什么叫做函数的单调性?
感觉最高赞的回答有些废话：
一、严格定义：
假定f(x)的定义域为D，那么对于任意a,b∈D，当a<b时。
f(a) < f(b)，函数严格单调递增；
f(a) > f(b)，函数严格单调递减；
f(a) ≤ f(b)，函数单调递增；
f(a) ≥ f(b)，函数单调递减。
二、通俗理解：
另外，对于任意一条水平直线y=a(a∈R)，这条直线若与单调函数f(x)至多有一个交点，那么也可以称这个函数为严格单调函数。
三、普遍范例：
我们便可以引申出来了，对于一些常见函数：
1）y=x² (x≥0)
对于任何x1 < x2（x1,x2∈[0,+∞)），都显然有x1²＜x2²。那么我们称函数严格单调。
从分析的角度：注意到y'=2x ≥ 0，且y'=0仅在孤立点x=0处成立，故而函数严格单调。
2）y=x³
对于任何x1 < x2（x1,x2∈R），都显然有x1³＜x2³。严格单调。
且注意到y'=3x ≥ 0，且y'=0仅在孤立点x=0处成立，故而函数严格单调。
3）y=C（常函数）
对于任何x1 < x2（x1,x2∈R），都显然有y1=y2，故函数处处单调，但处处不严格单调。
4）y=(-x)^(-1)（x＞0）
对于任何x1 < x2（x1,x2∈[0,+∞)），都显然有(-x1)^(-1)＜(-x2)^(-1)。严格单调。
且注意到y'=x^(-2) ＞ 0，故而函数严格单调。
常见严格单调递增函数（网页链接）
绛旓細鍑芥暟鐨勫崟璋冩т篃鍙嚱鏁扮殑澧炲噺鎬锛屽彲浠ュ畾鎬ф弿杩板湪涓涓寚瀹氬尯闂村唴锛屽嚱鏁板煎彉鍖栦笌鑷彉閲忓彉鍖栫殑鍏崇郴銆傚畾涔変负褰撳嚱鏁癴x鐨勮嚜鍙橀噺鍦ㄥ叾瀹氫箟鍖洪棿鍐呭澶ф椂锛屽嚱鏁板间篃闅忕潃澧炲ぇ锛屽綋鍑芥暟fx鐨勮嚜鍙橀噺鍦ㄥ叾瀹氫箟鍖洪棿鍐呭噺灏忔椂锛屽嚱鏁板间篃闅忕潃鍑忓皬锛屽垯绉拌鍑芥暟涓哄湪璇ュ尯闂翠笂鍏锋湁鍗曡皟鎬с傚湪闆嗗悎璁轰腑锛屽湪鏈夊簭闆嗗悎涔嬮棿鐨勫嚱鏁帮紝濡傛灉...
绛旓細鍒ゆ柇鍑芥暟鍗曡皟鎬鐨勫父瑙佹柟娉 涓銆 鍑芥暟鍗曡皟鎬х殑瀹氫箟锛氫竴鑸殑锛岃鍑芥暟y=f(X)鐨勫畾涔夊煙涓篈,I↔A锛屽瀵逛簬鍖洪棿鍐呬换鎰忎袱涓糥1銆乆2锛1锛夈佸綋X1<X2鏃讹紝閮芥湁f(X1)<f(X2),閭ｄ箞灏辫y=f(x)鍦ㄥ尯闂碔涓鏄鍗曡皟澧炲嚱鏁帮紝I绉颁负鍑芥暟鐨勫崟璋澧炲尯闂达紱2锛夈佸綋X1>X2鏃讹紝閮芥湁f(X1)>f(X2),閭ｄ箞灏...
