一元二次方程怎么解 一元二次方程怎么解
\u8fd9\u4e2a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u600e\u4e48\u89e3 \u6c42\u8fc7\u7a0b\u4e00\u822c\u89e3\u6cd5
1.\u914d\u65b9\u6cd5
\uff08\u53ef\u89e3\u5168\u90e8\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff09
\u5982\uff1a\u89e3\u65b9\u7a0b\uff1ax^2+2x\uff0d3=0
\u89e3\uff1a\u628a\u5e38\u6570\u9879\u79fb\u9879\u5f97\uff1ax^2+2x=3
\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u540c\u65f6\u52a01\uff08\u6784\u6210\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\uff09\u5f97\uff1ax^2+2x+1=4
\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u5f97\uff1a\uff08x+1)^2=4
\u89e3\u5f97\uff1ax1=-3,x2=1
\u7528\u914d\u65b9\u6cd5\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u5c0f\u53e3\u8bc0
\u4e8c\u6b21\u7cfb\u6570\u5316\u4e3a\u4e00
\u5e38\u6570\u8981\u5f80\u53f3\u8fb9\u79fb
\u4e00\u6b21\u7cfb\u6570\u4e00\u534a\u65b9
\u4e24\u8fb9\u52a0\u4e0a\u6700\u76f8\u5f53
2.\u516c\u5f0f\u6cd5
\uff08\u53ef\u89e3\u5168\u90e8\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff09
\u9996\u5148\u8981\u901a\u8fc7\u0394=b^2-4ac\u7684\u6839\u7684\u5224\u522b\u5f0f\u6765\u5224\u65ad\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6709\u51e0\u4e2a\u6839
1.\u5f53\u0394=b^2-4ac<0\u65f6 x\u65e0\u5b9e\u6570\u6839\uff08\u521d\u4e2d\uff09
2.\u5f53\u0394=b^2-4ac=0\u65f6 x\u6709\u4e24\u4e2a\u76f8\u540c\u7684\u5b9e\u6570\u6839 \u5373x1=x2
3.\u5f53\u0394=b^2-4ac>0\u65f6 x\u6709\u4e24\u4e2a\u4e0d\u76f8\u540c\u7684\u5b9e\u6570\u6839
\u5f53\u5224\u65ad\u5b8c\u6210\u540e\uff0c\u82e5\u65b9\u7a0b\u6709\u6839\u53ef\u6839\u5c5e\u4e8e2\u30013\u4e24\u79cd\u60c5\u51b5\u65b9\u7a0b\u6709\u6839\u5219\u53ef\u6839\u636e\u516c\u5f0f\uff1ax={-b\u00b1\u221a\uff08b^2\uff0d4ac\uff09}/2a
\u6765\u6c42\u5f97\u65b9\u7a0b\u7684\u6839
3.\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5
\uff08\u53ef\u89e3\u90e8\u5206\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff09\uff08\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u53c8\u5206\u201c\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u201d\u3001\u201c\u516c\u5f0f\u6cd5\uff08\u53c8\u5206\u201c\u5e73\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\u201d\u548c\u201c\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u516c\u5f0f\u201d\u4e24\u79cd\uff09\u201d\u548c\u201c\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u201d\u3002
\u5982\uff1a\u89e3\u65b9\u7a0b\uff1ax^2+2x+1=0
\u89e3\uff1a\u5229\u7528\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u516c\u5f0f\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u5f97\uff1a\uff08x+1\ufe5a^2=0
\u89e3\u5f97\uff1ax1=x2=-1
4.\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5
\uff08\u53ef\u89e3\u90e8\u5206\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff09
5.\u4ee3\u6570\u6cd5
\uff08\u53ef\u89e3\u5168\u90e8\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff09
ax^2+bx+c=0
\u540c\u65f6\u9664\u4ee5a\uff0c\u53ef\u53d8\u4e3ax^2+bx/a+c/a=0
\u8bbe\uff1ax=y-b/2
\u65b9\u7a0b\u5c31\u53d8\u6210\uff1a(y^2+b^2/4-by)+(by+b^2/2)+c=0 X\u9519__\u5e94\u4e3a (y^2+b^2/4-by)\u9664\u4ee5(by-b^2/2)+c=0
\u518d\u53d8\u6210\uff1ay^2+(b^22*3)/4+c=0 X ___y^2-b^2/4+c=0
y=\u00b1\u221a[(b^2*3)/4+c] X ____y=\u00b1\u221a[(b^2)/4+c]
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u56db\u4e2d\u89e3\u6cd5\u3002\u4e00\u3001\u516c\u5f0f\u6cd5\u3002\u4e8c\u3001\u914d\u65b9\u6cd5\u3002\u4e09\u3001\u76f4\u63a5\u5f00\u5e73\u65b9\u6cd5\u3002\u56db\u3001\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u6cd5\u3002\u516c\u5f0f\u6cd51\u5148\u5224\u65ad\u25b3=b_-4ac\uff0c\u82e5\u25b30\uff0c\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e3a\uff1aX=\uff08\uff08-b\uff09\u00b1\u221a\uff08\u25b3\uff09\uff09/\uff082a\uff09\u3002\u914d\u65b9\u6cd5\u3002\u5148\u628a\u5e38\u6570c\u79fb\u5230\u65b9\u7a0b\u53f3\u8fb9\u5f97\uff1aaX_+bX=-c\u3002\u5c06\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u5316\u4e3a1\u5f97\uff1aX_+\uff08b/a\uff09X=-c/a\uff0c\u65b9\u7a0b\u4e24\u8fb9\u5206\u522b\u52a0\u4e0a\uff08b/a\uff09\u7684\u4e00\u534a\u7684\u5e73\u65b9\u5f97X_+\uff08b/a\uff09X+\uff08b/\uff082a\uff09\uff09_=-c/a+\uff08b/\uff082a\uff09\uff09_\u65b9\u7a0b\u5316\u4e3a:\uff08b+\uff082a\uff09\uff09_=-c/a+\uff08b/\uff082a\uff09\uff09_\u30025\u2460\u3001\u82e5-c/a+\uff08b/\uff082a\uff09\uff09_0\uff0c\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e3aX=\uff08-b\uff09\u00b1\u221a\uff08\uff08b_-4ac\uff09\uff09/\uff082a\uff09\u3002
一元二次方程四中解法。一、公式法。
二、配方法。
三、直接开平方法。
四、因式分解法。
公式法1先判断△=b_-4ac，若△<0原方程无实根；
2若△=0，原方程有两个相同的解为：X=-b/（2a）；
3若△>0，原方程的解为：X=（（-b）±√（△））/（2a）。
配方法。先把常数c移到方程右边得：aX_+bX=-c。将二次项系数化为1得：X_+（b/a）X=-c/a，方程两边分别加上（b/a）的一半的平方得X_+（b/a）X+（b/（2a））_=-c/a+（b/（2a））_方程化为:（b+（2a））_=-c/a+（b/（2a））_。
5①、若-c/a+（b/（2a））_<0，原方程无实根；
②、若-c/a+（b/（2a））_=0，原方程有两个相同的解为X=-b/（2a）；
③、若-c/a+（b/（2a））_>0，原方程的解为X=（-b）±√（（b_-4ac））/（2a）。
一元二次方程的解法
一、知识要点：
一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基
础，应引起同学们的重视。
一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2
的整式方程。
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解
法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
二、方法、例题精讲：
1、直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的
方程，其解为x=m± .
例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7×
∴(3x+1)2=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
（2）解： 9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2=
2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c
将二次项系数化为1：x2+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=
当b2-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2
配方：(x-)2=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x1=,x2= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项
系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x1=,x2= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个
