑙扢OP 鐢遍鐭 瑙扱OS=瑙扴ON 鍗砄S骞冲垎瑙扱ON 寰RS骞冲垎瑙扱ON 鎵浠 瑙扢OR=瑙扲OP 鍗 OR骞冲垎瑙扢OP
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