绛旓細瀵兼暟娉曪細姹傚嚭鍘熷嚱鏁扮殑瀵兼暟,鑻ュ鏁>0,鍒欐槸澧,鍙嶄箣鍒欏噺 鍑芥暟鐨勫崟璋冩ф槸鐮旂┒褰撹嚜鍙橀噺x涓嶆柇澧炲ぇ鏃,瀹冪殑鍑芥暟y澧炲ぇ杩樻槸鍑忓皬鐨勬ц川锛庡鍑芥暟鍗曡皟澧炶〃鐜颁负鈥滈殢鐫x澧炲ぇ,y涔熷澶р濊繖涓鐗瑰緛锛庝笌鍑芥暟鐨勫鍋舵т笉鍚,鍑芥暟鐨勫鍋舵ф槸鐮旂┒x鎴愪负鐩稿弽鏁版椂,y鏄惁涔熸垚涓虹浉鍙嶆暟,鍗冲嚱鏁扮殑瀵圭О鎬ц川锛庡嚱鏁扮殑鍗曡皟鎬т笌鍑芥暟鐨...
绛旓細鍑芥暟鐨勫崟璋冩ф槸鍑芥暟鐨閲嶈鎬ц川涔嬩竴,瀵逛簬瀹冪殑璁ㄨ閫氬父鏈夊畾涔夋硶銆佸浘璞℃硶銆佸鍚堝嚱鏁版硶绛夈傚+澧=澧烇紝鍑+鍑=鍑忥紝澧-鍑=澧烇紝鍑-澧=鍑忥紝渚嬪锛氳鍑芥暟y锛漟锛坸锛夊湪涓婇掑,a銆乥涓哄父鏁帮紟锛1锛夎嫢a锛0,鍒欏嚱鏁癰锛媋f锛坸锛夊湪I涓婇掑锛涳紙2锛夎嫢a锛0,鍒欏嚱鏁癰锛媋f锛坸锛夊湪I涓婇掑噺锛庡嵆鍒ゆ柇F锛圶1锛-F(...
绛旓細鍑芥暟鍗曡皟鎬х殑瀹氫箟鏄細鍑芥暟鐨勫崟璋冩э紝涔鍙嚱鏁扮殑澧炲噺鎬锛屽彲浠ュ畾鎬ф弿杩板湪涓涓寚瀹氬尯闂村唴锛屽嚱鏁板煎彉鍖栦笌鑷彉閲忓彉鍖栫殑鍏崇郴銆傚崟璋冨嚱鏁板氨鏄寚鑷彉閲忎竴瀹氬尯闂村唴锛堝崟璋冨尯闂达級锛屽洜鍙橀噺闅忕潃鑷彉閲忕殑鍗曞悜鍙樺寲鑰屽崟鍚戝彉鍖栥傚鏋滃洜鍙橀噺闅忚嚜鍙橀噺鐨勫澶ц屽澶э紝鍒欑О璇ュ嚱鏁板湪鍗曡皟鍖洪棿鍐呬负鍗曡皟澧炲嚱鏁帮紱鍙嶄箣鍒欑О涓哄崟璋冨噺鍑芥暟銆
绛旓細鍦ㄦ暟瀛︿腑锛鍑芥暟鐨勫崟璋冩鎻忚堪浜嗗嚱鏁版洸绾夸笂鍚勭偣鐨勫鍑忓叧绯汇備互涓鏄甯歌鐨勫洓绉嶅熀鏈繍绠楀鍑芥暟鍗曡皟鎬х殑褰卞搷锛1. 鍔犳硶锛氬鏋滃浜庡嚱鏁癴(x)锛屽浜庝换鎰忕殑x1鍜寈2锛堝叾涓瓁1 < x2锛夛紝濡傛灉 f(x2) - f(x1) 鈮 0 鎴愮珛锛岄偅涔堝嚱鏁癴(x)鏄掑鐨勶紱濡傛灉 f(x2) - f(x1) 鈮 0 鎴愮珛锛岄偅涔堝嚱鏁癴(x)鏄掑噺...