根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解：2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结：
一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般
形式，同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式
法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程
是否有解。
配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方
法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。
例5．用适当的方法解下列方程。(选学）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差
公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。
（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。
（3）化成一般形式后利用公式法解。
（4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。
（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2）解： x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）解：x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我
们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方
法）
解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0
解：x2+px+q=0可变形为
x2+px=-q (常数项移到方程右边)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)
(x+)2= (配方)
当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。
说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母
取值的要求，必要时进行分类讨论。
练习：
（一）用适当的方法解下列方程：
1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3
3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0
5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0
（二）解下列关于x的方程
1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0
练习参考答案：
（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2
3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=
6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式）
[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0
即 (2x+9)(2x+2)=0
∴2x+9=0或2x+2=0
∴x1=-,x2=-1是原方程的解。
（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0
[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0
∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0
∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是
原方程的解。 原方程的解。
测试
选择题
1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）
A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5
2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。
A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7
3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个
根是（ ）。
A、0 B、1 C、-1 D、±1
4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。
A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0
C、b=0且c=0 D、c=0
5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。
A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5
6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。
A、 B、 C、 D、无实根
7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。
A、x= B、x=-
C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-
8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。
A、(x-)2= B、(x- )2=-
C、(x- )2= D、以上答案都不对
9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。
A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1
答案与解析
答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D
解析：
1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5,
注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。
2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.
3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1
时，方程成立，则必有根为x=1。
4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零，
则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0.
另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！
5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0,
则(x-5)(x+2)=0
x-5=0 或x+2=0
x1=5, x2=-2.
6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。
7．分析：2x2=0.15
x2=
x=±
注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。
8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，
整理为：(x-)2=
方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。
9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1
则(x-1)2=m+1.
中考解析
考题评析
1．（甘肃省）方程的根是（ ）
（A） （B） （C） 或 （D） 或
评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确
选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元
二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为
C。
另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。
2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。
评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。
3．（辽宁省）方程的根为（ ）
（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1
评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、
B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。
4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。
评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。
5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ）
（A）x=3+2 （B）x=3-2
（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方
根，即可选出答案。
课外拓展
一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二
次的整式方程。 一般形式为
ax2+bx+c=0, (a≠0)
在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它
的倒数之和等于 一个已给数，即求出这样的x与，使
x=1, x+ =b,
x2-bx+1=0,
他们做出( )2；再做出 ，然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次
方程的求根公式。但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的。
埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。
在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。
希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中
之一。
公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公
式。
在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种
不同的形式，令 a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成
不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一 次
给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的
数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。
韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。
我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的。我国数学
家还在方程的研究中应用了内插法。
用消元法，包括加减法和代入法！加减法是指两个方程相减或相加，去掉一个未知数，再由求出的数算出另一个未知数。代入法使用的较普遍但比较麻烦，是用一个方程求出其中一个未知数的解析式，再代入另一个里面，求出两个未知数！
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