双曲线和椭圆的常用公式有哪些?
双曲线和椭圆是两种常见的二次曲线。它们的标准方程、基本性质和常用公式如下:双曲线
(1)标准方程:
水平双曲线:Ax^2 - By^2 = 1(A > 0,B > 0)
垂直双曲线:Ay^2 - Bx^2 = 1(A > 0,B > 0)
(2)焦点坐标:
水平双曲线:焦点在x轴上,焦点坐标为(±c,0),其中c^2 = A + B;
垂直双曲线:焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±c),其中c^2 = A + B。
(3)顶点坐标:
水平双曲线:顶点在x轴上,顶点坐标为(±a,0),其中a^2 = A;
垂直双曲线:顶点在y轴上,顶点坐标为(0,±a),其中a^2 = A。
(4)渐近线方程:
水平双曲线:y = ±(B/A)^(1/2)x;
垂直双曲线:x = ±(B/A)^(1/2)y。
椭圆
(1)标准方程:
水平椭圆:Ax^2 + By^2 = 1(A > 0,B > 0)
垂直椭圆:Ay^2 + Bx^2 = 1(A > 0,B > 0)
(2)焦点坐标:
水平椭圆:焦点在x轴上,焦点坐标为(±c,0),其中c^2 = A - B;
垂直椭圆:焦点在y轴上,焦点坐标为(0,±c),其中c^2 = A - B。
(3)顶点坐标:
水平椭圆:顶点在x轴上,顶点坐标为(±a,0),其中a^2 = A;
垂直椭圆:顶点在y轴上,顶点坐标为(0,±a),其中a^2 = A。
(4)半长轴和半短轴:
水平椭圆:半长轴a,半短轴b,满足a^2 = A,b^2 = B;
垂直椭圆:半长轴a,半短轴b,满足a^2 = A,b^2 = B。
(5)离心率:
水平椭圆:e = c/a = (A - B)^(1/2) / A^(1/2);
垂直椭圆:e = c/a = (A - B)^(1/2) / A^(1/2)。
(6)焦距:
水平椭圆:2c = 2(A - B)^(1/2);
垂直椭圆:2c = 2(A - B)^(1/2)。
总结:双曲线和椭圆的常用公式包括它们的标准方程、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程(仅适用于双曲线)、半长轴、半短轴、离心率和焦距等。这些公式有助于我们更好地理解和应用这两种二次曲线。
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