绛旓細鍦╗2k蟺+蟺/2,2k蟺+3蟺/2],k鈭圸,涓鏄鍑鍑芥暟銆 y=cosx鍦╗2k蟺,2k蟺+蟺],k鈭圸,涓婃槸鍑忓嚱鏁般 鍦╗2k蟺+蟺,2k蟺+2蟺],k鈭圸,涓婃槸澧炲嚱鏁般 褰撳嚱鏁 f(x) 鐨勮嚜鍙橀噺鍦ㄥ叾瀹氫箟鍖洪棿鍐呭澶(鎴栧噺灏)鏃,鍑芥暟鍊糵(x)涔熼殢鐫澧炲ぇ(鎴栧噺灏),鍒欑О璇ュ嚱鏁颁负鍦ㄨ鍖洪棿涓婂叿鏈鍗曡皟鎬銆 濡傛灉璇存槑涓涓嚱鏁板湪鏌愪釜鍖...
绛旓細f(a) 鈮 f(b)锛鍑芥暟鍗曡皟閫掑锛沠(a) 鈮 f(b)锛屽嚱鏁板崟璋冮掑噺銆備簩銆侀氫織鐞嗚В锛氬彟澶栵紝瀵逛簬浠绘剰涓鏉℃按骞崇洿绾縴=a(a鈭圧)锛岃繖鏉＄洿绾胯嫢涓鍗曡皟鍑芥暟f(x)鑷冲鏈変竴涓氦鐐癸紝閭ｄ箞涔熷彲浠ョО杩欎釜鍑芥暟涓轰弗鏍煎崟璋冨嚱鏁般備笁銆佹櫘閬嶈寖渚嬶細鎴戜滑渚垮彲浠ュ紩鐢冲嚭鏉ヤ簡锛屽浜庝竴浜涘父瑙佸嚱鏁帮細1锛墆=x² (x鈮0)瀵逛簬浠讳綍...
绛旓細鈶磋嫢褰<鏃讹紝閮芥湁f()<f(),鍒檉(x)鍦ㄨ繖涓尯闂翠笂鏄澧鍑芥暟锛堝鍥3锛夛紱鈶佃嫢褰<鏃讹紝閮芥湁f()>f(),鍒檉(x) 鍦ㄨ繖涓尯闂翠笂鏄噺鍑芥暟锛堝鍥4锛夈傚鏋滄湰棰樻湁浠涔涓嶆槑鐧藉彲浠ヨ拷闂紝濡傛灉婊℃剰璇风偣鍑诲彸涓婅濂借瘎骞垛滈噰绾充负婊℃剰鍥炵瓟鈥濆鏋滄湁鍏朵粬闂璇烽噰绾虫湰棰樺悗锛屽彟澶栧彂骞剁偣鍑绘垜鐨勫ご鍍忓悜鎴戞眰鍔╋紝绛旈涓嶆槗锛...
绛旓細鍑芥暟鍗曡皟鎬х殑瀹氫箟鏄細鍑芥暟鐨勫崟璋冩э紝涔鍙嚱鏁扮殑澧炲噺鎬锛屽彲浠ュ畾鎬ф弿杩板湪涓涓寚瀹氬尯闂村唴锛屽嚱鏁板煎彉鍖栦笌鑷彉閲忓彉鍖栫殑鍏崇郴銆傚崟璋冨嚱鏁板氨鏄寚鑷彉閲忎竴瀹氬尯闂村唴锛堝崟璋冨尯闂达級锛屽洜鍙橀噺闅忕潃鑷彉閲忕殑鍗曞悜鍙樺寲鑰屽崟鍚戝彉鍖栥傚鏋滃洜鍙橀噺闅忚嚜鍙橀噺鐨勫澶ц屽澶э紝鍒欑О璇ュ嚱鏁板湪鍗曡皟鍖洪棿鍐呬负鍗曡皟澧炲嚱鏁帮紱鍙嶄箣鍒欑О涓哄崟璋冨噺鍑芥暟銆
